上海市青浦一中2024届高一数学第二学期期末联考试题含解析

上海市青浦一中2024届高一数学第二学期期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围（）A． B．C． D．2．下列表达式正确的是（）①，②若，则③若，则④若，则A．①② B．②③ C．①③ D．③④3．如图，是圆的直径，点是半圆弧的两个三等分点，，，则（）A． B． C． D．4．在中，，，，是外接圆上一动点，若，则的最大值是（）A．1 B． C． D．25．矩形中，，若在该矩形内随机投一点，那么使得的面积不大于3的概率是（）A． B． C． D．6．已知定义在上的偶函数满足：当时，，若，则的大小关系是（）A． B． C． D．7．曲线与曲线的（）A．长轴长相等 B．短轴长相等C．焦距相等 D．离心率相等8．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，≤)的图象如下，则点的坐标是()A．(，) B．(，)C．(，) D．(，)9．将一边长为2的正方形沿对角线折起，若顶点落在同一个球面上，则该球的表面积为（）A． B． C． D．10．直线的倾斜角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．数列中，，则____________．12．已知等差数列，，，，则______.13．在中，，点在边上，若，的面积为，则___________14．方程的解集是____________.15．已知数列的通项公式为，是其前项和，则_____．（结果用数字作答）16．数列an满足12a1三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．等差数列中，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.18．已知函数.(1)求函数的最小正周期及单调递增区间：(2)求函数在区间上的最大值及取最大值时的集合.19．已知抛物线的焦点为，过的直线交轴正半轴于点，交抛物线于两点，其中点在第一象限.（Ⅰ）求证：以线段为直径的圆与轴相切；（Ⅱ）若,,，求的取值范围.20．如图是一景区的截面图，是可以行走的斜坡，已知百米，是没有人行路（不能攀登）的斜坡，是斜坡上的一段陡峭的山崖.假设你（看做一点）在斜坡上，身上只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角）.（1）请你设计一个通过测量角可以计算出斜坡的长的方案，用字母表示所测量的角，计算出的长，并化简；（2）设百米，百米，，，求山崖的长.（精确到米）21．如图，正方体棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥，求：（1）三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；（2）三棱锥的体积.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

利用直线斜率与倾斜角的关系即可求解.【题目详解】由直线的方程为，所以，即直线的斜率，由.所以，又直线的倾斜角的取值范围为，由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为.故选：B【题目点拨】本题考查了直线的斜率与倾斜角之间的关系，同时考查了正弦函数的值域以及正切函数的性质，属于基础题.2、D【解题分析】

根据基本不等式、不等式的性质即可【题目详解】对于①，.当，即时取，而，.即①不成立。对于②若，则，若，显然不成立。对于③若，则，则正确。对于④若，则，则，正确。所以选择D【题目点拨】本题主要考查了基本不等式以及不等式的性质，基本不等式一定要满足一正二定三相等。属于中等题。3、A【解题分析】

连接，证得，结合向量减法运算，求得.【题目详解】连接，由于是半圆弧的两个三等分点，所以，所以是等边三角形，所以，所以四边形是菱形，所以，所以.故选：A【题目点拨】本小题主要考查圆的几何性质，考查向量相等的概念，考查向量减法的运算，属于基础题.4、C【解题分析】

以的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设M的坐标为，，求出点的坐标，得到，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案.【题目详解】以的中点O为原点，以为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则外接圆的方程为，设M的坐标为，，过点作垂直轴，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中，，当时，有最大值，最大值为，故选C．【题目点拨】本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图象和性质，以及直角三角形的问题，考查了学生的分析解决问题的能力，属于难题．5、C【解题分析】

先求出的点的轨迹（一条直线），然后由面积公式可知时点所在区域，计算其面积，利用几何概型概率公式计算概率．【题目详解】设到的距离为，，则，如图，设，则点在矩形内，，，∴所求概率为．故选C．【题目点拨】本题考查几何概型概率．解题关键是确定符合条件点所在区域及其面积．6、C【解题分析】

根据函数的奇偶性将等价变形为，再根据函数在上单调性判断函数值的大小关系，从而得出正确选项.【题目详解】解因为函数为偶函数，故，因为，，所以，因为函数在上单调增，故，故选C.【题目点拨】本题考查了函数单调性与奇偶性的运用，解题的关键是要能根据奇偶性将函数值进行转化.7、D【解题分析】

首先将后面的曲线化简为标准形式，分别求两个曲线的几何性质，比较后得出选项.【题目详解】首先化简为标准方程，，由方程形式可知，曲线的长轴长是8，短轴长是6，焦距是，离心率，，的长轴长是，短轴长是，焦距是，离心率，所以离心率相等.故选D.【题目点拨】本题考查了椭圆的几何性质，属于基础题型.8、C【解题分析】

