运输包装课件三章振动

第三章包装中的振动基本理论第一节振动的基本概念第二节单自由度线性系统的振动第三节考虑易损部件的强迫振动第四节随机振动第一节振动的基本概念一、概念二、包装件的力学模型三、缓冲材料的一些力学特性四、机械振动的分类一、概念

振动是由振源向振动系统输入信号，系统所作的响应。激励（振源）：促使物体振动的各种外因阻尼：阻碍物体振动的因素，如空气的阻力，材料的内阻，物体之间的摩擦等一、概念与运输包装动力学相关的一些物理定律：牛顿第一定律（惯性定律）：一个物体如果不受力或作用于物体上的力是平衡力，则其运动状态不变。牛顿第二定律：在惯性系中，质点受力作用将获得加速度。牛顿第三定律（作用力与反作用力定律）：两个物体间的作用力与反作用力大小相等，方向相反。胡克定律：在弹性限度内，若弹簧在外力的作用下产生位移，则二、包装件的力学模型外包装箱产品缓冲衬垫(a)部分缓冲结构产品(b)有易损部件的全面缓冲结构k阻尼器mm1cm3c2c1k2k1m1m2产品

简化的力学模型三、缓冲材料的一些力学特性材料的弹性ε

x

缓冲衬垫P

h

σo

材料的粘性

缓冲材料，特别是泡沫塑料等高分子材料，在受到振动与冲击时，其内部会产生与运动方向相反的阻力，这种阻力称为材料的内阻，用R表示。设变化的载荷使得缓冲材料以运动。则通过试验可知粘性阻力为：式中R为粘性阻尼力。c为阻力系数，也称为阻尼，其单位是三、缓冲材料的一些力学特性缓冲材料的等效弹性刚度

缓冲衬垫P

P

h

缓冲衬垫的等效弹性刚度就可用弹簧的刚度来表示即：

三、缓冲材料的一些力学特性缓冲垫的串联缓冲垫的并联四、机械振动的分类按系统自由度分——单自由度系统振动多自由度系统振动

连续介质系统振动按微分方程分——线性振动非线性振动按系统输入类型分——自由振动强迫振动自激振动(结构系统受到自身控制的激励作用时所引起的振动)按输出规律分——周期振动随机振动第二节单自由度线性系统的振动一、无阻尼单自由度系统的自由振动二、有阻尼单自由度系统的自由振动三、无阻尼单自由度系统的强迫振动四、有阻尼单自由度系统的强迫振动一、无阻尼单自由度系统的自由振动作用在质量块上的弹性力总是指向平衡位置(恢复力)。若没有能量损耗，振动时离开平衡位置的最大位移不变，称之为振幅。自由振动具有周期性。从某一位置开始运动，总是在一个固定的时间性内回到开始位置，这一时间叫做振动的周期，单位为秒。为了描述振动的快慢程度，引入振动的频率f，它定义为单位时间内振动的次数，单位为赫兹（Hz）。频率f和周期互为倒数，即：一、无阻尼单自由度系统的自由振动力学模型设弹簧的原长为L0，弹簧静变形一、无阻尼单自由度系统的自由振动运动方程的建立考虑到得：由图（d）可知，质量块受到的合力为：由牛顿第二定理得：即：，式中整理为：一、无阻尼单自由度系统的自由振动根据因为k，m

均大于0，令得假设时，质量块的初始位移和速度分别是：那么于是得到位移方程为：式中一、无阻尼单自由度系统的自由振动无阻尼单自由度振动的固有频率和固有圆频率物块振动一次经历的时间Τ称为周期。根据正弦函数的性质，时间每经历一个周期，正弦函数的相位角增加2π，故：因为所以，周期为频率为一、无阻尼单自由度系统的自由振动例：已知一包装件的产品质量m=10kg，缓冲垫等效弹性系数为k=10000N/m，将其简化为无阻尼单自由度模型，给缓冲垫一个初始位移x0=-0.01m，使之从静止开始振动，求固有频率和位移方程。解：由公式得系统固有圆频率为：

