高思奥数导引小学五年级含详解答案第16讲 构造与论证

第16讲构造论证一

内容概述

各种形式的构造问题，解题时要不断地调整设计方案以满足全部要求，有时应从简单情形入

手寻找规律。本讲的论证问题，一般采用奇偶性或整除性的分析方法。

典型问题

兴趣篇

1.如图16-1,用1x2和1x3两种规格的小长方形地板砖铺满地面，至少需要地板砖多少块？

2.国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线，图16-2中一个皇后（图中五角星）

就把整个3x3的棋盘控制了。为了控制一个4x4的棋盘至少要放几个皇后？

图16-2

3.图16-3的左图为15枚硬币组成的三角形，如果仅移动5枚硬币，要把这些硬币变成右图

的形式，应该怎样移动？请在图中表示出移动的方法。

图16-3

4.把100个橘子分装在6个篮子里，使得每个篮子里装的橘子数都含有数字6,应该如何装?

5.把正方体的所有棱染成白色或者红色，要求每个面上至少要有一条棱是白色的。请问：最

少有多少条棱是白色的？

6.请在9,8,…，3,2,1的相邻两个数之间填入“+”或者“一”（不能改变数的顺序），使得结

果是1。能否使得结果是0呢？

987654321=1

987654320

7.如图16-5,能否在三角形的三个顶点各填一个自然数，使得每条边的两个顶点上的数之和

都是奇数？如果能，请写出一种填法；如果不能，请说明理由。

8.四位同学进行了一次乒乓球单打比赛，当比赛进行了若干场后，体育老师问他们分别比赛

了多少场。这四全同学回答分别比了1、2、3、3场。老师说：“你们肯定有人记错了。”请

问：老师是怎么知道的呢？

9.有四个算式：口+口=口，口-口=口，口、口=口,口+口=口。如果每一个算式中都至少有1个

偶数和1个奇数，那么12个数中一共有多少个偶数？如果没有前面的限制，这12个数中最

少有多少个偶数？最多有多少个偶数？

10.有14个孩子，依次给他们编号为1,2,3,…，14。能否把他们分成三组，使得每组都有

一个孩子的编号是该组其它孩子的编号之和。

拓展篇

1.图16-6中的左图为21枚硬币组成的三角形，如果仅移动7枚硬币，要把这些硬币变成右

图的形状，应该怎样移动？请在图中表示出移动的方法。

图16-6

2.小明买来一个1500克的生日蛋糕，他把蛋糕切成了7块，使得无论是3个人还是5个人

平分，都不必再分割蛋糕。这7块蛋糕的重量分别是多少？

3.有4颗外形完全相同的珍珠，其中3颗是真的，另1颗是假的，已知假珍珠比真的要轻。

请问：用一架没有祛码的天平最少称几次就可以找出假珍珠？如果是9颗珍珠里有1颗假的

呢？请设计出方案。

4.图16-7中，左边是一把长为6厘米的直尺，其中已标出2条刻度线。用它可以一次量出

从1至6厘米中任意整数厘米的长度。右图为一把长为9厘米的直尺，请你在上面只标出3

条刻度线，使得用这把直尺一次可以量出从1至9厘米中任意整数厘米的长度。

I厘米3厘米2厘米

图16-7

5.请将8个1,8个0填入图16-8的16个空格中，使得每行、每列的4个数之和都是奇数。

0111

0100

0010

1110

6.有一列自然数，其中任意3个相连的数之和都不小于6,而任意4个相连的数之和都小于

8。这个数列最多能有几项？

7.用7个相同的数字并且适当使用加、减号，可以计算出1000,例如1111-111=1000。试

