相似三角形的平行线分线段成比例和预备定理

相似多边形的判定：回顾：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形为相似多边形.两个条件要同时具备第一页第二页，共48页。

对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三角形是相似三角形.相似三角形的判定:2、△ABC与△A´B´C´相似比为k,则△A´B´C´与△ABC相似比为AC′B′A′CB∴△ABC∽△A´B´C´∵符号语言：在△ABC和△A´B´C´中，第二页第三页，共48页。

对应角_______,对应边——————的两个三

角形,叫做相似三角形.相等成比例

相似三角形的———————,各对应边——————。对应角相等成比例∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F回顾66A△ABC∽

△DEFBCDFE

相似比:

=kk

1

两三角形相似k=1

两三角形全等第三页第四页，共48页。

当两个三角形的相似比为1

时，它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况。

相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？思考：第四页第五页，共48页。问题二如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳子分成两部分，使这两部分之比是2:3?ABC?EDFBIDICIEIFI32CIFI则=ACI第五页第六页，共48页。

如图，任意画两条直线l1、l2,再画三条与l1、l2相交的平行线l3、l4

、l5.分别度量l3、l4

、l5

在l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度.

相等吗？ABCDEFl1l2l3l4l5

任意平移l5，再度量AB,BC，DE,EF的长度.

相等吗？探究：第六页第七页，共48页。平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等.ABCDEFl1l2l3l4l5∵l3∥l4∥l5,∴符号语言：第七页第八页，共48页。ABCDEFl1l3l2........形象记忆第八页第九页，共48页。ABCDEFl1l3l23?42[例一]（平行线分线段成比例定理）6BC=\42BC3即=EFDEBCAB=\//l//ll解：321Q第九页第十页，共48页。ABCDEFl1l3l2[例二]注意观察：此图与前面图形有何不同？ABCDEF（平行线分线段成比例定理）.nmmDFDE+=\.mnmDEDF即+=，mmnDEDEEF+=+mnDEEF=\nmEFDEBCAB==\,//l//ll321Q：证明ABCDEFABCDEFABCDEFABCDEFABCDEF第十页第十一页，共48页。ABCDEl1l2l3l4l5ABCDEl1l2l3l4l5

如图，l3∥l4∥l5,请指出成比例的线段.练习：第十一页第十二页，共48页。

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.ABCDEl1l2l3l4l5ABCDEl1l2l3l4l5第十二页第十三页，共48页。

三角形的中位线截得的三角形与原三角形是否相似？相似比是多少？第十三页第十四页，共48页。提出问题：如图，在∆ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，DE交AC于点E，∆ADE与∆ABC有什么关系？第十四页第十五页，共48页。思考:改变点D在AB上的位置，请猜想∆ADE与∆ABC是否相似?说明理由.第十五页第十六页，共48页。

如图，在正△ABC中,点D为AB中点,过点D作DE∥BC交AC于点E,则△ADE与△ABC相似吗?探索发现：BACDE∵DE∥BC∴△ADE∽△ABCDE第十六页第十七页，共48页。变式1：如图，在△ABC中,点D为AB中点,过点D作DE∥BC交AC于点E,则△ADE与△ABC相似吗?DABCE探索发现：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC第十七页第十八页，共48页。变式2：如图，若点D是AB边上的任意一点,过点D作DE∥BC，量一量，检验△ADE与△ABC是否相似。ABCDE∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC第十八页第十九页，共48页。变式3：若点D是BA延长线上的一点,过点D作DE∥BC，与CA的延长线交于点E，△ADE与△ABC相似吗?ABCEDGF∵DE∥BC∴△ADE∽

△ABC第十九页第二十页，共48页。ABCDE如图，已知DE∥BC,则．．．．．．故△ADE∽△ABC,若DE∥BC则∠DAE=∠BAC,∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,第二十页第二十一页，共48页。ABDEC若DE∥BC则∠A=∠D,∠B=∠E,∠ACB=∠DCE,若△ABC∽△DEC,从上面的解答中，你获得了那些信息？第二十一页第二十二页，共48页。

