中学高三数学-第二章第二节-函数的单调性与最大(小)值复习课件-新人教A版

1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有__________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有________________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)第一页1第二页，共38页。图象描述自左向右看图象是________自左向右看图象是______上升的下降的第二页2第三页，共38页。 (2)单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是_________或________________，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的______________ (3)若函数y＝f(x)在区间D内可导，当____________时，f(x)在区间D上为增函数；当___________时，f(x)在区间D上为减函数．增函数减函数单调区间．f′(x)＞0f′(x)＜0第三页3第四页，共38页。2．函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有_________________；②存在x0∈I，使得____________________①对于任意的x∈I，都有__________；②存在x0∈I，使得______________结论M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值f(x)≤Mf(x0)＝M.f(x)≥Mf(x0)＝M.第四页4第五页，共38页。1．如图2－2－1所示，函数f(x)的图象，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0]∪(0，＋∞)吗？

【提示】

不是，其单调增区间为(－∞，0]，(0，＋∞)．第五页5第六页，共38页。2．函数的最大(小)值反映在其函数图象上有什么特征？

【提示】

最大(小)值是函数图象上最高(低)点的纵坐标，若x0是函数f(x)的最大(小)值点，反映在图象上点(x0，f(x0))是函数图象的最高(低)点．第六页6第七页，共38页。1．(教材改编题)如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则(

) A．a＝－2

B．a＝2

C．a≤－2

D．a≥2【答案】

C第七页7第八页，共38页。2．(2011·课标全国卷)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(

) A．y＝x3 B．y＝|x|＋1 C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x| 【解析】

y＝x3是奇函数，y＝－x2＋1与y＝2－|x|在(0，＋∞)上都是减函数，A、C、D不合要求，对于B，易知y＝|x|＋1为偶函数，且在(0，＋∞)上递增．

【答案】

B第八页8第九页，共38页。【答案】

C第九页9第十页，共38页。4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调增区间是________．

【解析】

由f(x)＝(x－3)ex，得f′(x)＝(x－2)ex， 由f′(x)＞0，得x＞2，故f(x)的增区间是(2，＋∞)．

【答案】

(2，＋∞)

第十页10第十一页，共38页。函数单调性的判定与证明

第十一页11第十二页，共38页。第十二页12第十三页，共38页。 1．(1)函数的单调性只能在定义域内讨论，可以是整个定义域，也可以是定义域的某个区间．(2)如果函数在某个区间上是单调的，那么在这个区间的子区间上也是单调的．

2．(1)函数单调性的判定方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法．(2)证明函数的单调性的方法有：①定义法；②导数法.

第十三页13第十四页，共38页。

若将本例中“x∈(－1,1)”改为“{x|x∈R，且x≠±1}”，“a≠0”改为“a＞0”，你能求出函数f(x)的单调区间吗？第十四页14第十五页，共38页。第十五页15第十六页，共38页。 (2012·惠州调研)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为(

) A．4

B．5

C．6

D．7 【思路点拨】

首先明确f(x)的意义，数形结合求分段函数f(x)的最大值．求函数的最值

第十六页16第十七页，共38页。【答案】

C

第十七页17第十八页，共38页。 1．利用单调性是求函数最值的最主要方法，函数图象是单调性的最直观体现，函数的最大(小)值是图象的最高(低)点的纵坐标，本题借助图象的直观性求得最大值．

2．配方法：若函数是二次函数，常用配方法．

3．基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法．

4．导数法：当函数较复杂时，一般采用此法．

第十八页18第十九页，共38页。第十九页19第二十页，共38页。第二十页20第二十一页，共38页。 (2011·上海高考)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0. (1)若ab＞0，判断函数f(x)的单调性；

(2)若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)时的x的取值范围．

【思路点拨】

(1)讨论a、b的符号，利用指数函数的性质判定f(x)的单调性；(2)由f(x＋1)＞f(x)，转化为指数不等式求解．函数单调性的应用

第二十一页21第二十二页，共38页。第二十二页22第二十三页，共38页。 1．函数f(x)的单调性取决于系数a、b的符号，因此根据题设条件，分类考查．

2．(1)熟练掌握基本初等函数的单调性是求解这类问题的关键．(2)重视化归思想与分类讨论数学思想的应用．

第二十三页23第二十四页，共38页。第二十四页24第二十五页，共38页。第二十五页25第二十六页，共38页。

已知函数f(x)对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x＞0时，f(x)＞1. (1)求证：f(x)是R上的增函数；

(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)＜3.抽象函数的单调性

第二十六页26第二十七页，共38页。第二十七页27第二十八页，共38页。第二十八页28第二十九页，共38页。 1．本题易犯如下错误：(1)不会构造f(x2－x1)，不会利用f(x2－x1)＞1这个条件；(2)不能将“3”代换为f(2)，导致无法由函数的单调性去掉“f”．

2．∀x1，x2∈R，f(x)递增，则f(x1)＜f(x2)⇔x1＜x2；这类问题的求解关键在于利用函数的单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系．第二十九页29第三十页，共38页。第三十页30第三十一页，共38页。

函数的单调性与最值是高考的重点，主要涉及单调性的判断，求函数单调区间与最值，函数单调性的简单应用；考查数形结合、转化化归等数学思想，函数的单调性与其它知识交汇渗透，特别是与新情景相结合是命题的亮点，求解时要避免思维僵化，灵活应用性质．第三十一页31第三十二页，共38页。易错辨析之三受思维定势消极影响致误第三十二页32第三十三页，共38页。

错因分析：(1)仅考虑函数f(x)的单调性，忽略定义区间的限制(1－x2＞0)．

(2)作为分段函数，忽视x取值范围影响对应关系，缺乏分类讨论的思想意识． 防范措施：(1)分段函数的求解策略是“分段函数分段解决”，树立分类讨论的思想．

(2)“对号入座”，根据自变量取值的范围，准确确定相应的对应关系，转化为一般函数在指定区间上的问题．

第三十三页33第三十四页，共38页。第三十四页34第三十五页，共38页。【答案】

B第三十五页35第三十六页，共38页。2．(2011·四川高考)函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题： ①函