高中数学必修二第八章立体几何初步单元测试卷(二)(含解析)

高中数学必修二第八章立体几何初步单元测试卷⑵

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.若正方体的一条体对角线的长度为3,则此正方体的棱长等于（）

A.1B.1C.V2D.V3

2,定义1分的地球球心角所对的地球大圆弧长为1海里.在北纬45。圈上有甲、乙两地，甲地位于

东经120。，乙位于西经150。，则甲乙两地在球面上的最短距离为（）

A.5400海里B.2700海里C.4800海里D.3600海里

3.下列四个正方体图形中，4、3为正方体的两个顶点，M,N、P分别为其所在棱的中点，能得

出4B〃平面4的图形的序号是（）

A.①②B.②③C.①③D.①③④

4.如图，正三棱柱ABC-Ai/Ci的各棱长都等于2,。在AC】上，尸为中点，且尸。146，有

下述结论

(l)4Ci1BC-,

(2)*1；

(3)面凡4clLSiACGAi；

（4）三棱锥。-ACF的体积为

其中正确的个数为（）

5.长方体,谢需二僦蜀褊踹的各个顶点都在表面积为峥的球酵的球面上，其中

，幽::，做欧，棚！=富雷'内，则四棱锥解友毓瓢的体积为（）

6.设球的体积为V〉它的内接正方体的体积为丫2,下列说法中最合适的是（）

A.乙比丫2大约多一半B.%比丫2大约多两倍半

C.V1比%大约多一倍D.%比丫2大约多一倍半

7.已知三棱锥S—ABC中，底面ABC为边长等于旧的等边三角形，SA垂直于底面ABC,SA=1,

那么三棱链S-ABC的外接球的表面积为（）

A.27rB.47rC.6兀D.57r

8.棱长为2的正方体ABCD—4B1GD1中，E为棱AD中点，过点名且与平面&BE平行的正方体

的截面面积为（）

A.5B.2V5C.2>/6D.6

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.如图，设正方体ABC。-4B1GD1的棱长为2，E为劣劣的中点,

F为CG上的一个动点，设由点A,E,尸构成的平面为a,则（）

A.平面a截正方体的截面可能是三角形

B.当点F与点C］重合时，平面a截正方体的截面面积为2e

C.点。到平面a的距离的最大值为辿

3

D.当尸为eq的中点时，平面a截正方体的截面为五边形

10.如图，正方体4BC0-ABiG%的棱长为1,线段当。1上有两个动

点E,凡且EF=今则下列结论中正确的有（）

A.当E向Di运动时，4EJ.CF总成立

B.当E向5运动时，二面角4-EF-B逐渐变小

C.二面角E-4B-C的最小值为45。

D.三棱锥力-BEF的体积为定值

11.下列命题中正确的是（）

A.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线

平行

B.如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

C.如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行

D.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

12.在边长为2的等边三角形ABC中，点E分别是边AC,4B上的点，满足DE||BC且*=2(46

(0,1))-将AADE沿直线QE折到△4DE的位置.在翻折过程中，下列结论不成立的是()

A.在边4E上存在点F,使得在翻折过程中，满足BF〃平面ACD

B.存在46(0，)，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面ABC_L平面88E

C.若;1=；,当二面角4-OE-B为直二面角时，|48|=包

N4

D.在翻折过程中，四棱锥4-BCOE体积的最大值记为/(4)的最大值为平

三、单空题(本大题共3小题，共15.0分)

13.已知正方体ABC。—ABiGA的棱长是3,点M、N分别是棱AB、441的中点，则异面直线MN

与BC］所成的角是.

14.己知直角A4BC,448c=90。，AB=12,BC=8,D,E分别是AB,AC的中点，将A4OE沿

直线OE翻折至△PDE,形成四棱锥P-BCED.则在翻折过程中，①NDPE=乙BPC；②PE1BC-,

③PD1EC:④平面PDE1平面PBC.不可能成立的结论是.

