新教材适用2023-2024学年高中数学第8章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.1直线与直线垂直课件新人教A版必修第二册

第八章立体几何初步8．6空间直线、平面的垂直8．6.1直线与直线垂直必备知识•探新知关键能力•攻重难课堂检测•固双基素养目标•定方向素养目标•定方向

1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系．2．掌握两异面直线所成的角的求法．

在计算两异面直线所成的角及证明直线与直线垂直的过程中，要利用空间的线、面位置关系，并进行计算，发展学生的逻辑推理素养、数学运算素养和直观想象素养.必备知识•探新知

空间两条直线的位置关系有三种

知识点

1(1)平行直线；(2)相交直线；(3)异面直线．异面直线所成的角

知识点

2(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线_______与_______所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)空间两条直线所成角α的取值范围：___________________.a′b′[0°，90°][拓展]

对异面直线所成的角的认识理解的注意点(1)任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关．(2)转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算．练一练：已知正方体ABCD－EFGH，则AH与FG所成角的大小为_________.[解析]

如图，连接BG，则BG∥AH，所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角．因为四边形BCGF为正方形，所以∠BGF＝45°.45°异面直线互相垂直

知识点

3如果两条异面直线所成的角是_______，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b互相垂直，记作_________.[提醒]

两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直.直角a⊥b关键能力•攻重难(1)如图，观察长方体ABCD－A′B′C′D′，有没有两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线？(2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？(3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行？题|型|探|究题型一理解异面垂直典例1[解析]

(1)如题图中，棱AA′与BC，AA′与CD，AA′与B′C′，AA′与C′D′等所在的直线均是互相垂直的异面直线．(2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条也与这条直线垂直．(3)垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，也可能相交或异面．[归纳提升]

(1)两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直．(2)研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，把空间角问题转化为平面角问题，这是研究立体几何问题的一种基本思想．(1)如图，正方体AC1中，与AB垂直的棱有_____条．(2)如图，四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，并且AC⊥BD，则四边形EFGH的形状是_______.对点练习❶8矩形题型二求异面直线所成的角典例290°[归纳提升]

求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角．(2)证：证明作出的角就是要求的角．(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.

如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，∠AD1D＝45°，∠CDC1＝30°，那么异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是____.对点练习❷题型三异面直线垂直的证明

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1.[证明]

如图，连接A1B，设A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以∠BB1C1＝∠A1AB＝90°，所以BC＝b2＋h2，AB2＝a2＋b2，A1B2＝a2＋b2＋h2，所以A1B2＝A1C＋BC，则A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°.又因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，所以AC⊥BC1.典例3[归纳提升]

(1)要证明两异面直线垂直，可根据两条异面直线垂直的定义，证明这两条异面直线所成的角为90°.(2)在证明两条异面直线垂直时，和求两条异面直线所成的角类似，一般也是通过平移法找到与之平行的直线．

如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′.对点练习❸[证明]

如图，取CC′的中点F，连接EF，BF，∵E为AC的中点，F为CC′的中点，∴EF∥AC′，∴BE和EF所成角为∠BEF(其补角)，易|错|警|示忽略异面直线所成的角的范围致误

如图1，已知空间四边形ABCD中，AD＝BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角．典例4[错解]

如图2，连接BD，并取其中点E，连接EN，EM，则EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM(或其补角)为BC与MN所成的角，∠MEN(或其补角)为BC与AD所成的角．由AD＝BC，知ME＝EN，∴∠EMN＝∠ENM＝30°，∴∠MEN＝180°－30°－30°＝120°，即BC与AD所成的角为120°.[错因分析]

解本题时易忽略异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°，从而由∠MEN＝120°直接得出BC与AD所成的角为120°这一错解．事实上，在未判断出∠MEN是锐角、直角还是钝角之前，不能断定它就是两条异面直线所成的角，如果∠MEN为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角．[正解]

以上解答同错解；∵异面直线所成角θ∈(0,90°]，∴BC与AD所成的角为60°.[误区警示]

求异面直线所成的角θ的时候，要注意它的取值范围是0°<θ≤90°.两条异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的内角可能等于两条异面直线所成的角，也可能等于其补角．

若∠AOB＝135°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a与OB所成的角的大小为_________.[解析]

平移直线a使之与OA重合，由∠AOB＝135°可知，异面直线a与OB所成的角应为45°.对点练习❹45°课堂检测•固双基1．已知空间中的三条直线a，b，c满足a⊥c且b⊥c，则直线a与直线b的位置关系是(

)A．平行 B．相交C．异面 D．平行或相交或异面[解析]

如图，直三棱柱ABC－DEF中，BE⊥BC，BE⊥EF，BC∥EF，BE⊥DE，BE⊥EF，DE∩EF＝E，BE⊥DE，BE⊥BC，DE，BC异面，所以，空间中的三条直线a，b，c满足a⊥c且b⊥c，则直线a与直线b的位置关系是平行或相交或异面．D2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1垂直的条数为(

)A．4 B．5C．6 D．7[解析]

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线BA