固有频率为：（Hz）又已知初始条件为：x0=-0.01m，v0=0。得：因此运动方程为：一、无阻尼单自由度系统的自由振动二、有阻尼单自由度系统的自由振动由于包装缓冲系统都是有阻尼的，所以，分析有阻尼单自由度系统的自由振动具有十分重要的作用。图有阻尼单自由度振动的受力分析物块m作自由振动，在任一瞬时t，作用在物块上的力有：重力

mg弹性力

阻力

根据牛顿第二定律，物块的运动微分方程为：将方程简化后得：令上式中，，就得到有阻尼自由振动的运动微分方程的标准形式式中：——是物块弹簧系统的固有圆频率；

n

——是阻尼系数，其单位为s-1

二、有阻尼单自由度系统的自由振动设特解为代入上式得：根据微分方程解方程得

n

＞ω，称为大阻尼。物块受初干扰离开平衡位置后又缓慢地回到平衡位置，不可能振动；

n

=ω，称为临界阻尼。

n＜ω，称为小阻尼。物块系统受干扰产生振动。因此我们只讨论这种情况二、有阻尼单自由度系统的自由振动当n＜ω时，设，故将上式代入中得：将它按欧拉公式展开，得到两个特解：将这两个特解线性组合，即得通解为二、有阻尼单自由度系统的自由振动由上式可以看出：小阻尼n＜ω时包装件的运动规律为正弦波形；因为-1≤≤1，所以包装件的位移被限制在两条曲线和之间；包装件的振动随时间的增加而逐渐衰减，是衰减振动。二、有阻尼单自由度系统的自由振动设初始条件为：，由此可确定常数A和

计算公式为：，得：衰减振动虽然不是真正地周期性运动，但它仍具有等时性，因此物块来回往复一次所经历的时间仍然称为周期，用表示二、有阻尼单自由度系统的自由振动阻尼对自由振动的影响主要表现在振幅。设相邻两次振动的振幅分别为和，则前后两次的振幅比为：d

称为振幅系数，由上式得：因为d＞1，所以小阻尼自由振动的振幅按几何级数的规律迅速衰减。……二、有阻尼单自由度系统的自由振动例：已知一包装件产品质量m=10kg，缓冲垫等效弹性系数为k=10000N/m，将其简化为有阻尼单自由度模型，设阻尼比为。给缓冲垫一个初始位移x0=－0.01m，使之从静止开始振动，求振动周期、位移方程，并计算振动多少次后的振幅小于初始振幅的5%。解：系统的固有圆频率为：得无阻尼固有圆频率为：阻尼系数为：振动周期为：

二、有阻尼单自由度系统的自由振动又已知初始条件为：x0=－0.01，v0=0得得由公式得位移方程为：因为，，所以振幅系数为：有即要求二、有阻尼单自由度系统的自由振动作业一已知一包装件的产品质量m=6kg，缓冲垫等效弹性系数为k=600N/m，当其作无阻尼自由振动时振幅为A=0.04m，使之从静止开始振动，求其固有频率、位移方程。已知一包装件产品质量m=8kg，缓冲垫等效弹性系数为k=500N/m，将其简化为有阻尼单自由度模型，设阻尼比为。当其作有阻尼自由振动时振幅为A=0.02m，使之从静止开始振动，求振动周期、位移方程，并计算振动多少次后的振幅小于初始振幅的10%。三、无阻尼单自由度系统的强迫振动强迫振动：有周期性变化的外力（激振力）在振动过程中一直作用在系统上，则系统会产生响应。这种由激振力引起的振动就是强迫振动。建立力学模型：运动方程：设支座作持续的简谐运动：式中：——为振动台的最大振幅；

p

——是振动台的振动圆频率。在系统振动的任一瞬时，物块所受的弹性力为：根据牛顿第二定律，物块的运动微分方程为：令化简得运动方程为：上式的解是由两部分组成的：式中：

x1

——为与运动方程对应的齐次方程的通解；

x2——为运动方程的特解。运动方程的齐次方程是：若加上初始条件，就成为无阻尼单自由度振动方程，它的通解就是，其中三、无阻尼单自由度系统的强迫振动将上式代入物块运动微分方程得化简得所以运动微分方程的特解为：根据实验知道，系统的响应频率与激振频率相等。因此设三、无阻尼单自由度系统的强迫振动因此，运动微分方程的解（也就是位移方程）为：由于x1

