广东省2021届高三数学一模试卷

广东省2021届高三数学一模试卷

一、单选题

1.（2分）已知集合屈=为一'7条散一；1＜：辫，&】翻雄，则屈1篇=（）

A.*%*啮7-擎鹏琬

2.（2分）若复数可满足&一自，4也=.一胃，则口=（）

A.亚B.宓C.5D.因

3.（2分）己知函数岁=谈的图象与函数卡=怨*的图象关于直线野=茶对称，则过崛=（）

A.食口B.%C.Id%*D.ThjH

4.（2分）函数怨*=就魏承;+磁檄娉一工，右出.虏口的最大值为（）

A.4B.5C.6D.7

5.（2分）已知数列：汨:的前祖项和则数列为@缴J的前10项和等于（）

A.1023B.55C.45D.35

6.（2分）已知名去是两个正数，4是嗯与J差的等比中项，则下列说法正确的是（）

A.届的最小值是1B.■的最大值是1C.和本的最小值是与D.4忖的最大值是与

7.（2分）《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记教有求"困盖"的术：置如其周，令相乘

也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高耻计算其体积底的近似公

4r

式锻黑:媪£%,用该术可求得圆周率江的近似值.现用该术求得近的近似值，并计算得一个底面直径和

母线长相等的圆锥的表面积的近似值为9,则该圆锥体积的近似值为（）

A.塞B.2宓C.3露D.3

8.（2分）若蚌,承一也土感法:饭的展开式中赍的系数为3,则健=（）

A.1B.4C.拒D.2

二、多选题

9.（3分）己知曲线"言+三=血昨：一1，且神声一4则下列结论正确的是（）

A.若曲线售:为椭圆或双曲线，则其焦点坐标为（遥,0）

B.若曲线售:是椭圆，则械第一1

C.若谓父一;1且裙声-4,则曲线算是双曲线

D.直线翻一下一落=：褊：交穗与曲线热恒有两个交点

10.（3分）己知怨.*是定义在屐上的奇函数，式⑪的图象关于重=1对称，当正也』时，

式式=一啰41•寞，则下列判断正确的是（）

A.我；目的值域为⑥1]B.怨胃的周期为2C.怨：#】谣偶函数D,应覆基口=1

11.（3分）已知函数疝*=*嗝；+漏血，则下列说法正确的是（）

A.若函数式式的最小值为-5,则2=3

B.若比金匍）,则力工Q】l使得怨*=2成立

C.若2=*,解'xw[0,f]*欢[食]都有戚47G成立,则刖ed笺

D.若函数编,*在（Q喇上存在最大值，则正实数？：的取值范围是|Q制

12.（3分）数学家华罗庚曾说："数缺形时少直观，形少数时难入微."事实上，很多代数问题可以转化为

几何问题加以解决.例如，与缸一了-您：一球'相关的代数问题,可以转化为点，连,：_哥与点题[加之

间的距离的几何问题.结合上述观点，对于函数四*=Q*效41N承一4%；4，下列结论正确的是

（）

A.怨』=心无解B.乳0=而的解为*=士里

仑

C.盛*的最小值为2谒1D.或@的最大值为2谒1

三、填空题

13.（1分）已知蝌=1，鼠=晶且特—用=$则或+喇=.

14.（1分）某圆形广场外围有12盏灯，如图所示，为了节能每天晚上12时关掉其中4盏灯，则恰好每间

隔2盏灯关掉1盏的概率是.

15.（1分）在四面体息感宜&中，息或=且算=居密=以步=菇9=’》，二面角得一卫T：一四为：1号6暄，

则四面体息馥出的外接球的表面积为.

16.（2分）斜率为5的直线过抛物线舞：；伴=2次&^第啦的焦点，且与您交于.总,存两点，若

赢|=斯，则该=必频或◎为坐标原点）的面积为.

四、解答题

17.（10分）记鼠8为数列：加：的前胸和，已知的=1，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若崛=帝海斗市设数列褊：的前褓项和为泰,证明：挈趾内，蠹盘,.

从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对题目进行求解.