用8个相同的数字（并且适当使用加号、减号）来计算1000。

8.有12根长木棍,长度分别为1,2,3,4..12厘米。

（1）能否用这12根小木棍拼成一个长方形，要求木棍上且不能折断或弯曲。

（2）能否用这12根小木棍拼成一个正方形，要求木棍上且不能折断或弯曲。

9.（1）请在1,2,3,19,20的相邻两个数之间填入“+”或“，（不能改变数的顺序），使得

结果是0。

（2）能否在1,2,3,...,20,21的相邻两个数之间填入"+”或者（不能改变数的顺序），

使得结果是0。

10.有5个亮着的灯泡，每个灯泡都由一个开关控制。每次操作可以拉动其中的2个开关以

改变相应灯泡的亮暗状态。能否经过若干次操作使得5个灯泡都变暗？

11.桌上放有5张卡片，小悦先在卡片的正面分别写上1、2、3、4、5,然后冬冬在背面也分

别写上1、2、3、4、5,写完后计算每张卡片上两数之和，再把5个和相乘，问：冬冬能否

找到一种写法，使得最后的乘积是奇数？为什么？

12.将一个三位数改变三个数字的顺序之后可以得到一个新的三位数。请问：这个新的三位

数和原来的三位数之和能不能等于999?如果能，请举出例子；如果不能，请说明理由。

超越篇

1.桌上放有5枚硬币。第一次翻动其中1枚，第二次翻动其中2枚，第三次翻动其中3枚，

第四次翻动其中4枚，第五次翻动其中5枚。能否找到--种翻动硬币的方法，使得最后所有

的硬币都翻过来？如果桌上放有6枚硬币，按类似的方法翻动六次，能否找到一种翻动硬币

的方法，使得最后所有的硬币都翻过来？

2.甲、乙、丙、丁四个人，每个人都有一条消息。他们之间通过电话传递消息：当甲与乙两

个人通话时，甲把他当时所知道的一切信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉

甲。请你设计一种方案，使得只需打电话4次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息。

3.天平称物体的原理是：在天平的左右两个托盘中放入物品和祛码，当天平平衡时，我们可

以根据祛码的重量来知道物品的重量。

（1）在某一类天平中，物品只能放在左边的托盘中，祛码只能放在天平右端的托盘中。至

少需要准备多少个袪码，才能保证一次称出1至20克之间的任意整数克的物品？

（2）在某一类天平中，祛码可以放在天平两端的托盘中，物品也可以放在两边的托盘中，

那么至少需要准备多少个祛码，才能保证一次称出1至32克之间的任意整数克的物品？

4.如图16-9所示，18个孩子站在24个方格中，每格最多站1人。要使得每行每列站的孩子

数都是偶数。请在图中标出这些孩子的站法（只需给出一种站法即可）。

5.如图16-10所示，有3个3x3的方格表，每个都已经填入了9个整数。如果将表中同一行

或同一列的3个数加上相同的整数称为一次操作。问：

（1）下表三个方格表中，是否有某个方格表能通过若干次操作使得表中9个表都变为相同

的数？若有请指出是哪个或哪个或哪些表格，若没有则说明理由；

（2）是否有某些方格表能够通过若干次操作变得完全一样？若有请指出是哪个或哪些表格,

图16-10

6.（1）能否将1、2、3、4、5围成一个圆圈，使得相邻两个数的差都是2或者3?

（2）能否将1、2、3、4、5、6、7围成一个圆圈，使得相邻两个数的差都是2或者3?