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似.ABCDEADBCE预备定理第二十二页第二十三页，共48页。相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。

△ADE∽△ABCDE//BC第二十三页第二十四页，共48页。

平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。判定三角形相似的预备定理：（简称：平行线）在△ABC中，∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC符号语言：ABCDE（图1）（图2）DEOBC“A”型“X”型第二十四页第二十五页，共48页。

1、如图,已知EF∥CD∥AB，请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理由。练习：三角形相似具有传递性!1.EF∥AB2.EF∥CDΔOAB∽ΔOCDΔOEF∽ΔOABΔOEF∽ΔOCD或：ΔOEF∽ΔOCDΔOEF∽ΔOABABFCDEO3.AB∥CDΔOAB∽ΔOCD第二十五页第二十六页，共48页。

2、如图,已知DE∥BC,DF∥AC,请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理由。ABCDFE练习：三角形相似具有传递性!1.DE∥BC2.DF∥ACΔADE∽ΔDBFΔADE∽ΔABCΔDBF∽ΔABC3.ΔDBF∽ΔABCΔADE∽ΔABC第二十六页第二十七页，共48页。ABDEC这是两个极具代表性的相似三角形基本模型：“A”型和“X”型这个两个模型在今后学习的过程中作用很大,你可要认真噢！ABCDE第二十七页第二十八页，共48页。

平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交。所构成的三角形与原三角形相似。相似三角形判定的预备定理：DABCE∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC第二十八页第二十九页，共48页。

如图，△ABC中，DE∥BC，GF∥AB，DE、ＧＦ交于点Ｏ，则图中与△ABC相似的三角形共有多少个?请你写出来.解：与△ABC相似的三角形有3个:

△AＤＥ△ＧＦＣ△ＧＯＥABCDEFGO第二十九页第三十页，共48页。如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，（1）请找出图中所有的相似三角形；（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____。ABCDEFGHI△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC1：4运用第三十页第三十一页，共48页。观察1如图已知DE∥BC

∥AC,请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理由。练一练1ABCDFEABCDFEG第三十一页第三十二页，共48页。2.如图，G是ABCD的CD延长线上一点，连结BC交对角线AC于E，交AD于F，则：(1)图中与△AEF相似的三角形有___。(2)图中与△ABC相似的三角形有___。(3)图中与△GFD相似的三角形____。第三十二页第三十三页，共48页。5、如图，在ABCD中，E是边BC上的一点，且BE:EC=3:2，连接AE、BD交于点F，则BE:AD=_____，BF:FD=_____。6、如图，在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过点D作DE∥BC交AC于E，若AD:DB=3:2，则EC:BC=______。ABCDEFABCED3:53:53:5第三十三页第三十四页，共48页。7．如图，DE∥BC，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．第三十四页第三十五页，共48页。8．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．第三十五页第三十六页，共48页。9.已知EF∥BC,求证:第三十六页第三十七页，共48页。10.已知EF∥BC,FG∥DC,求证:第三十七页第三十八页，共48页。11.已知DE∥BC,EF∥CD,求证:第三十八页第三十九页，共48页。12:如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（）

A1对 B2对 C3对 D4对第三十九页第四十页，共48页。谈谈你的收获吧……第四十页第四十一页，共48页。相似三角形判定方法1、(定义)三组对应边的比相等且对应角相等；2、（预备定理）平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。总结反思第四十一页第四十二页，共48页。ABCDFE1.如图,已知DE∥BC,DF∥AC,若BF=3,CF=2,AD=1.5,DF=6,求线段AE的长度拓展提高：2321.566第四十二页第四十三页，共48页。ABCDFE1、若BF=3,CF=2,AD=1.5,DF=6,你能求出线段AE的长度吗？2∴△BDF∽△BAC∵DF∥AC∴∴AC=10∴解：∵DE∥BC,DF∥AC∴四边形DFCE为平行四边形∴FC=DE=2，EC=DF=6321.566∴AE=AC-CE=10-6=4练习：第四十三页第四十四页，共48页。ABCMDE