条件①：鼠产数加一城T楸，祖w及*;

条件②：碣E=而i4-：1岗斗：雄斗虢，%吏K*；

条件③：莪二=信+1，跳电及机

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.（10分）在能:中，角，&,密，位:的对边分别是备fy,容，已知

您“岳'而离T锻"itiwC-tmS4协岳如《:"妇幼&4=玄］疝ir忠id眈胤

（1）求角鬲的大小；

（2）若包=螭，愕=离£，点9满足髓=育密+点疣求△且蹈的面积

19.（10分）如图，在四棱锥部-，破《右中，平面我部.1.平面剧也都区0必谈?,

里双懿?=颜5值，电息=.且炒=2缄=4馥：=4，沪算=亚

（1）证明：/亚L平面息馥:物

（2）线段总看上是否存在一点使得用隙:与平面废中所成角的正弦值为；声.?若存在,请求出

TF'

:喑的值：若不存在，请说明理由.

.翘

20.（io分）已知椭圆猛吟-I•4=1（标吗:孰出的离心率为喜，过椭圆小:右焦点并垂直于a;轴的直线

.四%箫交椭圆算于.承，志f（点段位于喈由上方）两点，且△◎肥搀（◎为坐标原点）的面积为春.

（1）求椭圆售:的标准方程；

（2）若直线校椭圆算于事，滞（，弟滞异于点网两点，且直线涔屿承簿的斜率之积为一号求

点源到直线看距离的最大值.

21.（10分）已知函数为a='h牌一a您吏感

（1）讨论函数盘期的零点个数；

⑵设犯期是函数直3的两个零点，证明：的中健4•曳木机aQ

22.（10分）在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群众抗击疫情的

武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依靠自身强大的科研能力，果断转产自行研制新型全

自动高速口罩生产机，"争分夺秒、保质保量”成为口罩生产线上的重要标语.

aMMAMVktt

oMH0MVVI11

a*।ftftiBft

(1)在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生产且互

不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检.已知批次工的成品口罩生产中，前三道

工序的次品率分别为2..=1«,产三=舄1.

①求批次।成品口罩的次品率F.

②第四道工序中红外线自动检测为次品的口罩会被自动淘汰，合格的口罩进入流水线并由工人进行抽查

检验.已知批次I的成品口罩红外线自动检测显示合格率为92%,求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一

个口罩恰为合格品的概率(百分号前保留两位小数).

(2)已知某批次成品口罩的次品率为翊①之我父。设100个成品口罩中恰有1个不合格品的概率为

区血，记就汕的最大值点为趣,改进生产线后批次J的口罩的次品率招=裁办某医院获得批次工，

J的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用.经统计，正常佩戴使用这两个批次的口罩期间，该院医务人员

核酸检测情况如下面条形图所示，求均，并判断是否有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒

的风险有关？

附：金：赢於如『：

£温或武遥/城加+海

P(K2>k)0.0500.0100.0050.001

k3.8416.6357.87910.828

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】A

【考点】并集及其运算

【解析］【解答】解：,加=如一学家笈父心，德=

---押=］一24■唠.

故答案为：A.

【分析】可求出集合M,N,然后进行并集的运算即可.

2.【答案】D

【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模

【解析】【解答】解：由&—直，+@=》一多，

得，一归1一生建国一三瓷医一飞

符…-宣-MM--'iw'，

**-5=1-3b

贝UHsf=恭

故答案为：D.

【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解.

3.【答案】C

【考点】反函数

【解析】【解答】解：因为函数野=赫的图象与函数努=£：力的图象关于直线¥=煞对称，

所以丫,=式也与岁=0互为反函数，

故式:虱=1四，

所以乳室;I=嵬1=物eT加曙=14-如口•

故答案为：C.

【分析】利用图象关于直线y=x对称，求出普=嵋的反函数即为y=f(x),将x=2e代入y=f(x)求解即可.

4.【答案】B

【考点】二次函数在闭区间上的最值，三角函数中的恒等变换应用

【解析】【解答】解：函数式4］=电然甑4■金顺娉-■=：1-3疝岛,4■金如,％=-,血B；-家|411=41

由于修］,

故oin?e[ai]）由于函数或好的对称轴为：|，

当就时尸时空）取得最大值X^U=MS）=>

故答案为：B

【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和二次函数的性质的应用求出结果.