7.旅店现在有9个单人间，10名旅客可能入住。这10名旅客每次有9个人同时入住，管理

员想事先给每个人配一些钥匙，使得无论是哪9个人入住，总能正好入住这9个房间，而且

不用找别人借钥匙。请问：最少需要多少把钥匙？

8.如图16-11,在五角星图案中共有10个节点(用黑色实心圆点表示)，以这些节点为顶点

的三角形共有10个。现在将自然数1至10分别填在10个节点上，将每个三角形中三个顶

点处所标数和称为此三角形的“特征值请问：

(1)是否存在一种填数方法，使得每个三角形的特征值均为偶数；

(2)是否存在一种填数方法，使得每个三角形的特征值都能被3整除。能则举出例子，不

能请说明理由。

第16讲构造论证一

内容概述

各种形式的构造问题，解题时要不断地调整设计方案以满足全部要求，有时应从简单情形入

手寻找规律。本讲的论证问题，一般采用奇偶性或整除性的分析方法。

典型问题

兴趣篇

1.如图16-1,用1x2和1x3两种规格的小长方形地板砖铺满地面，至少需要地板砖多少块？

2.国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线，图16-2中一个皇后（图中五角星）

就把整个3x3的棋盘控制了。为了控制一个4义4的棋盘至少要放几个皇后？

3.图16-3的左图为15枚硬币组成的三角形，如果仅移动5枚硬币，要把这些硬币变成右图

的形式，应该怎样移动？请在图中表示出移动的方法。

图16-3

［分析］我们可以把两个图叠放在一起进行比对。比对后发现，两图刚好有5个硬币不能重

合，那么移动这5枚硬币到对应的位置即可。

4.把100个橘子分装在6个篮子里,使得每个篮子里装的橘子数都含有数字6,应该如何装？

［分析］要让每个篮子中橘子的个数都含有数字6,那么只能是5个篮子个位带6,1个篮子

十位带6。这样的6个数最小是60+6+6+6+6+6=90,比100刚好差10。于是有：

60+16+6+6+6+6=100

5.把正方体的所有棱染成白色或者红色，要求每个面上至少要有一条棱是白色的。请问：最

少有多少条棱是白色的？

［分析］每条棱被两个面共用。那么要每个面上都有白色的棱，最少需要6+2=3条白色的

棱。如图，其中虚线部分为白色棱。

6.请在9,8,…，3,2,1的相邻两个数之间填入“+”或者“一”(不能改变数的顺序)，使得结

果是1。能否使得结果是0呢？

987654321=1

987654321=0

［分析］(1)9-8-7+6+5-4-34-2+1=1

(2)不能。9+8+7+......+1=45,当把其中的任意+号换成-号时，算式的奇偶性不变。

因此算式结果不可能为0

7.如图16-5,能否在三角形的三个顶点各填一个自然数，使得每条边的两个顶点上的数之和

都是奇数？如果能，请写出一种填法；如果不能，请说明理由。

图16-5

［分析］设3个顶点填入的3个自然数数分别为c,假设a+b,a+c,b+c都为奇数，于

是a+b+a+c+6+c也为奇数。但是a+6+a+c+力+c=2(a+Z?+c)是一个偶数，矛盾。因

此每条边的两个顶点上的数之和不可能都是奇数。

8.四位同学进行了一次乒乓球单打比赛，当比赛进行了若干场后，体育老师问他们分别比赛

了多少场。这四全同学回答分别比了1、2、3、3场。老师说：“你们肯定有人记错了。”请

问：老师是怎么知道的呢？

［分析］每次比赛，比赛双方各赛了一场。因此四个人比赛的总场次应该是偶数。而

1+2+3+3=9是奇数。因此肯定有人记错了。

9.有四个算式：口+口=口，口-口二^^匚^口二口，口土口=口。如果每一个算式中都至少有1个

偶数和1个奇数，那么12个数中一共有多少个偶数？如果没有前面的限制，这12个数中最

少有多少个偶数？最多有多少个偶数？

［分析］(1)加减法算式中，有奇数就必有2个奇数。乘除法算式中，有偶数就至少有2

个偶数。因此四个算式中分别有1,1,2,2个偶数，共6个偶数。

(2)加减法算式中最少有1个偶数，最多有3个偶数；乘除法算式中，最少有。个偶数，

最多有3个偶数。因此四个算式中最少有2个偶数，最多有12个偶数。