15.如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=4,将△ABC沿对角线8。

折起到△4'BO的位置，使点A在平面8c。内的射影点。恰好落在

BC边上，则异面直线4B与C。所成角的大小为.

四、多空题(本大题共1小题，共5.()分)

16.在锐角△ABC中，AB=2,AC=3.若△ABC的面积为苧，则乙4BC=_(2)_.

五、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.正方体的每条棱都增加1cm,它的体积扩大为原来的8倍，求它的棱长.

18.图中是一个几何体的三视图，画出它的直观图.

19.如图，空间四边形ABC£＞中，E,F,G分别是A3,BC,8的中

点，求证：

⑴BD〃平面EFG；

(2)AC〃平面EFG.

20.如图所示，在四棱锥P-ABCD中,PC1平面4BCZZPC=2,在四边形4BCC中，4B=ZC=90°,

AB=4,CD=1,点M在PB上，PB=4PM,PB与平面4BCD成30。的角.

求证：(1)CM〃平面PAD

(2)平面P4B1平面PAD.

21.在正方体4BC0-A/iGDi中，E为棱CG的中点

(I)求证：平面4ED1平面EBD；

(II)求二面角4-DE-8的正弦值.

Di

22.如图，在四棱锥S-4BC。中，底面A8C。是边长为4的正方形，SD1

平面AB。，E,尸分别为AB,SC的中点.

(1)证明：EF1CD.

(2)若SD=8,求直线EF与平面A8C。所成角的正弦值.

,C

EB

【答案与解析】

1.答案：D

解析：解：设正方体的棱长为。，

正方体的一条体对角线的长度为3,

可得，a?+a2+a2=3>解得a=y/3-

故选：D.

设出正方体的棱长，棱长方程求解即可.

本题考查空间几何体的点线面距离的求法，考查计算能力.

2.答案：D

解析：解：•••地球表面上从甲地（北纬45。，东经120。）到乙地（北纬45。，西经150。）

.甲、乙两地对应点的纬圆半径是r=Rcos45°=—/?•

2

经度差是360°-（120°+150°）=90°,

•••AB=V2r=V2X号R=R,

•••△AOB是等边三角形，球心角是N40B=p

甲、乙两地的球面距离是手，

••・定义1分的地球球心角所对的地球大圆弧长为1海里，而60。对应3600',

即甲乙两地在球面上的最短距离为3600海里.

故选：D.

由于甲、乙两地在同一纬度圈上，可以先计算出它们的经度差和45。的纬圆半径，再求出甲、乙两地

对应的A8弦长，以及球心角，最后求出球面距离.

本题主要考查了球面距离及相关计算，考查空间想象力，属于基础题.

3.答案：C

解析：解：在①中，由正方体性质得到平面MNP与AB所在平面平行，

•••48〃平面MNP,故①成立；

②若下底面中心为0,则N0〃4B,NOC面MNP=N,

二4B与面MNP不平行，故②不成立；

③在④中，AB与PN平行，二4B〃平面MNP,故③成立;

④过P作与AB平行的直线PO,则尸。与平面MNP相交，

二AB与面MNP不平行，故④不成立.

故选C.

能得出48〃面MNP,关键是看平面MNP中有没有与AB平行的直线，或者有没有过AB的平面与平

面MN尸平行.逐一判断即可.

本题考查线面平行的判定，主要考虑定义、判定定理两种方法，同时运用面面平行的性质解决问题.

4.答案：C

解析：解：⑴连接4当,则断164即为5c

和ACi所成的角，在三角形ABiG中，BQ=

2,AB】=2V2.

