高中数学立体几何空间距离的各种计算含答案

高中数学立体几何空间间隔

1.两条异面直线间的间隔

和两条异面直线分别垂直相交的直线,叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线

的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的间隔.

2•点到平面的间隔

从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的间隔叫做这个点到这个平面的间

隔.

3.直线及平面的间隔

假如一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的间隔相等，且这条直线上

随意一点到平面的间隔叫做这条直线和平面的间隔.

4.两平行平面间的间隔

和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面

间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的间隔.

题型一：两条异面直线间的间隔

【例1】如图，在空间四边形力石8中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=aiE、歹分

别是力B、8的中点.

⑴求证：EF是和8的公垂线；

(2)求48和8间的间隔；

【标准解答】(1)证明：连结ZF,BF,由已知可得

又因为力所以核1AS交于区

例1题图

同理EF1DC交。。于点F.

所以EF是Z3和CD的公垂线.

(2)在9中，BF=^-a,BE=^a,

所以E#=B#_BE^=；a2,gpEF=^a

由(1)知界'是ZA8的公垂线段，所以48和8间的间隔为二历A

【例2】如图，正四面体的棱长为1,求异面直线43、。味'I、

设力B中点为区连CE、ED.'弋V二F

■：AC=BC,AE=EB.：.81月A同理DEVAB.

例2题图

..•45_L平面CED设CD的中点为冏连EF,则AB^EF.

同理可证815户」.EF是异面直线ZA8的间隔.

CE=,/.CF=FD=-,ZEFC=90°,EF=

22

：.AB.8的间隔是变.

2

【解后归纳】求两条异面直线之间的间隔的根本方法:

(1)利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.

(2)假如两条异面直线中的一条直线及过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线及平

面的间隔.

(3)假如两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的间隔.

题型二：两条异面直线间的间隔

【例3】如图(1),正四面体的棱长为1,求：Z到平面

过Z作491平面BCZ?于O,连30并延长及。相交于E,连

AB=AC=AD,：.。岳OOOD」.O是△88的外心.又BD=BC=%3题图

••.0是438的中心，：.JBO=^BE=^x^-=^-.

又力3=1,且NZO岳90°,：.AO=yjAB2-BO2邛.二./到平面38的

间隔是坐.

【例4】在梯形ABCD中,40IIBC,AABC=^,AB=a,AD=3a且sin/ADC=容又

平面ABCD,PA=a,

求：(1)二面角AC人力的大小；(2)点/到平面抽。的间隔.

【标准解答】(1)作力于况连结PF,

•：APV平面ABCD,AF]_DC,：.PF]_DC,

二ZPFA就是二面角P-CE^A的平面角.

在△AC>9中,NAW>90°,/ADQarcsing,AD=3a,：.AF=3a

忑'

在R3K4户中tan/PFA=—=^-=^-,.\ZPFA=arctan也

AF3a33

⑵丁力1平面ABCD,R41BG又BCX.AB,

，BC_L平面月4星作2771%,则平面PBC,-：PA]_AB,PA=AB=a,

；.PB=叵a,；.AH吟a.

【例5】如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AECjF所截面而得

到的，其中AB=4,BC=2,CCi=3,BE=1.(I)求BF的长；(n)求点C

到平面AEC]F的间隔.

解法1：(I)过E作EH//BC交CCi于H,则CH=BE=1,EH//AD,且EH=AD.

•「AF//EC1,/.ZFAD=ZCjEH./.RtAADF^RtAEHCp

「.DF=CiH=2.:.BF=』BD。+DF。=2瓜

(n)延长C】E及CB交于G,连AG,

则平面AECiF及平面ABCD相交于AG.

过C作CM1AG,垂足为M,连CiM,

由三垂线定理可知AGJ_C】M.由于AG1面CiMC,

且AGu面AECiF,所以平面AECiFl面CiMC.

在RtACjCM中，作CQ_LMCi,垂足为Q,则CQ的长即为C到面AEC】F的间隔.

解法2:(I)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),B(2,4,0),

A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).设F(0,0,z).