5.【答案】C

【考点】等差数列的前n项和，数列递推式

【解析】【解答】因为鼠尸野一1,所以当雄=1时，的=甑=1；当雄翳2时，

的=%「黑巾='于一步'当必：=1时，侬=■岁I亦满足;所以隔=学『逐立志也所以

1%事涉i=1%窜=温-1,所以前10项和等于妒号迎_4狰

故答案为：C.

【分析】利用an=Sn-Sn-i可知当n>2时an=2"i,进而可知an=2"i,利用对数的运算性质可知Iog2an=n-1,进而

利用等差数列的求和公式计算可得结论.

6.【答案】B

【考点】基本不等式，等比数列的性质

【解析】【解答】由题可得啜“J庶=取,所以•消.济=甘，即，/瞄=承

所以您4遍=4逛三步嬴，可得丽想】，当且仅当您=钻时等号成立，

所以您我的最大值为1，A不符合题意，B符合题意.

因为位得卜外曲与=年”斗一叠+射吗卜胃，当且仅当普=合等号成立

故和京的最小值为：|,无最大值，C和D都错误.

故答案为：B

【分析】由已知利用等比数列的性质，基本不等式得abSl,即可判断A,B；利用基本不等式即可判断

C,D,即可得解.

7.【答案】A

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积

【解析】【解答】解：圆锥的体积犷=融导露=匿瑜鉴噫&,解得花需居

则设所求圆锥的底面直径与母线长为式工务:饭，则底面半径为第，

、”二、

故答案为：A

【分析】根据圆锥的体积公式先求出n的近似值，然后根据圆锥的表面积公式建立等式求出底面半径,

最后根据体积公式进行求解即可.

8.【答案】C

【考点】二项式定理

【解析】【解答】解：—学*4加=我-%34点.4与*领

而笈_.:的展开式的通项公式为笈7=端“：-玲・声%，

故b_$泞+多秣_|喇的展开式中aS的系数为髭斗%串"::CH成,《一贫烈=居一&?亲=冬，

则您=再°,

故答案为：c.

【分析】式子即取一£喉承十靠/的，再利用二项展开式的通项公式，求得好的系数，根

据整的系数为3,求得a的值.

二、多选题

9.【答案】A,B

【考点】曲线与方程

【解析】【解答】若曲线表示椭圆，

44■萧枷14脚，

点=44■谕:泅：。，射3=1+谓:新0，

则新a-1，

即椭圆焦点在％轴，

则极=戚-去"=如得窗=亚'此时焦点坐标为［±^£.：Q|

若曲线表示双曲线，由&-5®口口4威）基:值得-4父阳出一1，

此时双曲线的标准方程为:m'T=1，

则0a=4+：弱'—1—弱，

即焦点在a：轴，则掇二点4■炉=$,得以=3，

此时焦点坐标为（士下1dj,A符合题意；

若曲线表示椭圆，

---44■琳新14渤，

0=44砌：配0，会3=1+相:加0，则2评第一1，B符合题意；

若曲线表示双曲线，由@4■梅•加14：总，得一4y请《一1，c不符合题意；

由前:一野一森=Q得感-口-7=/，

—1=：0..

得:：火‘，得A：=1>v=：Q>

即直线过定点』孤］饭，

当曲线为双曲线时，一4y旃豕一1，此时恭=4号沏€也阐，

当游=—2'时，成=*此时，双曲线右顶点为患©，在点就:L®的右侧，

此时直线不一定有两个交点，D不符合题意.

故答案为：AB.

