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文档简介

5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第1课时

两角差的余弦公式引入

前面我们学习了诱导公式，利用它们可以对三角函数式进行恒等变形(这种变形我们一般称为三角变换)，以达到化简，求值或证明的目的.那么你还记得诱导公式反映的是哪些角的三角函数间的恒等关系吗？

这就是我们这一节要研究的问题.接下来我们首先来研究一下两个任意角差的余弦问题。知识探究yxo问题：根据任意角α，β的正弦、余弦，你能推出α-β的余弦吗?

思考1：当α≠

β+2kπ

时，设单位圆与x轴的正半轴交于A(1,0),以x轴的非负半轴为半轴为始边，作出角α，β，α-β分别与单位圆交于P1,A1,P，则它们的坐标分别是多少？由三角函数的定义得

思考2：连接A1P1，AP，若把扇形OAP绕着O点旋转β，你能得到什么结论，根据是什么？

根据圆的旋转对称性得圆的旋转对称性：任意一个圆绕着圆心旋转任意角度后，都与原来重合.

思考3：我们知道了A1、P1、A和P的坐标，而A1P1=AP，由此你能推导出什么？思考4：当α

=β+2kπ

时，上式成立吗?

说明：

(1)公式的特点：

两边的符号相反;右边的积的函数同名，且余弦在前正弦在后.两角差的余弦公式思考4：观察这个等式，说说它有何特点？思考5：此公式的证明过程是怎样的？(2)公式的推导过程：

第1步，标出问题中所涉及到的量；

第2步，利用三角函数，写出各点坐标；

第3步，根据圆的旋转对称性，得到AP=A1P1；

第4步，代入两点间的距离公式，得出两角差的余弦公式.返回例析

练习一般化为特殊角先求出

cosα

和

sinβ.例析

思考：根据公式C(α-β)和已知条件，要求cos(α-β)，首先需要干什么？

从角之间的关系入手.

未知结论中的“角β

”与已知条件中的两个角“α

”和“α+β”具有如下关系：

思考：你认为本题应从什么地方入手？已知表未知

第1步，确定解题需用哪个公式，如公式C(α

-β).

第2步，观察题目的条件和要求的结论，看是否需要对未知结论进行变形，如角的变形；

第3步，根据公式和题目条件，看还差哪些值，需作什么准备；

第4步，由以上方案，先求值，再代入，再解决问题.

思考1：通过以上例题，请你说说应用这类公式的程序是怎样的？思考2：还记得角的变换有哪些思路吗？利用角与角之间的和、差、倍、分关系进行：(1)已知表未知.用已知条件中的角将未知结论中的角表示出来(2)一般化特殊.将一般角用特殊角表示出来(3)异角化同角.

把不同的角尽可能化为相同的角三角变换中角的变换返回练习

思考：你还能想到其它解法吗？

1.两角差的余弦公式C(α-β)是怎样的，公式有何特点，是如何证明的?2.在运算两角差的余弦公式时，注意哪些问题，你能举例说明吗？小结

一是同角三角函数间的关系中平方关系的正确运用，特别是开方时正负的取舍.二是角的变换问题(配角).如用已知条件中

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