・••AECF为平行四边形，

1,■>一_—•»

(II)设々为面AECIF的法向量，显然不垂直于平面4。尸,故可砌=(x,y,l)

又苗=(0,0,3),设西与1的夹角为a,则cosa==噜.

|CGIT/I33

••.C到平面AEC1F的间隔为〃=五|cosa=3x^=辟.

【例6】正三棱柱的底面边长为8,对角线与。=10,D是AC的中点。

(1)求点名到直线AC的间隔.(2)求直线到平面的间隔.

解：(1)连结BD,B]D,由三垂线定理可得：B^IAC,

所以用。就是B1点到直线AC的间隔。

2222

在RgBD中=^BXC-BC=A/10-8=6,BD=4后.

(2)因为AC及平面BDG交于AC的中点D,

设qCC8G=£,则舫"/DE,所以AS，/平面GM,

所以A片到平面BDG的间隔等于A点到平面BDG

的间隔，等于C点到平面BDG的间隔，也就等于三棱

锥C—BDC}的局,yC-HDC,~%-BDC，

即直线想到平面BDG的间隔是粤•

【解后归纳】求空间间隔留意三点：

1.常规遵循一作二证三计算的步骤；

2.多用转化的思想求线面和面面间隔；

3.体积法是一种很好的求空间间隔的方法.

【范例4]如图，在长方体AC1中，AD=AAi=l,AB=2,点E在棱AB上挪动.

(1)证明：D1E1AQ;

(2)当E为AB的中点时，求点E到面ACDi的间隔；

(3)AE等于何值时，二面角Di—EC—D的大小为g.

解析：法1

(1);AEl面AAQDi,AQlADi,「ADlDiE

(2)设点E到面ACDi的间隔为力，在AACDi中，AC=CD产石，AD产正，

故5.=；•万斤|=|,而必支=；-止8。=(

(3)过D作DH1CE于H,连D]H、DE,则D】H1CE,

・•・NDHD]为二面角Dt—EC—D的平面角.

设AE=x,贝l」BE=2-x

法2:以D为坐标原点，直线DA、DC、DDi分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系,

设AE=x,则处,g1)，D】(0,0,1),E0,x1O),A(l,0,0),C(0,2,0).

(1)因麻=(1,0,1),(1,X,—1)=0,所LD^E.

(2)因为E为AB的中点，则E(1,1,0),

从而证=(1,1,-1),AC=(-1,2,0),福=(-1,0,1),

设平面ACDi的法向量为1=(a,Ac),

，一.

in-AC=0,…J-Q+2/?=0[a=2b

贝IJ_____也即八，得，

n-ADi=0,[-a+c=0[a=c

从而5=(2,1,2),所以点E到平面ADC的间隔为/^弊何二号工二:

(3)设平面DEC的法向量1=(a也c),

,

由《_____=>{,,..n令61,..c=2,a=2-x,

n-CE=0.a+b(x-2)=0.

—»"IT\n-DD,\

〃=(2-x,1,2).依题意cos一

\n\-\DD}|jQ_2)2+52

x,=2+73（不合，舍去），x2=2-V3.

.♦.AE=2-6时，二面角Di—EC—D的大小为生.