4cl=2夜，COS4B1GA=8+"8=—>

1112X2V2X24

故⑴错;

(2)连接AF,GF,则易得4F=FG=有，

又FD1AC1，则AD=DC］，故(2)正确;

(3)连接CD,则CD14G，且FD14G，

则NCDF为二面角F-ACi-C的平面角，CD=&,CF=V5.DF=V3,

即CD?+。片=。片，故二面角F-4C1-C的大小为90。，面凡4G，面4。6公,故(3)正确;

(4)由于CD14Ci，且FD1ACX,则力D，平面CDF,

则ZTCF=VA-DCF=94。•SADCF=|XV2X|XV2XV3=当故(4)正确.

故选：C.

(1)连接AB1，则即为BC和4G所成的角，由余弦定理，即可判断；

(2)连接AF,CrF,由正三棱柱的定义，即可判断；

(3)连接CD,则CD1且FD14的，则4CDF为二面角F-AC.-C的平面角，通过解三角形CDF,

即可判断；

(4)由于4。JL平面CDF,通过VQ-ACF=匕-DCF即可求出体积.

本题考查正三棱柱的定义和性质，考查线面垂直的判定和性质，空间的二面角，以及棱锥的体积，

注意运用转换法，属于中档题.

5.答案：B

解析：试题分析：设有=如$,御=涮，,幽=&i，则娥=*=质序（赢彳薪=窑庭碑，则

it=

,黑,=4蹈用於厨力=［嬲，即谢=/，.•.温3=鬟出，窗=而，侬=5，

-幽®=♦阖次唐京避1然¥=-

2W工

考点：1.长方体外接球问题；2.锥体体积公式.

6.答案：。

解析：

设球的半径为r,正方体棱长为。，则3a2=4厂2,即白二空一

3

Vx=-m-\纵=晅/，4=叵，故选。项.

1329匕2

7.答案：D

解析：解：根据已知中底面△ABC是边长为我的等边三角形，SA垂直于底面ABC,

可得此三棱锥外接球，即为以△4BC为底面以S4为高的正三棱柱的外接球

ABC是边长为旧的正三角形，

•••△4BC的外接圆半径r=1,

球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=1

故球的半径R=Vr24-d2=—

2

故三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4兀/?2=57r.

故选：D.

由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△力BC为底面以S4为高的

正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径，，和球心距4,代入R=，r2+d2,可得球的半径R,

即可求出三棱锥S-ABC的外接球的表面积.

本题考查的知识点是球内接多面体，求出球的半径R=尸不涯是解答的关键.

8.答案：C

解析：

本题考查截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解

能力，是中档题.

取BC中点凡45中点G,连接。/、B/、DBi、DG、Ga,GF,则8E〃DF,A、E〃GD,从而

过点名，且与平面4BE平行的正方体的截面为菱形OFB】G,由此能求出过点名，且与平面&BE平

行的正方体的截面面积.

解：取BC中点凡中点G,连接力F、BQDB]、DG、GB「GF,如图所示：

•・•棱长为2的正方体48C。一48传1么中，E为棱中点，F为棱8c中点，G为棱久以中点，

BE//DF,A、E〃GD,且四边形。F&G为菱形，

乂&ECBE=E,DGCDF=D.A^E.BEu平面&BE,DG,DFu平面DFBiG,

••・过点斗，且与平面&BE平行的正方体的截面为四边形CFBiG,

,:DF=FB]=B、G=DG=，4+1=V5>

DB、=14+4+4=2V3，

GF=275^3=2A/2-

••・过点Bi，且与平面&BE平行的正方体的截面面积为：

S碰FB\GD=]*DB[xGF=gx2VZ5x2y/2=2y/6.

故选C.

9.答案：BCD

解析：

如图，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，延长AE与z轴交于P点，连接PF与y轴交于点M,

则平面a由平面AEF扩展为平面APM,考虑F的位置，可判断AD；当点F与点G重合时，平面a截

正方体的截面为边长为的菱形，计算面积可判断以由等积法%ypM=%-p4D，结合

体积公式，计算可判断C.

本题考查正方体的截面问题，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题.

