2024届上海市上海大学附属中学高一数学第二学期期末检测模拟试题含解析

2024届上海市上海大学附属中学高一数学第二学期期末检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（）A．①③④ B．②④ C．②③④ D．①②③2．从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，那么下列事件中，是对立事件的是（）A．至少有1个白球；都是红球 B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰好有1个白球；恰好有2个白球 D．至少有1个白球；都是白球3．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都是h），其中：三棱锥的体积为V，四棱锥的底面是边长为a的正方形，圆锥的底面半径为r，现用平行于这两个平面的平面去截三个几何体，如果得到的三个截面面积总相等，那么，下面关系式正确的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，4．已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，那么原中的大小是（）．A． B． C． D．5．将的图像怎样移动可得到的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位6．圆关于直线对称，则的值是（）A． B． C． D．7．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，在中，面，，是的中点，则图中直角三角形的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．89．设，，是平面内共线的三个不同的点，点是，，所在直线外任意-点，且满足，若点在线段的延长线上，则（）A．， B．， C． D．10．在中，三个内角成等差数列是的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若，则函数的最小值是_________.12．已知，，，则的最小值为__________.13．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f()＝________.14．已知数列满足且，则____________．15．已知角α的终边与单位圆交于点．则___________.16．函数的值域是__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．一只红铃虫的产卵数和温度有关，现收集了4组观测数据列于下表中，根据数据作出散点图如下：温度20253035产卵数/个520100325（1）根据散点图判断与哪一个更适宜作为产卵数关于温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程（数字保留2位小数）；（3）要使得产卵数不超过50，则温度控制在多少以下？（最后结果保留到整数）参考数据：，，，，，，，，，，5201003251.6134.615.7818．已知向量，，.（1）若，求的值；（2）若，，求的值.19．随着互联网的不断发展，手机打车软件APP也不断推出.在某地有A､B两款打车APP，为了调查这两款软件叫车后等候的时间，用这两款APP分别随机叫了50辆车，记录了候车时间如下表：A款软件:候车时间(分钟)车辆数212812142B款软件:候车时间(分钟)车辆数21028721（1）试画出A款软件候车时间的频率分布直方图，并估计它的众数及中位数；（2）根据题中所给的数据，将频率视为概率（i）能否认为B款软件打车的候车时间不超过6分钟的概率达到了75%以上？（ii）仅从两款软件的平均候车时间来看，你会选择哪款打车软件？20．已知，设.（1）若图象中相邻两条对称轴间的距离不小于，求的取值范围；（2）若的最小正周期为，且当时，的最大值是，求的解析式，并说明如何由的图象变换得到的图象.21．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为中点，且.(1)证明：平面；(2)证明：平面平面.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

分别当截面平行于正方体的一个面时，当截面过正方体的两条相交的体对角线时，当截面既不过体对角线也不平行于任一侧面时，进行判定，即可求解.【题目详解】由题意，当截面平行于正方体的一个面时得③；当截面过正方体的两条相交的体对角线时得④；当截面既不过正方体体对角线也不平行于任一侧面时可能得①；无论如何都不能得②.故选A.【题目点拨】本题主要考查了正方体与球的组合体的截面问题，其中解答中熟记空间几何体的结构特征是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理能力，属于基础题.2、A【解题分析】

根据对立事件的定义判断．【题目详解】从装有4个红球和3个白球的袋内任取2个球，在A中，“至少有1个白球”与“都是红球”不能同时发生且必有一个事件会发生，是对立事件.在B中，“至少有1个白球”与“至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件.在C中，“恰好有1个白球”与“恰好有2个白球”是互斥事件，但不是对立事件.在D中，“至少有1个白球”与“都是白球”不是互斥事件.故选：A.3、D【解题分析】

由祖暅原理可知：三个几何体的体积相等，根据椎体体积公式即可求解.【题目详解】由祖暅原理可知：三个几何体的体积相等，则，解得，由，解得，所以.故选：D【题目点拨】本题考查了椎体的体积公式，需熟记公式，属于基础题.4、C【解题分析】

根据斜二测画法还原在直角坐标系的图形，进而分析出的形状，可得结论．【题目详解】如图：根据斜二测画法可得：，故原是一个等边三角形故选【题目点拨】本题是一道判定三角形形状的题目，主要考查了平面图形的直观图，考查了数形结合的思想5、C【解题分析】

因为将向左平移个单位可以得到，得解.【题目详解】解：将向左平移个单位可以得到，故选C.【题目点拨】本题考查了函数图像的平移变换，属基础题.6、B【解题分析】圆关于直线对称，所以圆心(1,1)在直线上，得.故选B.7、C【解题分析】

根据框图模拟程序运算即可.【题目详解】第一次执行程序，，，继续循环，第二次执行程序，，，，继续循环，第三次执行程序，，，，继续循环，第四次执行程序，，，，继续循环，第五次执行程序，，，，跳出循环，输出，结束.故选C.【题目点拨】本题主要考查了程序框图，涉及循环结构，解题关键注意何时跳出循环，属于中档题.8、C【解题分析】试题分析：因为面，所以，则三角形为直角三角形，因为，所以，所以三角形是直角三角形，易证，所以面，即，则三角形为直角三角形，即共有7个直角三角形；故选C．考点：空间中垂直关系的转化．9、A【解题分析】