【分析】根据双曲线和桶圆方程的特点分别进行判断，即可得出答案。

10.【答案】C,D

【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质，函数的周期性

【解析】【解答】对于A,当在也』时，或&=一必+箕，此时。然魅再1，

又由矍力是定义在强上的奇函数，则依⑪=：Q，且当位［一工俎时，一吃空加今

故在区间［一］』上，—J驾烝冕1，A不符合题意，

对于B,函数或J图象关于直线以=j对称，则有刈3—城=Ka

又由怨*是定义在期上的奇函数，则怨*=-X-4=-^4.4

则有空汽电=一检.十力,=式口故或©是周期胃=4的周期函数,B不符合题意：

对于C,式通的图象关于W.=J对称'则函数必小口的图像关于野轴对称,组小口是偶函数,C符

合题意，

对于D,空^是周期策=4的周期函数,则意地切尸式:H4K：辞阖=式口=J，D符合题意,

故答案为：CD

【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案。

11.【答案】C,D

【考点】三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的零点与最值

【解析】【解答】解：对于A,函数抵*=统献：+%而工=j'lT.洛温黛十球，其中酬蹩=%

因为函数过点的最小值为5所以_扣声=一的解得±嗑,A不符合题意；

对于B,若函数组1*=猪睡%：+嘉大!城=2，

人」"=Him!==一KI—国磴''

因为久UQ.鼾，所以学倒，丽我飙nIT剑啬吏飙n

喜出之卡勒—。4心直工4应此时共QT呦

所以不存在2直也：口使得乳：由=2成立，B不符合题意；

对于C若2=5,则式Q=,3s碱;4制,

因为在R卦所以.蒐痔亮［意第，蒸诧出叫

.任口一司父】0-1用空4-调父1"?=w-】或竽3M萧叶】，

甯在,可都有翩-,父】成立,

因为

所以弊一1尊巳解得J屹萧父之即稿0i学，C符合题意;

如Tia"胃,•,",

对于D,式⑪=，1+£］&+钞其中bw=,，

因为函数式我在国手］上存在最大值，

所以0版吟次解十号，即时度，面，

所以t:晔（直［W；=4as}3毛］亳24

铜.，D符合题意・

故答案为：CD.

【分析】根据辅助角公式化简得*Q礴;4我其中«=再根据正弦函数的性质，

逐项进行判断，即可得出答案。

12.【答案】B,C

【考点】曲线与方程

【解析】【解答】解：成G=4衣—=反HJ4依-笺「；,

若过乳=卷，则四目四=而:a阈=4,

则源的轨迹是以事，密为焦点的椭圆，

此时期=⑥，•£,=*即僚=需62=或一4=经，

即椭圆方程为寻卡1=1，当丫•=1时，得.=】一日=*，得迪=嬖，得"L*,A不符合

题意，B符合题意，

存关于V=1对称点为。依出，

则N+M=NM当就彝。三点共线时，编；）最小，此时

X4==，？4宣『4野一69=&6T4,=痛=甯,怨:）无最大值-

C符合题意，D不符合题意，

故答案为：BC.

【分析】根据两点间距离公式，结合椭圆的定义和性质分别进行判断即可.

三、填空题

13.【答案】7

【考点】平面向量数量积的运算

【解析】【解答】解：根据题意，蝌=1，鼠=加且废1—司=3

则有惨-肾=才，犷-稣不=1：。-赚“斤=4,变形可得胃，•苫=裒

则“4■啕'=炉子范=4费•4=49

故/+啕=?，

故答案为：7.

【分析】根据题意，对您—⑹=2变形可得备苫的值，又由嵌转野存凄计算可得

答案.

14.［答案】

【考点】古典概型及其概率计算公式

【解析】【解答】将12盏灯依次编号为1、2、3、…、12,

从12盏灯中关掉4盏灯，共有公义"=带=4嬷种方法，

每间隔2盏灯关掉1盏共有3种情况，即关掉haw比域电.现电.】口或国.任臻1知

所以恰好每间隔2盏灯关掉1盏的概率为步=篇，=电,

故答案为：宁

【分析】先对12盏灯依次编号，然后求出总的情况，然后再对所求事件的情况分类讨论即可求解.