解：如图，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，延长AE与Z轴交于P点，

连接PF与y轴交于点M,

则平面a由平面AEF扩展为平面APM,

可得截面不可能为三角形,

当点尸与点G重合时，平面a截正方体的截面为边长为"TT=有的菱形,

(2佝2+(2⑥2(4肉2

且cos“4M—

22X2V5X2V5

=(，贝iJsikEAM=jl=V,所以截面的面积为6x而x等=2遍;

当尸为CG的中点时，平面a截正方体的截面为五边形，故A错误，B,。正确;

考虑选项C.设M(OJ,0)(te[2,4]),则D到直线AM的距离为焉,

则可得P到直线A例的距离为

可得△APM的面积S=1-V4+t2-=V5t2+16.

设。到平面a的距离为

运用等积法可得Vp_4pM=^M-PAD)

BP-h-V5t2+16=-t---2-4,

332

._4t_4

2

可得-V5t+16-J54_16,

当t=4时，/?取得最大值辿，故C正确.

3

故选：BCD.

10.答案：CD

解析：解：以D4,DC,DDi所在直线为x,y,z轴建立坐标

系如图所示，

设CiE=a(0Wa<^),

则4(1,0,0),8(1/，0),C(0,l,0),E(乎a，¥a,l),F(乎a+

1V2।1

一，——CLd—,1)，

2‘22')

二荏=(¥Q—1,岑Q,l),CF=(ya+1,ya-i,l)，荏=(OJ，0),

~AE-CF=(­a—1)(—a+-)4--a(—a—-)+l=a2——

、2八22)2、22722

所以当E向Di运动时，AEJ.CF不成立，故A错误；

二面角4-EF-B的平面角即为二面角4-/Di-B的平面角相等，

即二面角4一EF-B为定值，故B错误；

n-AB=%=0

设平面EAB的法向量为祐=(Xi，yi，Zi),由亭-1兄+a+z1=。'可取五=Q°'1十）'

平面ABC的法向量为沅=(0,0,1),

罚>_沆五

则COS<m,|m||n|

由OSaW*，可得拉(1-日a)2w1，

则靠-cos〈沆，记＞wa

可得a=0时，即E,D1重合时，二倍角E-AB—C的平面角取得最小值45。，故C正确;

^A-BEF=I^ABEF,=：*卜¥*1*¥=2,

•••三棱锥E-4BF的体积为定值，故。正确.

故选：CD.

以D4,DC,。久所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设=a(0Wa4当)，分别求得

A,B,C,E,F,的坐标，向量AE,CF,AB的坐标，由向量的难道坐标表示可判断A；由二面角

4—EF-B的平面角即为二面角4—的平面角相等，可判断B；运用法向量求出二面角E一

4B-C的平面角的范围，可判断C；由棱锥的体积公式，可判断。.

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证

能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题.

11.答案：ABD

解析：解：观察正方体中的线面位置关系，结合课本中在关线面位置关

系的定理知，

48。正确.

对于C,A'B'、AD’都平行于一个平面AC,但它们不平行，故C错.

R

故选：ABD.

对于立体几何中的线线、线面、面面关系的判定可依据课本中有关定理结论进行判断，也可列举反

例从而说明不正确即可.

本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础

题.

12.答案：ABC

则可得FN平行且等于BG,即四边形BGNF为平行四边形，二NG〃BE,而GN始终与平面&CD相

交，因此

在边AE上不存在点尸，使得在翻折过程中，满足BF〃平面ACD,不正确.

B.AG在翻折过程中，点4在底面BCZJE的射影不可能在交线8c上，因此不满足平面ABC，

平面8CDE,因此不正确.

C.A=当二面角为直二面角时，取EC的中点可得：AMJ•平面BCOE.

则|4'B|=y/AM2+BM2=J(y)2+1+(|)2-2x1x|xcos120°=当羊邛，因此不正确.