10.有14个孩子，依次给他们编号为1,2,3,....14o能否把他们分成三组，使得每组都有

一个孩子的编号是该组其它孩子的编号之和。

［分析］不能

如果可以，我们取每组编号最大的那个孩子，那么这3个孩子的编号和，与其他所有孩子的

编号和相等。那么所有孩子的编号和必须是一个偶数。

1+2+3+......+14=105是一个奇数，矛盾。因此不能把他们分成三组，使得每组都有一个

孩子的编号是该组其它孩子的编号之和。

拓展篇

1.图16-6中的左图为21枚硬币组成的三角形，如果仅移动7枚硬币，要把这些硬币变成右

图的形状，应该怎样移动？请在图中表示出移动的方法。

图16-6

［分析］把两个图形叠放在一起比对，发现只有.7枚硬币不能重叠，那么移动这7枚硬币到

指定位置即可。

2.小明买来一个1500克的生日蛋糕，他把蛋糕切成了7块，使得无论是3个人还是5个人

平分，都不必再分割蛋糕。这7块蛋糕的重量分别是多少？

［分析］我们可以先把蛋糕5等分，那么每一块蛋糕重300克。如果我们要把蛋糕分给3

个人，每个人应该拿到500克蛋糕。那么我们把其中两块300克的蛋糕分成200+100克的

两块，这样就可以得到300+200,300+200,300+100+100三块500克的蛋糕。共分了7块。

3.有4颗外形完全相同的珍珠，其中3颗是真的，另1颗是假的，已知假珍珠比真的要轻。

请问：用一架没有祛码的天平最少称几次就可以找出假珍珠？如果是9颗珍珠里有1颗假的

呢？请设计出方案。

［分析］(1)2次。取出两颗珍珠，放在天平两端。如果天平不平衡，轻的一边是假珍珠。

否则用同样方法称另外两颗珍珠。

(2)2次.吧9颗珍珠平均分成3堆。取其中两堆放在天平两边。如果天平不平衡，说明

假珍珠在轻的一边；如果天平平衡，那么假珍珠在没有称的那堆珍珠中。

找到假珍珠在哪堆之后，在这堆中取两颗珍珠放在天平两边。如果天平不平衡，轻的那

颗就是假珍珠；如果天平平衡，那么没有称的那颗就是假珍珠。

4.图16-7中，左边是一把长为6厘米的直尺，其中已标出2条刻度线。用它可以一次量出

从1至6厘米中任意整数厘米的长度。右图为一把长为9厘米的直尺，请你在上面只标出3

条刻度线，使得用这把直尺一次可以量出从1至9厘米中任意整数厘米的长度。

1厘米3厘米2厘米

图16-7

［分析］用1厘米到9厘米逐个检验，可把直尺分为1厘米、1厘米、4厘米、3厘米；或1

厘米、3厘米、3厘米、2厘米。

5.请将8个1,8个0填入图16-8的16个空格中，使得每行、每列的4个数之和都是奇数。

［分析］每行每列4数之和都是奇数，那么4个和只能是1,1,3,3。构造图。答案不为1。

6.有一列自然数，其中任意3个相连的数之和都不小于6,而任意4个相连的数之和都小于

8。这个数列最多能有几项？

［分析］设这一列数为。也。,4,自/....依题，

a+b+c>6,a+b+c+d<8=i>d<1

同理，h+c+d>6,b+c+d+e<8^>e<1

c+d+e>6,c+d+e+f<8^f<l

此时，"+e+/43<6与题意不符，因此数列不可能有6项。那么最多有5项。

观察这几组数：0,1,5,1,0;1,1,4,1,1;1,2,2,2,1每组5项都满足条件。

因此这个数列最多有5项。

7.用7个相同的数字并且适当使用加、减号，可以计算出1000,例如1111-111=1000。试

用8个相同的数字(并且适当使用加号、减号)来计算1000o

［分析］由于只能用加减号，那么相同的数字是多少，计算结果就必然是几的倍数。那么要

凑出1000,只能用8个相同的1,2,4或8。尝试凑个位的0,发现124都无法凑出个位0的

同时使计算结果是1000»尝试8个8888+88+8+8+8=1000。

8.有12根长木棍,长度分别为1,2,3,4..12厘米。

(1)能否用这12根小木棍拼成一个长方形，要求木棍上且不能折断或弯曲。

(2)能否用这12根小木棍拼成一个正方形，要求木棍上且不能折断或弯曲。

［分析］(1)可以。1+2+3+...+12=78,取四条边分别为：1+12=2+11=13;

