第6讲 立体几何（2022年高考真题）（解析版）

第6讲立体几何

一、单选题

1.（2022•全国•高考真题）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3g和46，其

顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.1OC市B.128兀C.144兀D.192兀

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径彳，4,再根据球心距，圆面半径，以及球

的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.

【详解】

设正三棱台上下底面所在圆面的半径小明所以24=£1-.24=£-，即4=3,弓=4,

sin60sin60

设球心到上下底面的距离分别为4,4，球的半径为R,所以4=JR2-9,4=依-16,

故14—4|=1或4+4=1，即那-9-收一16卜1或痛互+7^^=1，解得代=25

符合题意，所以球的表面积为5=4兀a=100兀.

故选：A.

2.（2022•全国•高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分

水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km,水位为海拔

157.5m时，相应水面的面积为180.0km?,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，

则该水库水位从海拔148.5m上升到1575m时，增加的水量约为（5=2.65）（）

A.1.0xl09m'B.1.2xlO9m3C.1.4xl09m,D.1.6xl09m3

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出.

【详解】

依题意可知棱台的高为〃N=157.5-148.5=9（m）,所以增加的水量即为棱台的体积丫.

棱台S=140.0km2=140x106m2,下底面积S'=180.0km2=i80xl（）6m2,

：.V=^h(S+S'+4sS;)=|X9X(140X106+180X106+A/140xl80xl0,2)

=3x(320+60^)xl06s(96+18x2.65)xl07=1.437xl09»1.4xl09(m3).

故选：c.

3.（2022•全国•高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的

体积为36万，且34/M3石，则该正四棱锥体积的取值范围是（)

81]「2781]「27641

A.18,—B.—C.—D.[18,271

L4JL44J143」

【答案】C

【解析】

【分析】

设正四棱锥的高为〃，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确

定正四棱锥体积的取值范围.

【详解】

：球的体积为36乃，所以球的半径R=3,

设正四棱锥的底面边长为2”，高为〃，

则『=2/+力2,32=2/+（3-4,

所以6/?=/，2a2=l2-h2

112/4I2}（/6

所以正四棱锥的体积丫1一三,

3333669136）

所以=A4尸一一

916

当34/426时，Vr>0,当26</436时，V'<0,

所以当/=2后时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为三,

27Q1

又/=3时，V=—,/=3百时，V=—,

44

所以正四棱锥的体积V的最小值为27?，

4

所以该正四棱锥体积的取值范围是多与

故选：c.

4.（2022•全国•高考真题（文））在正方体A8CO-A4GR中，E,尸分别为A8,8c的中点,

则（）

A.平面g平面B.平面与平面A8。

C.平面与EF〃平面AACD.平面片EF〃平面AC?

【答案】A

【解析】

【分析】

证明所，平面，即可判断A；如图，以点3为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2,

分别求出平面片EF,ABD,的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.

【详解】

解：在正方体A8CD-ABCR中，

AC_LBO且DD,±平面ABCD,

又EFu平面ABC£>,所以

因为E，F分别为AB,8c的中点，

所以EF||AC,所以所_LBZ）,

又BDCDQ=D,

所以EFL平面，

又EFu平面4EF,

所以平面与EF1平面BDD,,故A正确；

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2，

则4（2,2,2）,E（2,l,0）,F（l,2,0）,B（2,2,0），A（2,0,2）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,

C）（0,2,2）,

则乔=（T,1,0）,函=（0,1,2）,丽=（2,2,0）,西=（2,0,2）,

羽=（0,0,2）,而=（-2,2,0）,福=（-2,2,0）,

设平面与EF的法向量为正=（为,％zJ,

一,一m-EF=-x.+y.=0一一/、

则有-1/1八，可取加=（2,2,-1）,

m•EB[=x+2Z]=0'7

同理可得平面A出。的法向量为1=（1,-

平面AAC的法向量为%=（1,1,0）,

平面ACQ的法向量为,=（』,—1）,

则加•勺=2-2+1=1#0>

所以平面B.EF与平面\BD不垂直，故B错误;

LU

因为加与〃2不平行，

所以平面与EF与平面AAC不平行，故C错误;

因为正与点不平行，

所以平面gEF与平面AC。不平行，故D错误,

故选：A.