15.【答案】

【考点】球的体积和表面积

【解析】【解答】解：作空间四边形总感公右，取总右的中点装，连接国绥W，如下图所示,

由已知可得，3魂篇,也.焉遵&为等边三角形，则旗侬._LH窿;，谡,_L*■;，

国密燃?为二面角国一《然；一彩的平面角，大小为r宽!峨，

设△.微仁的外心为彦，△就出的外心为浮，连接热巴

分别过百,卢作所在面的垂线，相交于&,则◎为四面体息感售：用的外接球的球心,

由己知求得痣尊=疹年==应答=号’

在△虎支暮中，龙，&=蹬季T产标2—“严修，•龙餐’，•评球1砥。电，

又X◎铲=濯@?宏=建Q哂一，烧铲三一铲,=慈©«,：,

所以△◎您好为等边三角形，所以&咨=◎F=1，

故四面体息龙直泼J的外接球的半径

••.四面体息或贪凌）的外接球的表面积为4^K：

故答案为：零.

【分析】由题意画出图形，找出四面体外接球的球心，求解.三角形可得外接球的半径，再由球的表面积

公式求解.

16.【答案】技；事

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【解答】解：由抛物线的方程可得焦点浮的坐标停,，庙，准线方程为蒐=-4,

设品#j，由题意设直线扁港的方程："图%-第，

、~I疗,I2X'.n»

联立卜=翻案一方

,整理可得:由一日孰**;宣=6

（承=2豁、

可得3"和=尊，氢硒=号”

所以招士医=参鼐14还一脚=露都招相=-得歌的’=-擀

【分析】由抛物线的方程可得焦点的坐标，由题意可设直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之和及

两根之积，由抛物线的性质可得弦长|AB|的值，由题意可得p的值，代入面积公式可得三角形的面积.

四、解答题

17.【答案】（1）若选条件①：凝尸砌加一:蟆孑楸，①；

当啮门时，痂7=保一期事:一瀛一球■+馋一⑪②，

①-②得：a：-孰-0，

所以%-%_]=?（常数），

故数列以』是以绐=1为首项，2为公差的等差数列；

所以国='鼎一1（首项符合通项），

所以=1.

选条件②：蜥匚=第一照；4+城+翔，①；

悟一骐;小魏心产例一那十翔一13②，

①-②得：做-%_】=?（常数），

故数列是以做=1为首项，2为公差的等差数列；

所以国='年一1（首项符合通项），

所以凭*=¥此一1.

选条件③：晟：=属41，祖吏**•

所以-我^=-1（常数），

所以数列:板，是以1为首项，1为公差的等差数列・

所以菽^=砂

整理得儿=漏

故%=瑞一£1=那一做一球=%-血段再，当雄=1时，购=1符合，故做产或一，

(2)证明：由于筛产期一1,

所以“=*”&M=布筋汇5=看GG_K?'

则“=於他…他=魂W-*#…十言-#2朝-东。得•

【考点】数列的求和，数列递推式

【解析】【分析】⑴选①②时，直接利用递推关系求出数列的一能心=£进一步求出数列的通项公

式，选③时，利用菽二--嘉'=J(常数)，进一步求出数列，收1是以1为首项，1为公差的等差数

列，最后求出数列的通项公式；

(2)利用⑴的通项公式，进一步利用裂项相消法和放缩法求出结果.

18.【答案】(1);q虱％4+磔-痴窿:"如:雕龙4h1•,■=如tA啮4归"区施离，

:岳'踵金-:dwyi+rriuC："妇滩曲T:riw啜"蛀i或;箕:勰W=观1啮'r式加龙+疝i噱』区施离，

即疝迎金"鼠血岛+蟾知妣■:勰齿4曲如嫌疑胳出=定向啜"鼠询应T疝期i，

.'.idi国-&向离斗鼠血篝墓而r&n-+4J=球如图"号:而因Tid阳i,

二国如,之@+owX-母谢’或=蛭西森血,密，

即"区4—玄"=的，

由余弦定理得Q瞬龙=*,

由密为三角形内角得逢=飞

(2)由(1)02+布工一玄工=餐窗，

:戒41卷一3胤承K；电?!=卷4.

整理得成一域'一»6=：0，

解得，您=城

.1就破就,

.'./电=«题一高懑=喙逋T寐:-AS-一赢］=

二%.第.第.修

:秒在龙邕上，且为靠近鬲的三等分点，

【考点】向量的线性运算性质及几何意义，余弦定理

【解析】【分析】（1）利用正弦定理及余弦定理对已知进行化简，即可求解；

（2）由（1）可求a,然后结合三角形的面积公式即可求解.