3+4+9+10=5+6+7+8=26。

(2)不可以。78+4=19.5,不是整数。

9.(1)请在1,2,3,…，19,20的相邻两个数之间填入“+”或(不能改变数的顺序)，使得

结果是0。

(2)能否在1,2,3,...,20,21的相邻两个数之间填入"+”或者(不能改变数的顺序)，

使得结果是0。

［分析］(1)(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+...+(17-18-19+20)=0

(2)1+2+3+...+21=231,我们把其中的任意一些加号变成减号，结果的奇偶性

是不变的。因此结果不可能是0

10.有5个亮着的灯泡，每个灯泡都由一个开关控制。每次操作可以拉动其中的2个开关以

改变相应灯泡的亮暗状态。能否经过若干次操作使得5个灯泡都变暗？

I：分析］不能。

要使一个灯泡又亮边暗，需要拉动奇数次开关。那么要让5个亮着的灯泡都变暗，共需

拉动奇数次开关（5个奇数相加，和一定是奇数）。而我们每次操作都是拉偶数个开关，因

此不能经过若干次操作使得5个灯泡都变暗。

11.桌上放有5张卡片，小悦先在卡片的正面分别写上1、2、3、4、5,然后冬冬在背面也分

别写上1、2、3、4、5,写完后计算每张卡片上两数之和，再把5个和相乘，问：冬冬能否

找到一种写法，使得最后的乘积是奇数？为什么？

［分析］不能

要让最后乘积是奇数，那么5张卡片上的两数和必须都是奇数。那么卡片上的10个数

总和也是奇数。而实际上，10个数的和是2x（l+2+3+4+5）=30是个偶数。因此无论怎么

写，最后的乘积一定是偶数。

12.将一个三位数改变三个数字的顺序之后可以得到一个新的三位数。请问：这个新的三位

数和原来的三位数之和能不能等于999?如果能，请举出例子；如果不能，请说明理由。

［分析］不能。

易知，两个三位数的和是999,那么在做加法的时候没有发生进位。如果可以找到，不

妨假设其中一个数是人，那么另一个数是（9-a）（9-6）（9-c）。其中（9-a）（9-S（9-c）是

次数字重组后的新三位数，及它们含有完全相同的3个数字。那么，两个三位数的6个数

字之和必然是一个偶数。而实际上a+6+c+（9-a）+（9-b）+（9-c）=27,是一个奇数。

因此不能找到这样的三位数。

超越篇

1.桌上放有5枚硬币。第一次翻动其中1枚，第二次翻动其中2枚，第三次翻动其中3枚，

第四次翻动其中4枚，第五次翻动其中5枚。能否找到一种翻动硬币的方法，使得最后所有

的硬币都翻过来？如果桌上放有6枚硬币，按类似的方法翻动六次，能否找到一种翻动硬币

的方法，使得最后所有的硬币都翻过来？

［分析］（1）可以，如图：OOOOOf［•］OOOOf

fO［OOOO］一［•••••］（白色代表正面，黑色代表背面，中括号中的部分表示对这

些硬币进行了翻动）。

（2）不可以。全翻过来需要对每一枚硬币翻动奇数次，那么对全部6枚共需翻动偶数次。

而1+2+3+4+5+6=21共翻动了奇数次，因此不能把所有的硬币都翻过来。

2.甲、乙、丙、丁四个人，每个人都有一条消息。他们之间通过电话传递消息：当甲与乙两

个人通话时，甲把他当时所知道的一切信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉

甲。请你设计一种方案，使得只需打电话4次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息。

［分析］（1）甲、乙；（2）丙、丁；（3）甲、丙；（4）乙、丁。

3.天平称物体的原理是：在天平的左右两个托盘中放入物品和祛码，当天平平衡时，我们可

以根据祛码的重量来知道物品的重量.