•对应训练分阶提升

一、根底夯实

1.把边长为a的正△ASC沿高线AO折成60°的二面角，则点A到8C的间隔是

（）

B.—a

中，AB=9,71015,/120°.△45。所在平面外一点尸到三个顶点

力、B、。的间隔都是14,那么点尸到平面a的间隔为（）

A.7B.9C.llD.13

3.从平面a外一点。向a引两条斜线P4,阳.儿石为斜足，它们及a所成角的差是45°,

它们在a内的射影长分别是2cm和12cm，则尸到a的间隔是（）

A.4cmB.3cm或4cmC.6cmD.4cm或6cm

4.空间四点4、B、a。中，每两点所连线段的长都等于a,动点尸在线段45上，

动点。在线段8上，则尸及。的最短间隔为（）

A.-aB.—aC.—aD.a

222

5.在四面体尸一45。中，PA.PB、尸。两两垂直.”是面45。内一点，且点“到三

个面R4APBC、0C4的间隔分别为2、3、6,则点闻到顶点尸的间隔是（）

A.7B.8C.9D.10

6.如图，将锐角为60°,边长为a的菱形/BCD沿较短的对角线折成60°的二面角，

则ZC及8。的间隔是（）

D/

7.如图，四;）底面为正方形{BCD,PD=AD=1,设点C

叭4。

到平面R4B的间隔为&，点B到平面R4C的间隔为功，则有（）

A.1<&<%B4<%<1

C.d1<l<d2D4〈d<l

8.如图所示，在平面a的同侧有三点力、B、C,△45。的重心为G.假如4B、。、

G到平面a的间隔分别为a、b、c、d,那么a+b+c等于（）

A.2dB.3dC.4dD.以上都不对

9.如图，：为a,/_A=t、“分别是ZABC.CD、

D4上的点且二=2,沿EH"两锐角折起，使4。重合,

G

这时点4到平面为""而尚腕是

第8题图广*9题图

TDv2cJ3n屈

Jo.----aL-・—aD.-----a

226

二、思维激活

10.二面角a-MMB等于60°,平面a内一点力到平面B的间隔的长为4,则点B

到a的间隔为.

11.在60°的二面角a—1—0中，/6a,401/于C,360,BD上1于D,又

AC=BD=a,CD=4ia,则4B两点间间隔为.

12.设平面a外两点Z和B到平面a的间隔分别为4cm和1cm,48及平面a所成的

角是60°,则线段为B的长是.

13.在直角坐标系中，已知43,2）,目-3,-2）沿y轴把直角坐标系折成平面角为a的二面

角Z—后,24。历90°,贝ijcosa的值是.

三、实力进步

14.在边长为a的菱形中，NZA>60°,0C1平面ZBCO,E是E4的中点，

求点后到平

面融。的间隔.

15.在直三棱柱力马G中，NACB为直角,侧面工身及侧面ZG所成的二面

角为60°,河为441上的点.N4〃G=30°,ZBMG=90°,AB=a.

(1)求右”及侧面力G所成角的正切值.

(2)求顶点力到面的间隔.

16.已知斜三棱柱ABC—AXBXCX的侧面A1ABC垂直.N

CG

AB0900,60=2,，02目,且^4」4。,^41=力1。・

第15题图

(1)求侧棱4%及底面力所成角的大小；

(2)求侧面414AB1及底面力所成二面角的大小;

(3)求顶点。到侧面4月8a的间隔.

17.如图，在棱长为a的正方体A0C八4瓦G2中，E、尸分别为棱力3及8C的

中点，EF及BD交于H.

(1)求二面角瓦一E-3的大小.

(2)试在棱身石上找一点跖使面左耳，并证明你的结论.

(3)求点2到面ER出的间隔.

空间的间隔习题解答

1.D折后•.点力到的间隔为

2.ABC=V92+152-2x9xl5cosl20°=21.第17题图

ABC外接圆半径R=—--=7后,

2sinl20°

二点P到CL的间隔为“铲-(7我2=7.

3.D设尸O1CL垂足为0,1尸O|=Acm,N04QB,NO8aY3I^B-Y=45°,

tan|3=1,tany=,tan(|3-Y)=tan45°

绽开左边并整理得:/-10*+24=0,解得与=6厌=4.

4.BR。的最短间隔即为异面直线力6及8间的间隔，当尸为48的中点，。为

8的中点时符合题意.

5.APM=y)22+32+62=7.

6.C取A0的中点。连4O、OG作。石1ZC于石,贝I」OE为所求，:.AO=CO=AC=号.

7.D点。到平面R4B的间隔d产自，

点B到平面E4C的间隔5=f,

h

<.4<d〈l•

db+c

8.B\MM'户比，又一^=-..\a+b+c=3d.

~a----------3

2

9.A设m的中点为O,

+(5)-2xlxlcos60°>点力到平面的间隔为=1.

10.2作为C1MV于C,连BC,贝ljBC1MN,

：./_ACB=^°,又M7V_L平面40G

平面力BC_L平面a,作虞?14。于。，则BDlci,

•••由的长即为所求，得BD=2.