19.【答案】（1）证明：‘平面我阚」.平面息馥&,平面典4四色平面息馥:四=国威,

显彘勉=毁。闻，

...X,灼.I.平面现*JS，

,二超41r平面料蟠,，&石」料心

在直角梯形笈感皮&中，.殳皤=«：=4.

赢:=必#*遨算工=击&F'=志＞

•.现n=4,卢密=亚,..严:学斗金笈?=慈：工即料乩_1.*斯;,

又.就*,金纪=4总泪、盛七平面居3

现41.平面趣算跖

（2）解：以.《为原点，且乱意涉，.4部所在直线分别为式，V,中轴建立如图所示的空间直角坐标

系，

则戏劭0,怎，鬣3,0,颂屣Q,0,4X战3,1,出，或Q,4,⑦，

:遢=察，0,⑦，三=啰，1,一战，两=动4,一带,

设就=病1，徒也，11，贝八磁徵，。，®

，赭士-空，1，①,

修•＞＜：=◎,j2氐4\下,-4s=©

设平面废典的法向量为求="，%方，则即

'施，'磁=Q?斗督-4任=微

化简得1螳—戚Th©，解得夕=看，

故线段总国上存在点上/满足题意，且噜=$

【考点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求直线与平面的夹角

【解析】【分析】⑴由平面PABJL平面ABCD,推出AD_L平面PAB,有ADJ.PA,再由勾股定理的逆定理

证明PALAC,最后由线面垂直的判定定理，得证；

（2）以A为原点建立空间直角坐标系，设或=2冠,M吏EQ,1],求得平面PCD的法向量

雇工,,___A

弟由=心魄父和a呢;：a，求出，:的值后，即可得解.

20.【答案】（1）由题意可得我过窿学

N=卷=药

所以由题意可得.二.且幡=以一乩解得点=%%L9,

足“铲誓=看

所以椭圆的方程为：苧*

⑵设点wu由⑴易求得唳嚣

当直线子的斜率不存在时，设其方程为式=曲（一'2＜芭0＜：2且物声1）,

联立建M得::.空谑*因为

将士重=1a=窠一宣]

要引

所以〜/旅景;=-豕即编5一髓"】=◎•

解得.翊=$或.切=1（舍），此时点烂到直线掷距离为年.

当直线看的斜率存在时，设其方程为努=懿;4瑞，

伊,=熬.+源飞

联立布M,消去野并整理得惶小皱“注T蜘砒r物强—1曾=口

方斗常“

口=翁威一04-轶冬西戒一

Wf=一段就百F.

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即便+捌一罩j屋繁44诩•4匐=Q，所以念4加一§=Q或•豫+4激+装=◎

若念一研一得=：。，则直线看的方程为产一§=戚*-口.

所以直线t过定点就也用，不合题意.

若费4•牺V=◎，则直线看的方程为”.=期：一第，所以直线t过定点a|4:s-fj.

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又因为孽/手如y所以点般在椭圆窗内.

巡二%-3『碓-!一蕾=1二学I'

设点烂到直线E的距离为&所以/

所以点烂到直线都巨离的最大值为恒.

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【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】（1）由离心率和三角形。PM的面积即a,b,c之间的关系求出a,b的值，进而求出椭圆的

方程；

（2）设直线I的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出直线PA,PB的斜率之积，由题意可得参数

的值，即求出直线I过的定点Q的坐标，进而求出P到直线I的距离的最大值为PQ。

21.【答案】（1）解：由题知函数怨*的定义域为国T®，烝*=金_避=上善.

当口=：◎时，则为bimri，式式有唯一零点好】.

当”:。时，则烝*券◎在他十城上恒成立,所以过我在国"碱上是增函数，又

恁Cl=一豌T券Q，式册》=&一出产。父力故也产豫嗅虾胃，使得疝J=：Q，

此时也：式有唯一零点为・

当口a©时，则当0%：短磋时式我翻4所以发我在如耨上单调递增；当客晨时式虱父Q，所

以淳1在ii:上单调递减.

所以式&舔=戏，=如看

当您=J时，愚j=逊=Itwl=Q，所以陶有唯一零点1.