（1）在某一类天平中，物品只能放在左边的托盘中，祛码只能放在天平右端的托盘中。至

少需要准备多少个祛码，才能保证一次称出1至20克之间的任意整数克的物品？

（2）在某一类天平中，祛码可以放在天平两端的托盘中，物品也可以放在两边的托盘中，

那么至少需要准备多少个祛码，才能保证一次称出1至32克之间的任意整数克的物品？

［分析］（1）可用1g、2g、4g、8g、16g五个祛码称出。

20=(10100)2是个5位2进制数。1=(1),,2=(10)2,4=(100),,8=(1000)2,16=(10000)2O

在实际称重时，2进制数中的每一位代表有没有对应祛码。于是，用1g、2g、4g、8g、16g

五个祛码可以称出1〜20g(实际可到31g)的所有物品。(可以将16g的祛码换成476g的

任意整数克祛码)

(2)可用lg、3g、9g、27g四个祛码称出。

受上一问的启发，可以考虑用3进制的方法。1"1)3,3=(10)3,9=(100)3,27=(1000)3。

若规定物品在左边，根据每个祛码在左边、不存在、在右边，分别表示为3进制中的一1,0,

1«于是我们定义一种新的3进制表述方法。每个3进制中的“2”，我们进1位，变为“1(一

1)”。那么对于32=(1012)「我们可以写为：32=［ll(-l)(-l)］r意为：27g祛码(右)+

9g祛码(右)一3g祛码(左)一1g祛码(左)。于是，用1g、3g、9g、27g四个祛码可以

称出1〜32g(实际可到40g)的所有物品。

4.如图16-9所示，18个孩子站在24个方格中，每格最多站1人。要使得每行每列站的孩子

数都是偶数。请在图中标出这些孩子的站法(只需给出一种站法即可).

图16-9

［分析］我们只要找出6个不站人的位置即可。图中给出了一种站法，X表示不站人，答案

不唯一。

5.如图16-10所示，有3个3x3的方格表，每个都已经填入了9个整数。如果将表中同一行

或同一列的3个数加上相同的整数称为一次操作。问：

(1)下表三个方格表中，是否有某个方格表能通过若干次操作使得表中9个表都变为相同

的数？若有请指出是哪个或哪个或哪些表格，若没有则说明理由；

(2)是否有某些方格表能够通过若干次操作变得完全一样？若有请指出是哪个或哪些表格,

图16-10

［分析］我们把同一行的数字都加1，称为一次横变换；用4("eN*,a“eZ)表示对第n行

进行横变换的次数。

把同一列的数字都加1,称为一次纵变换；用d("eN+,〃eZ)表示对第n列进行纵变

换的次数。

(1)我们可以知道，对方阵的横纵变换有如下性质：同一行的数，进行横变换的次数

相同；同一列的数，进行纵变换的次数相同。

I.对于第一个方阵，如果我们能经过变换，使各个数字相同，则有，对于"|j

1+4+伪=9+%+4—q—q=8

2+q+a=8+4+打=>4一％=6

矛盾。即无法通过变换，将放个表内各数变为相同数。

47

II.对于第二个方格表，取------，同样可证无法办到。

89

III.对于第三个方格表,同样可证无法办到。

(2)如方格表之间经过变换可以互化，则，他们之间做差所得的新方格表可以经过变换使

得表中各位相同。

300a-3-50205

I.因205q-5、205可以互化。

%=lb=-5，

ESa2H2M

A12a1-14205JLJL

-8-220610

□aH±其中可找到阳不可

II.-4044=8048

sAsa2=4

Eaa0s224224

其中可找到不可变

6.(1)能否将1、2、3、4、5围成一个圆圈，使得相邻两个数的差都是2或者3?

(2)能否将1、2、3、4、5、6、7围成一个圆圈，使得相邻两个数的差都是2或者3?

［分析］(1)能，例如按1,4,2,5,3排成一圈。

(2)不能