5.（2022.全国•高考真题（文））已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点

均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A.-B.1C.3D.旦

3232

【答案】C

【解析】

【分析】

先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面A8CO面积最大值为2r，

进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四楼

锥的体积最大时其高的值.

【详解】

设该四棱锥底面为四边形ABCD,四边形48co所在小圆半径为r,

设四边形ABCC对角线夹角为a,

111,

则必88=5403。与11&414。8。（52小2r=2/

（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）

即当四棱锥的顶点。到底面ABC。所在小圆距离一定时，底面48CD面积最大值为2,

又严+小-J

则心…”/邛"办考产『考

当且仅当r=2h2即人日时等号成立，

故选：C

6.(2022•全国•高考真题(理))甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为

2兀，侧面积分别为S甲和%,体积分别为《和%.若含=2,贝总=()

3乙V乙

A.75B.20C.V10D.

4

【答案】C

【解析】

【分析】

设母线长为/，甲圆锥底面半径为4，乙圆锥底面圆半径为4,根据圆锥的侧面积公式可得

4=2公再结合圆心角之和可将R分别用/表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高,

再根据圆锥的体积公式即可得解.

【详解】

解：设母线长为/,甲圆锥底面半径为4，乙圆锥底面圆半径为4，

2,

所以4=22,

d2万/;2c、c

又一^^—^=2兀,

则中=1,

21

所以4=]"=?，

所以甲圆锥的高九=

乙圆锥的高a=

4

i2^

町f

--tX

%39

所

以-

一=

1在1

七22

-7

--rX

o9

故选：c.

7.(2022•全国•高考真题(理))在长方体ABCO-ABCQ中，已知四。与平面ABCD和平

面AA片B所成的角均为30°，贝I]()

A.AB=2ADB.A8与平面ABCQ所成的角为309

C.AC=CBtD.BQ与平面BBCC所成的角为45°

【答案】D

【解析】

【分析】

根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出.

【详解】

如图所示：

不妨设AB=a,AD=EAA=c,依题以及长方体的结构特征可知，与平面4JCO所成角

cb

为NB\DB,4。与平面AA"乃所成角为/。耳A,所以即b=c,

222

BtD=2c=>Ja+b+c,解得”=缶.

对于A,AB=a,AD=h,AB=^AD,A错误；

对于B,过5作于E,易知BE1平面阴G。，所以AB与平面ABC。所成角为

NBAE,因为tanNBAE=£=变，所以N84EH30'，B错误；

a2

2222

对于C,AC=\]a+b=\[3c>CBX=\Jb+c=J5c,ACoCB1,c错误；

对于D,BQ与平面88CC所成角为ND8C，sinZD^C=乌=f,而

B.D2c2

0<ZDB,C<90,所以NOB1C=45.D正确.

故选：D.

二、多选题

8.（2022・全国•高考真题）如图，四边形43。为正方形，平面A6C。，

EB〃£»,AB=E£>=2EB,记三棱锥E-ACZ）,F-ABC,F-4CE的体积分别为匕,匕,匕,

则（）

【答案】CD

【解析】

【分析】

直接由体积公式计算匕匕，连接5。交AC于点M,连接由匕=匕_"“计

算出匕，依次判断选项即可.