由题可得：，将代入整理得：，利用点在线段的延长线上可得：，问题得解.【题目详解】由题可得：，所以可化为：整理得：，即：又点在线段的延长线上，所以与反向，所以，故选A【题目点拨】本题主要考查了平面向量中三点共线的推论，还考查了向量的减法及数乘向量的应用，考查了转化思想，属于中档题．10、B【解题分析】

根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行求解即可．【题目详解】在△ABC中，三个内角成等差数列，可能是A，C，B成等差数列，则A+B＝2C，则C＝60°，不一定满足反之若B＝60°，则A+C＝120°＝2B，则A、B、C成等差数列，∴三个内角成等差数列是的必要非充分条件，故选：B．【题目点拨】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了等差中项的应用，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

利用基本不等式可求得函数的最小值.【题目详解】，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，因此，当时，函数的最小值是.故答案为：.【题目点拨】本题考查利用基本不等式求函数的最值，考查计算能力，属于基础题.12、25【解题分析】

变形后，利用基本不等式可得.【题目详解】当且仅当，即，时取等号.故答案为：25【题目点拨】本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.13、3【解题分析】

根据图象看出周期、特殊点的函数值，解出待定系数即可解得.【题目详解】由图可知：解得又因：所以又因：即所以又所以又因：所以即所以所以所以故得解.【题目点拨】本题考查由图象求正切函数的解析式，属于中档题。14、【解题分析】

由题得为等差数列，得，则可求【题目详解】由题：为等差数列且首项为2，则，所以．故答案为：2550【题目点拨】本题考查等差数列的定义，准确计算是关键，是基础题15、【解题分析】

直接利用三角函数的坐标定义求解.【题目详解】由题得.故答案为【题目点拨】本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.16、【解题分析】

根据反余弦函数的性质，可得函数在单调递减函数，代入即可求解．【题目详解】由题意，函数的性质，可得函数在单调递减函数，又由，所以函数在的值域为．故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了反余弦函数的单调性的应用，其中解答中熟记反余弦函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）选择更适宜作为产卵数关于温度的回归方程类型；（II）；（III）要使得产卵数不超过50，则温度控制在以下.【解题分析】

（I）由于散点图类似指数函数的图像，由此选择.（II）对；两边取以为底底而得对数，将非线性回归的问题转化为线性回归的问题，利用回归直线方程的计算公式计算出回归直线方程，进而化简为回归曲线方程.（III）令，解指数不等式求得温度的控制范围.【题目详解】（I）依散点图可知，选择更适宜作为产卵数关于温度的回归方程类型。（II）因为，令，所以与可看成线性回归，，所以，所以，即，（III）由即，解得，要使得产卵数不超过50，则温度控制在以下。【题目点拨】本小题主要考查散点图的判断，考查非线性回归的求解方法，考查线性归回直线方程的计算公式，考查了利用回归方程进行预测.属于中档题.解题的关键点有两个，首先是根据散点图选择出恰当的回归方程，其次是要将非线性回归的问题，转化为线性回归来求解.18、（1）；（2）或【解题分析】

（1）根据向量平行的坐标公式得出，利用二倍角公式以及弦化切即可得出答案；（2）利用向量的模长公式得出，由二倍角公式以及降幂公式，辅助角公式得出，结合正弦函数的性质得出的值.【题目详解】（1）由，得，所以.所以.（2）由，得所以，所以，所以.因为，所以，所以或解得或.【题目点拨】本题主要考查了由向量平行求参数，模长公式，简单的三角恒等变换以及正弦函数的性质的应用，属于中档题.19、（1）直方图见解析，众数为9，中位数为6.5（2）（i）能（ii）B款【解题分析】

（1）画出频率分布直方图，计算众数和中位数得到答案.（2）计算概率为，得到答案；分别计算两个软件的平均候车时间比较得到答案.【题目详解】（1）频率分布直方图如图：它的众数为9，它的中位数为：.（2）（i）B款软件打车的候车时间不超过6分钟的概率为.所以可以认为B款软件打车的候车时间不超过6分钟的概率达到了75%以上.（ii）A款软件打车的平均候车时间为：（分钟）.B款软件打车的平均候车时间为：（分钟）.所以选择B款软件打车软件.【题目点拨】本题考查了频率分布直方图，平均值，中位数，众数，意在考查学生的应用能力.20、（1）；（2）;平移变换过程见解析.【解题分析】

（1）根据平面向量的坐标运算,表示出的解析式,结合辅助角公式化简三角函数式.结合相邻两条对称轴间的距离不小于及周期公式,即可求得的取值范围;（2）根据最小正周期,求得的值.代入解析式,结合正弦函数的图象、性质与的最大值是,即可求得的解析式.再根据三角函数图象平移变换,即可描述变换过程.【题目详解】∵∴∴（1）由题意可知,∴又,∴（2）∵,∴∴∵,∴∴当即时∴∴将图象上所有点向右平移个单位,得到的图象；再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到的图象（或将图象上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到的图象；再将得到的图象上所有点向右平移个单位,得到的图象）【题目点拨】本题考查了正弦函数图像与性质的综合应用,根据最值求三角函数解析式,三角函数图象平移变换过程,属于中档题.21、（1）证明见解析；（2）证明见解析【解题分析】

(1)连接交于点，连接，可证，从而可证平面.(2)可证平面，从而得到平面平面.【题目详解】(1