11.也aAB=^a2+a2+(V2a)2-2-a-a-cos60°=V3«.

第13题图解

12.2V3cm或1°3cm

3

当点4B在a同侧时，

sin60°

当点力、石在a异侧时，工色—^而=呼

sm603

13.1如图,ZF，=VOA2+OB2=72(22+32)=V26

•.•3。，尸轴,5'Cly轴，

ZB'CB"为二面角—吩B的平面角.

AB'CB'=a，在amCB'中,mC=B'0=3,

B'B'=7^二由余弦定理易知cosa=1.

14.如图，将点E到平面阳。的间隔转化成线面距，再转化成点面

连力C、BD,设ZC、3。交于O,则EO//平面咫C,

••.OE上任一点到平面PBC的间隔相等.

络1ABtSra^a

•/平面PBC\_平面ABCD,

过。作OG_L平面PBC,则GEBC,

又NACB=60°,AC=BC=AB=a,

OC=-,OG=OCsin60°=叵.

24

点评：若干脆过E作平面PBC的垂线，垂足难以确定.在解答求间隔时，要留意间

隔之间的互相转化有的能起到意想不到的效果.

15.⑴•.•三棱柱43C—4BC为直三棱柱，•••/期。为二面角区一44i—G的平面角，

.•./期0=60°.

又•••/ZC3为直角，」.SCI侧面力G.

连MC,则MC是在侧面力G上的射影.

ZBMC为8”及侧面AQ所成的角.

且/C"G=90°,ZAMG=30°,所以/力MO=60°.

设贝ljMO1222,

所以

即及侧面ZG所成的角的正切值为:

(2)过力作力"1MC,垂足为M贝IJZ7V7/面加BG.

•.・面府C1面痴G,且过"作版1MB,垂足为

则7VH是"到面频G的间隔,也就是&到面MBG的间隔.

'：AB=a,AC=^,^^ACN=3Q°,

：.AN=-^/.AMN=^Q)0,：.MN=—a.

412

B

.••7V77%in/El心得a义粤”(本题还可用等积法).

16.⑴如图所示，作4O1ZC,垂足为。由面4力CG_1_面ABC,得42L面力

.•.ZA}AD为A.A及面力BC所成的角

.「441140,41=4。

.../440=45°为所求.

(2)作垂足为E,连4E,则由面45G得A.E1.AB,

N4E。是面A}ABB}及面ZBC所成二面角的平面角.

由已知得。E//BC,又。是的中点,BO=2,ZO=2百

：.DE=\,AD=AXD=^>,X.3XY/_AXED=^-=^>^/_AXED=^0为所求.

DE

(3)连结4区依据定义，点。到面445回的间隔，即为三棱锥43的高力.

由^C—AIA^K11XEC得gSAAAIB/I=；S^ABC-

即gx2后/=gx2五x石，.•.力=百为所求.

17.⑴如图连结MR,AC,B】H,D、------□Ci

.••底面为正方形4S8,iW

yc

'F

对角线ZCJ_3D

又••・£、户分别为力ABC的中点第17题图解

：.EF\\AC.：.EF\_BD.

又•.•棱为Bl底面4SCA,EP基面AECD,：,EFVBXB.

又3BnBD=B,BBX旦面BBiDxD,用”面BB}DxD.

：.EF\_面BBXDiD.

而8i月与面BH压面B&DiD,：.EF\_BxHyEF\_BH.

为二面角瓦一EjB的平面角.

在Rt△3中，BxB=a,BH=^a,

；.tan/BiHB=晅=2桓.

Z3770=arctan2V2.

.•・二面角Bi-EF—B的大小为arctan2V2.

⑵在棱右田上取中点M,连DiM,

则面环耳.连结GM

,/EF]_面BBiDiD,A川旦面D\D.

：.DXM\_EF.

又•..RG_L面BiBCG.

GM为2”在面BXBCCX内的射影.