/).在翻折过程中，取平面4ED1平面BCDE,四棱锥A-BCDE体积f(2)=1-SBCDE-V3^=1-

V3(1-A2)V3A=A-A3，46(0,1),

f(A)=l-3A2,可得;1=当时，函数/⑷取得最大值=¥(1后)=雪，因此正确.

故选：ABC.

A.在边4E上点凡在4'D上取一点M使得FN〃ED,在ED上取一点”，使得NH〃EF,作HG〃BE

交BC于点G,可得四边形8GNF为平行四边形，可得GN始终与平面ACQ相交，即可判断出结论.

(0,1),在翻折过程中，点4'在底面BCQE的射影不可能在交线BC上，即可判断出结论.

C.A=p当二面角A'-DE-B为直二面角时，取的中点M,可得：J■平面BCOE.可得|4'B|=

，AM2+BM2,结合余弦定理即可得出.

D在翻折过程中，取平面_L平面BCDE,四棱锥4一BCOE体积/(Q=|-SBCDE•=4一万，

2e(0,1),利用导数研究函数的单调性即可得出.

本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用

导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题也是易错

题目.

13.答案：g

解析：解：如图，连接&G，

MN"A[B,则NAIBCI为直线MN与DC1所成的角

棱长为3,则=&G=BC]=3夜，

•••三角形&BC1为等边三角形则NA/G为W

从而异面直线MN与BQ所成的角是g

故答案为今

先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B,得到的锐角或

直角N&BCi就是异面直线所成的角，在三角形&BC1是等边三角形则乙41BQ为%从而求出异面直

线与BC]所成的角.

本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，解题本题的关

键寻找异面直线所成角，易错在计算.

14.答案：①②④

解析：解：根据题意，作图如图所示

B----------------CBC

①vAD1DE，,PD1DE、：，tanzDPF=—=

7PD3

vDE1PD,DE1BD,PDClBD=D,・•・DE_1平面尸。8,・•・BC1平面POB,/.PBC=90°,

•・,PBVPD+DB=12,・・・tan^BPC=-^=—>-,①不成立；

PBPB3

②DE//BC,•••PE与BC所成角为NPED牛90°,②不成立；

③当POJLBD时，可得PD_L平面。8CE,：.PO_LCE,即③可能成立；

④平面PDE和平面PBC交于点P,由线面平行性质定理可知两个平面的交线”/BC〃CE,即4BPD

就是两个平面所成的平面角，

又；「。=8£),；.482。为锐角，二@不成立.

综上所述，不成立的有①②④.

故答案为：①②④.

作出翻折前后的儿何图形，抓住翻折前后不变的位置关系和数量关系，再结合线、面平行或垂直的

判定定理与性质定理，逐一检验每个命题的正误即可.

本题考查了立体几何中线、面的位置关系，异面直线的夹角等问题，要求学生会灵活运用空间中线

面平行与垂直的判定定理与性质定理，考查了学生的空间立体感和推理论证的能力，属于基础题.

15.答案：90°

解析：

本题考查异面直线所成的角，线面垂直的判定和性质，属于基础题.

由题意，A'O1平面ABC。，可得A'。1DC,结合CD1BC可得CDJ_平面ABC,贝“CD_L4'B,即可

求出结果.

解：由题意，4'。■!_平面ABCQ,

又CDu平面ABCD,

•••A'O1DC,

又•.•矩形ABCD中，BC1DC,

又BCnA0=。，BCC平面A3UA'Oc平面A'BC,

DCJL平面ABC,

又4'Bu平面ABC,

所以DC1A'B,

所以异面直线48与C。所成角的大小为90。.

故答案是：90°.

16.答案：60°

V7

解析：解：：AB=2,AC=3.

若44BC的面积为辿=-AB-AC-sinA=三x2x3xsinA，

222

，解得si加4=—,

2

・・・A为锐角，

•­A=60°,

・・・BC=-JAB2+AC2-2AB-AC-cosA=J4+9-2x2x3x|=V7.