是自由振动，在实际情况中会很快衰减，故稳态强迫振动的位移方程可写为：上式表明，系统在外部持续激励作用下的稳态强迫振动也是简谐运动，其频率与激励频率相同。振幅与系统本身及外部激励的性质有关，与运动的初始条件无关。三、无阻尼单自由度系统的强迫振动强迫振动的振幅放大系数振幅反映强迫振动的强弱，因此要推导振幅放大系数，从而通过已知的外部激励振幅求出系统响应的振幅。将改写成令响应振幅与输入振幅之比为：系统响应圆频率与系统固有圆频率之比为：则上式可写成如下形式：取λ为横坐标，β为纵坐标，画出一条曲线，称为幅频函数。三、无阻尼单自由度系统的强迫振动通过β—λ曲线可以看出以下规律：强迫振动系统的响应频率等于激振频率，都是；式为放大系数，也叫幅频函数；3.放大系数中表示激振频率与系统固有频率之比。当时，，这种现象叫共振，这时响应加速度也趋于无穷大，从而振动产生的动态力也趋于无穷大，所以一般振动破坏都发生在产生共振的时刻。三、无阻尼单自由度系统的强迫振动由运动学而知，有了位移方程，我们可以通过对时间求导，从而得到速度与加速度值。由外部激振方程可得激振输入的最大加速度为：响应的最大加速度为：因此得于是由输入最大加速度和放大系数可求得系统响应最大加速度：同样可求出响应速度与输入速度的关系：三、无阻尼单自由度系统的强迫振动例：有一包装件，产品质量为m=1kg，衬垫的弹性系数为k=200N/m。将其放置在振动台上做实验，振动台输入的激振频率为2.5Hz，最大输入加速度为0.01g，求产品响应的最大位移和最大加速度值。解：包装件的固有频率为：已知f=2.5Hz，所以放大系数为：式中负号表示输入与输出方向相反三、无阻尼单自由度系统的强迫振动最大响应加速度为：因为，，所以最大位移为：三、无阻尼单自由度系统的强迫振动四、有阻尼单自由度系统的强迫振动建立力学模型：运动方程：设支座作持续的简谐运动：式中：——为振动台的最大振幅；

——是振动台的振动圆频率。在系统振动的任一瞬时，物块所受的弹性力为：物块所受的阻尼力为：根据牛顿第二定律，物块的运动微分方程为：化简得：为将上式等到号的右边化简成一个正弦函数的形式，令运动微分方程就化成：四、有阻尼单自由度系统的强迫振动再令运动微分方程又可化成：上式的解是由两部分组成的：

x1相对应的齐次方程的通解是：由于阻尼的影响，上式很快衰减。x2是稳态的强迫振动的特解，设其为将其代入式，得四、有阻尼单自由度系统的强迫振动因为可表示为将其代入X2

式中化简得：四、有阻尼单自由度系统的强迫振动因为在振动的任一瞬时τ，上式都成立。所以前的系数都应为0。即：从而求得：四、有阻尼单自由度系统的强迫振动令，再将代入得

将式代入式，就得到物块稳态强迫振动的振幅公式：四、有阻尼单自由度系统的强迫振动同理将式代入可得到物块稳态强迫振动的相位差的正切为：四、有阻尼单自由度系统的强迫振动强迫振动的放大系数与幅频函数令响应振幅与输入振幅之比为：系统响应圆频率与系统固有圆频率之比为：阻尼比为：于是系统的幅频函数为：为了便于分析，取为参变量，取λ为横坐标，β为纵坐标，绘出一系列不同的β—λ曲线，就是幅频特性曲线。四、有阻尼单自由度系统的强迫振动强迫振动的幅频特性曲线四、有阻尼单自由度系统的强迫振动由上图可看出如下规律：当λ=0时，β=1，即各条β—λ曲线有共同的起点；当λ=时，又有β=1，即各条β—λ曲线相交于这个公共点。当0＜λ＜时，β＞1，且β—λ曲线有最大值；当较小而λ又接近于1时，系统会产生强烈的振动，这种现象称为共振。当λ＞时，放大系数小于1，并逐渐趋于0，即激振频率越高系统响应振幅越小。所以对包装件来说，损坏基本都发生在低频区域。四、有阻尼单自由度系统的强迫振动为求共振时的放大系数，令，求导得：共振时的频率比为：将上式代入幅频函数中，就可求得βmax

。当不是很大时当很小时（＜0.15）时，可近似取λ0

=1

，四、有阻尼单自由度系统的强迫振动相频曲线将，代入得：根据上式绘出φ—λ曲线，称为相频特性曲线。在较小的情况下，φ—λ曲线在λ=1时初有突变，这一特征可用于测试系统的共振频率。四、有阻尼单自由度系统的强迫振动例：设有一个包装件系统，其固有频率f=30Hz，阻尼比

，试求这个系统发生共振时的激振频率；已知外部激励振幅为0.8