在正方形aBCG中，M、F分别为耳B和的中点，

由平面几何学问BiELGM

于是，由三垂线定理可知百„2”,

而2面区阳1,EF，'面EEBi,EFCBiF=F,

」.AML面EFBi，

⑶设及面E股交于"点，则2"为点。到面初石1的间隔,

■：7V耳面EFBiQiM1面EFB,,

:.BiNLDiM.

在中，由射影定理DiB/=D[N-AM,

2

而DiBi=6M=7B,/）|+B[M-=-|a,

■,DAN=^^=-a.

DXM3

即点D\到面EFB｝的间隔为全.

高中数学立体几何空间间隔的计算（学生版）

1.两条异面直线间的间隔

和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线

的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的间隔.

2•点到平面的间隔

从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的间隔叫做这个点到这个平面的间

隔.

3.直线及平面的间隔

假如一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的间隔相等，且这条直线上

随意一点到平面的间隔叫做这条直线和平面的间隔.

4.两平行平面间的间隔

和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面

间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的间隔.

题型一：两条异面直线间的间隔

【例1】如图，在空间四边形力中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=afE、尸分

别是45、8的中点.

⑴求证：石户是力彳和8的公垂线；(2)求力6和8间的间隔

【例2】如图，正四面体ABC。的棱长为1,求异面直线ZAC

D,

【解后归纳】求两条异面直线之间的间隔的根本方法：

(1)利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.例例题，鄙

(2)假如两条异面直线中的一条直线及过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线及平

面的间隔.

(3)假如两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的间隔.

题型二：两条异面直线间的间隔

【例7】如图，正四面体458的棱长为1,求：4到平面的

【例8】在梯形ABCD中,4。IIBC,Z_ABC=^,AB=a,AD=3a且

例3题图

Q41平面ABCD,PA=a,

求：⑴二面角—^乂的大小；(2)点5到平面咫。的间隔.

【例9】如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AECiF所截面而得

至的，其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(I)求BF的长；(II)求点C

到平面AECiF的间隔.

【例10】正三棱柱A5C-4SG的底面边长为8,对角线鸟C=1O,D是AC的中点。

(1)求点名到直线AC的间隔.(2)求直线A4到平面G处的间隔.

【解后归纳】求空间间隔留意三点：

1.常规遵循一作二证三计算的步骤；2.多用转化的思想求线面和面面间隔；

3.体积法是一种很好的求空间间隔的方法.

【例⑴如图，在长方体AC1中，AD=AAi=l,AB=2,点E在棱AB上挪动.

(1)证明：D]ElAiD;(2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的间隔；

(3)AE等于何值时，二面角Di—EC—D的大小为

4

•对应训练分阶提升

一、根底夯实

1.把边长为a的正△ASC沿高线49折成60°的二面角，则点力到的间隔是

()

A.aB.逅aC.—aD.亟a

234

中，AB=9,AC=15,/A4C=120°.△4BC所在平面外一点尸到三个顶点

4B、。的间隔都是14,那么点尸到平面a的间隔为()

A.7B.9C.llD.13

3.从平面a外一点尸向a引两条斜线R4,阳上,石为斜足，它们及a所成角的差是45°,

它们在a内的射影长分别是2cm和12cm，则尸到a的间隔是()

A.4cmB.3cm或4cmC.6cmD.4cm或6cm

4.空间四点力、B、C.。中，每两点所连线段的长都等于a,动点尸在线段46上，

动点。在线段8上，则尸及。的最短间隔为()

\.-aB.—«C.—aD.a

222

5.在四面体尸一ZBC中，PA.PB、尸。两两垂直是面45。内一点，且点用到三

个面A48、PBC、0C4的间隔分别为2、3、6,则点用到顶点尸的间隔是)

A.7B.8C.9D.10

6.如图，将锐角为60°，边长为a的菱形力沿较短的对角线折成60°的二面角,

则力。及3。的间隔是

当

B.C.D.—a

7.如图,四;：J底面为正方形\BCD,PD=AD=1,设点C

到平面的RDc到平面R4C国则有)

A._&<心<1

第6题图第7题图

C.d1<l<d2D&VdV1

8.如图所示,在平面a的同侧有三点4B、C,的重心为G.假如4、B、a

G到平面a