故答案为：60°,V7.

由已知利用三角形的面积公式可求sinA,结合A为锐角可求4的值，根据余弦定理可求BC的值.

本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

17.答案：解：设正方体的棱长为。，则其体积为匕=。3,

棱长扩大后为(a+1),体积力=(a+1>,

由(a+I)：'=8a3,得a+1=2a,即a=1.

・•・正方体的棱长为1.

解析：设正方体的棱长为“，求其体积，再求出扩大棱长后求得正方体的体积，由已知列方程求解.

本题考查正方体的体积，考查一元三次方程的解法，是基础题.

18.答案：解：由几何体的三视图可得几何体为倒放的底

面为等腰三角形的直棱柱，如图所示.由儿何体的三视

图可得几何体为倒放的底面为等腰三角形的直棱柱，如

图所示.由几何体的三视图可得几何体为倒放的底面为

等腰三角形的直棱柱，如图所示.由几何体的三视图可得几何体为倒放的底面为等腰三角形的直棱

柱，如图所示.

解析：由几何体的三视图可得几何体为底面为等腰三角形的直三棱柱，如图所示.

本题考查由三视图所得儿何体在直观图，属于基础题.

19.答案：解：(1)连接EF,FG,

•••E、F、G分别是AB、BC、CZ)的中点，

FG//BD,

又•••FGu面EFG,BD仁面EFG.

BD//面EFG.

(2)由(1),「E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，

•••FE//AC,

又•：FEu面EFG,AC，面EFG.

AC〃面EFG.

解析：(1)连接EF,FG,要证80〃面EFG,只需通过E,F,G分别是AB,BC,8的中点，证明

8。平行于面EFG内的直线FG,即可.

(2)证明力C〃平面EFG,只需证明FE〃4C,说明FEu面EFG,AC<t®EFG.

本题是中档题，考查直线与平面的平行，利用直线与平面平行的判定定理是解题的关键.常考题型.

20.答案：见解析

解析：建立空间直角坐标系.(1)可证明而与平面PAD的法向量垂直;也可将。祸分解为平面PAD内

的两个向量的线性组合，利用共面向量定理证明.

(2)取AP中点E,利用向量证明BE，平面月4。即可.

【证明】由题意可知：

以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空

间直角坐标系Cxyz.

■：PC_L平面ABCD,

"BC为PB与平面ABCD所成的角,

4PBC=30°.

vPC=2,ABC=2"PB=4.

•••0(0,1,0),BQ/,0,0),

A(2W，4,0),P(0,0,2),0,%

.•.DP=(0,-l,2),法=(2、/5，3,0),

CM=哼J

(1)方法一：令n=(x,y,z)为平面PA。的一个法向量，则|啜啦'-a

嘲,

即4八’卜r/二i

l2v3x+3y=0,卜=一当，

令y=2,得?i=(-J3，2,1).

,**n，CM=~\/3乂二+2x0+1x^=0,

・•・n仁平面PAD,

・•・CM〃平面PAD.

方法二：,.7)D=(°」，-2),PA=(2百，4,-2),

假设CM〃平面PAD,

,,,

则存在Xo，yo使CM=&PD+yoPA，则

T=2^y°1口.、俨o=T

«0=x0+4y0,方程组的解为1_i

3(y。=1

I；=-2xo-2y0,

TTJT

•••CM=~PD+-PA-

由共面向量定理知国与前，总共面，故假设成立.

又CMC平面PAD,

•••CM〃平面PAD.

(2)取4P的中点E,连接BE,则2,1),

BE=(-32,1).

易知PB=4B,•••BE1.PA.

又：BE，zjk=(一\$2,1),(2\万，3,0)=0,

BE1DA.y.PAnDA=A,

BE1平面PAD.

又：BEu平面PAB,

.,・平面P4BL平面PAD.

21.答案：(/)证明：设正方体ABCD-&B1C1D1的棱