由函数f（x）的部分图象求得A、T、ω和φ的值即可．【题目详解】由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象知，A＝2，T＝2×（4﹣1）＝6，∴ω，又x＝1时，y＝2，∴φ2kπ，k∈Z；∴φ2kπ，k∈Z；又0＜φ，∴φ，∴点P（，）．故选C．【题目点拨】已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.9、D【解题分析】

令正方形对角线与的交点为，如图所示：由正方形中，,则，那么,将正方形沿对角线折起，如图所示：则点为三棱锥的外接球的球心，且半径为，故外接球的表面积为.故选：D【题目点拨】本题考查了多面体的外接球问题以及球的表面积公式，属于基础题.10、D【解题分析】

由直线方程得到直线斜率，进而得到其倾斜角.【题目详解】因直线方程为，所以直线的斜率，故其倾斜角为150°.故选D【题目点拨】本题主要考查求直线的倾斜角，熟记定义即可，属于基础题型.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1【解题分析】

利用极限运算法则求解即可【题目详解】故答案为：1【题目点拨】本题考查数列的极限，是基础题12、【解题分析】

利用等差中项的基本性质求得，，并利用等差中项的性质求出的值，由此可得出的值.【题目详解】由等差中项的性质可得，同理，由于、、成等差数列，所以，则，因此，.故答案为：.【题目点拨】本题考查利用等差中项的性质求值，考查计算能力，属于基础题.13、【解题分析】

由，的面积为可以求解出三角形，再通过，我们可以得出(两三角形等高)再利用正弦形式表示各自面积，即能得出的值.【题目详解】，的面积为，所以为等边三角形，又所以（等高），又所以填写2【题目点拨】已知三角形面积及一边一角，我们能把形成该角的另外一边算出，从而把三角形所有量都能计算出来（如果需要），求两角正弦值的比值，我们更多联想到正弦定理的公式，或面积公式.14、【解题分析】

由方程可得或，然后分别解出规定范围内的解即可.【题目详解】因为所以或由得或因为，所以由得因为，所以综上：解集是故答案为：【题目点拨】方程的等价转化为或，不要把遗漏了.15、.【解题分析】

由题意知，数列的偶数项成等差数列，奇数列成等比数列，然后利用等差数列和等比数列的求和公式可求出的值.【题目详解】由题意可得，故答案为.【题目点拨】本题考查奇偶分组求和，同时也考查等差数列求和以及等比数列求和，解题时要得出公差和公比，同时也要确定出对应的项数，考查运算求解能力，属于中等题.16、14,n=1【解题分析】

试题分析：这类问题类似于Sn=f(an)的问题处理方法，在12a1+122a2+...+1.考点：数列的通项公式.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.因为所以.解得a1＝1，d＝.所以{an}的通项公式为an＝.(2)bn＝＝，所以Sn＝18、（1）,单调递增区间为；（2）最大值为,取最大值时，的集合为.【解题分析】

（1）对进行化简转换为正弦函数，可得其最小正周期和递增区间；（2）根据（1）的结果，可得正弦函数的最大值和此时的的集合.【题目详解】解：（1）∴.增区间为：即单调递增区间为（2）当时，的最大值为，此时，∴取最大值时，的集合为.【题目点拨】本题考查二倍角公式和辅助角公式以及正弦函数的性质，属于基础题.19、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解题分析】

试题分析：（Ⅰ）题意实质上证明线段的中点到轴的距离等于线段长的一半，根据抛物线的定义设可证得；（Ⅱ）同样设，，把已知,用坐标表示出来，消去坐标及，得出与的关系，此时就可得出的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由已知,设，则，圆心坐标为，圆心到轴的距离为，圆的半径为，所以，以线段为直径的圆与轴相切．（Ⅱ）解法一：设，由,,得，，所以，，由，得．又，，所以．代入，得，，整理得，代入，得，所以，因为，所以的取值范围是．解法二：设，，将代入，得，所以（*），由，，得，，所以，，，将代入（*）式，得，所以，．代入，得．因为，所以的取值范围是．考点：抛物线的定义，抛物线的焦点弦问题．20、（1）米，详见解析（2）205米【解题分析】

（1）由题意测得，，在中利用正弦定理求得的值；（2）解法一，中由余弦定理求得，中求得和的值，在中利用余弦定理求得的值．解法二，中求得，中利用余弦定理求得，利用三角恒等变换求得，在中利用余弦定理求得的值．【题目详解】解：（1）据题意，可测得，，在中，由正弦定理，有，即.解得（米）.（2）解一：在中，百米，百米，百米，由余弦定理，可得，解得，∴.又由已知，在中，，可解得，从而的.∵，在中，由余弦定理得米所以，的长度约为205米.解二：（2