当洛1时，烝k=„j=i忌蹴i，怨2无零点.

当Q父找父】时，依且馈?E=-摊•-%：◎，故六代把":，第,使得微j=Q.

次第=嘘—嚏+1=］嘘—*=囹畸—拿，

令赢。=•:a»；-嵬,则氯a*=g-】•

因为当QmmmW时，鼠&>◎，当回:割金时，公二林刈

所以离摊（&哪上单调递增，在也+城上单调递减.

所以虱%媪=域色=倒的_学父0

所以3taL嵬g:①

所以.踊卜猫嗑一京襁

故小价使得式媪=力

所以当Q父代父J时，式:我有两个零点.

综上，当您也：Q或窿=J时，郭盆有唯一零点；

当Q父瓷父：1时，回：或有两个零点；

当口取［时，式Q无零点.

（2）证明：令由⑴可知叱酢】，跋乩毓=阚=0

所以贰、M茎◎所以M：茎;£所以如看变所以一受助流茎曝

令

所以就我在（1:4用上单调递增.

所以嵬善磔*=◎所以如%-「工四：a◎,即bn、；"’"，；，・

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又粒'网是函数检,富的两个零点'所以曲:『—曦姓*N斗41两=:式d.相减'得如冶%=武的..

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不妨设.£:孰魁，则马ai所以出；「城=1陵?：aa&d=tfca

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所以@龄一城:新当三3.所以114%#a所以同步恻勒党变一'%扁.

所以猊T还4■金如您:斜:Q.

【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，函数零点的判定定理

【解析】【分析】⑴由题知函数式盆的定义域为年4遍，傕4=*_您=3等，利用数形结

合的方法，进行分类讨论，讨论函数y=f（x）的零点；

（2）利用⑴的结论，证明—,罩击j您潦:康，将所要证明的不等式转化为证明43工事息:a—曳：h『凝，结

合的，网是函数过点的两个零点，进一步转化为证明和支M,即可证得

*±3：?4'型如'您加噂。

22.【答案】（1）①批次I成品口罩的次品率为

沙尸j-1口-晨j-鼠1-凰=1-II«-§噜=4­

②设批次I的成品口罩红外线自动检测合格为事件事，人工抽检合格为事件滞，

由已知，得惠媪•理玛.1=1-繇=J-食=食，

则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个口罩恰为合格品为事件癞，

（2）100个成品口罩中恰有1个不合格品的概率或氯=区圆承”1-也产

因此④4=】。0电一以产一眼泼i一虚产|=1@喊1一夏产，《i一1：缱威•

令级64=©,得部=：QRL

当*归地◎娟J时，遥越割&；当部毛息.叽：口时，遥越出&

所以式血的最大值点为於q=：QQJ.

由（1）可知，泌=露”鹤，&=装"=Q：Q1,故批次j口罩的次品率低于批次I,

故批次j的口罩质量优于批次I.

由条形图可建立号X门列联表如下：

单位：人

口罩批次

核酸检测结果入口；n4-

1J

呈阳性12315

呈阴性285785

合计4060100

«斑渥一版『

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因此，有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关.

【考点】独立性检验的基本思想，n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，条件概率与独立事件

【解析】【分析】(1)①利用概率的乘法公式求解即可；

②先求出批次I的成品口罩红外线自动检测合格的概率，然后利用概率公式求解即可；

(2)求出100个成品口罩中恰有1个不合格的概率＜MP),然后利用导数求解力(p)的最大值点，即可求出

a1=阳=：。窥1,然后列出2X2列联表，求解K2然后与临界值表比较即可得到答案.

试卷分析部分

1.试卷总体分布分析

总分：93分

客观题（占比）29(31.2%)

分值分布

主观题（占比）64(68.8%)

客观题（占比）13(59.1%)

题量分布

主观题（占比）9(40.9%)

2.试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

单选题8(36.4%)16(17.2%)

多选题4(18.2%)12(12.9%)

填空题4(18.2%)5(5.4%)

解答题6(27.3%)60(64.5%)

3.试卷难度结构分析

序号难易度占比

1容易45.5%

2普通54.5%

3困难