5.4.2 正弦函数余弦函数的性质（8大题型）精讲（原卷版）

正弦函数、余弦函数的性质重点：1、理解正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性；2、掌握正弦函数与余弦函数的单调性，并能利用单调性比较大小；3、会求函数的对称中心或对称轴方程难点：会求简单三角函数的值域和最值一、正弦函数、余弦函数的性质图象定义域值域[1,1][1,1]最值周期性奇偶性奇偶单调性在上单调递增在上单调递减在上单调递增在上单调递减对称性对称轴方程：对称中心，对称轴方程：对称中心，二、周期函数的定义函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期.1、定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期.2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.3、周期函数的周期公式（1）一般地，函数的最小正周期（2）若函数的周期是，则函数的周期为,三、三角函数的值域求法一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质．常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：（1）形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sint的最值(值域)．（2）形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sinx，将函数y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)．（3）对于形如y＝asinx(或y＝acosx)的函数的最值还要注意对a的讨论．题型一正余弦函数的周期性【例1】（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，最小正周期为π的函数是（）A．B．C．D．【变式11】（2023·四川绵阳·高一南山中学实验学校校考阶段练习）函数的最小正周期为（）A．B．C．D．【变式12】（2023·北京延庆·高一统考期末）已知函数，且的相邻两个对称中心的距离为2，则．【变式13】（2023·江西九江·高一校考期中）函数的周期不可能为（）A．B．C．D．题型二正余弦函数的奇偶性【例2】（2023·山东滨州·高一校考阶段练习）下列函数为奇函数的是（）A．B．C．D．【变式21】（2023·北京海淀·高三专题练习）函数，则（）A．若，则为奇函数B．若，则为偶函数C．若，则为偶函数D．若，则为奇函数【变式22】（2023·河北唐山·高一滦南县第一中学校考期末）函数，则下列结论正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．是奇函数D．是奇函数【变式23】（2022·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）.题型三正余弦函数的对称性【例3】（2023·广西南宁·高一校考阶段练习）函数的一条对称轴为（）A．B．C．D．【变式31】（2023·江西·高一校联考期末）函数图象的一条对称轴的方程为（）A．B．C．D．【变式32】（2023·四川凉山·高一校联考期中）若函数的图像关于轴对称，则的值可能为（）A．B．C．D．【变式33】（2022·全国·高一课时练习）如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．题型四正余弦函数的单调性【例4】（2023·广东佛山·高一校考阶段练习）函数的一个递增区间是（）．A．B．C．D．【变式41】（2023上·高一课时练习）函数的单调递减区间为.【变式42】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，，则的单调递增区间是（）A．B．C．，D．，【变式43】（2023·全国·高一课堂例题）函数的单调递增区间为．题型五根据正余弦函数单调性求参数【例5】（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数在上单调递减，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．【变式51】（2023·安徽马鞍山·高一当涂第一中学校考期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为.【变式52】（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知函数的周期为，且满足，若函数在区间不单调，则的取值范围是（）A．B．C．D．【变式53】（2023·辽宁·高一实验中学校考阶段练习）若函数在上不单调，则实数的取值范围是.题型六比较正余弦函数值的大小【例6】（2023·四川眉山·高一校考期中）令，，判断a与b的大小关系是（）A．B．C．D．无法判断【变式61】（2023下·福建泉州·高一校联考期中）下列结论正确的是（）A．B．C．D．【变式62】（2023·江西南昌·高一铁路第一中学校考阶段练习），，的大小顺序是（）A．B．C．D．【变式63】（2023·甘肃酒泉·高一统考期末）（多选）下列大小关系中正确的是（）A．B．C．D．题型七正余弦函数的最值问题【例7】（2023·陕西咸阳·高三校考阶段练习）函数在上的值域为（）A．B．C．D．【变式71】（2023·山东潍坊·高一高密市第一中学校考阶段练习）已知函数，.则的最大值为.【变式72】（2023·北京·高一北京市第三十五中学校考阶段练习）函数的最大值为（）A．B．C．D．【变式73】（2023下·河南南阳·高一校联考阶段练习）函数的值域为（）A．B．C．D．题型八正余弦函数的综合问题【例8】（2023·黑龙江·高一大庆实验中学校考期中）已知函数（其中）的最小正周期为，它的一个对称中心为.（1）求函数的解析式；（2）若方程在上的解为，求.【变式81】（2023·山东淄博·高一校联考期中）已知函数的图象过点．（1）求函数的单调增区间；（2）总成立．求实数的取值范围．【变式82】（2023·广东佛山·高一顺德区郑裕彤