【详解】

hq=g-2a-g-（2a）2，

匕=；，在8,5"跣=g。；,（2a）2,连接BD交4c于点“，连接EM,FM,易得

BDVAC,

又£D_L平面ABCD,ACu平面ABCD，则ED_LAC,又。D=£>,ED,8。u平面BDEF,

则AC,平面

又BM=DM=；BD=4ia,过尸作PGJ_DE于G,易得四边形8DGF为矩形，则

FG=BD=2&a,EG=a,

则EM=J（2a）2+（血aj=GI,FM=卜+（贝力=&i,EF=卜+（20j=3a,

1o万

EM2+FM2=EF2>则S=-EM-FM=^—a2,AC=2x/2a，

EseFrMe,2

则匕=gAC-S«£FM=2/，则2匕=3匕，匕=3匕，匕=匕+匕，故A、B错

误；C、D正确.

故选：CD.

9.（2022•全国•高考真题）已知正方体ABCO-AgCQ,则（）

A.直线BG与ZM,所成的角为90°B.直线BG与CA所成的角为90°

C.直线BG与平面8BQQ所成的角为45°D.直线与平面ABC。所成的角为45。

【答案】ABD

【解析】

【分析】

数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

【详解】

如图，连接8夕、BC,,因为。AJ/BC，所以直线BG与BC所成的角即为直线8a与D4,所

成的角,

因为四边形BBCC为正方形，则3CLBG，故直线8G与0A所成的角为9（）。，A正确;

连接AC,因为44,平面3BCC，BC|U平面BBCC，则

因为ASnBC=4,所以BC，L平面ABC,

又ACU平面Age,所以BG，CA，故B正确；

连接AG，设AGnBQi=o,连接8。，

因为_L平面ABC。，GOu平面A内CQ,则GOJLBf,

因为CQL与R,B10CB、B=B1,所以G。，平面B8Q£),

所以"BO为直线BC,与平面所成的角，

设正方体棱长为1，则C0=①，BC】=e,sinZC.BO==

12BC\2

所以，直线SC；与平面38Q。所成的角为30，故C错误；

因为GCL平面ABCD,所以NC声C为直线BG与平面"CO所成的角，易得N£BC=45,

故D正确.

故选：ABD

三、解答题

10.(2022.全国•高考真题)如图，PO是三棱锥P-AfiC的高，PA=PB,ABLAC,E是PB

的中点.

⑴证明：OE//平面PAC；

(2)若NABO=NC8O=30。，PO=3,PA=5,求二面角C—AE—3的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵H

13

【解析】

【分析】

(1)连接8。并延长交AC于点。，连接04、PD,根据三角形全等得到。4=0B,再根

据直角三角形的性质得到40=00,即可得到。为BD的中点从而得到OE〃PD,即可得证;

(2)过点A作Az〃OP,如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值,

再根据同角三角函数的基本关系计算可得；

(1)

证明：连接80并延长交AC于点。，连接。4、PD,

因为尸。是三棱锥P—ABC的高，所以「平面ABC,AO,8Ou平面ABC,

所以PO_LAO、POLBO,

又PA=PB,所以三△POB,即04=08,所以NOAB=NO8A,

又AB_LAC,即/B4C=90。，所以/O48+/OAZ)=90。,ZOBA+ZOZM=90°,

所以N0D4=NQ包

所以40=00,即AO=OO=Q8,所以。为8。的中点,又£为依的中点，所以OE//PD,

又OEZ平面PAC,PDu平面PAC,

所以0E〃平面P4C

二

AB

(2)

解：过点A作上〃。尸，如图建立平面直角坐标系，

因为PO=3,AP=5,所以04=JAP2_po?=4，

y

z

AB

Ak

又NOBA=NOBC=30°,所以BO=2OA=8,则AD=4,AB=46

所以AC=12,所以006,2,0),8(46,0,0),P?区2二5)，C(0,12,0),所以

则醺=(3百」,£),AB=(4>/3,0,0),*=(0,12,0),

一,n-AE=3J5x+y+|z=°,令z=2,则y=-3,x=。,

设平面A£B的法向量为"=(x,y,z),则，

n-AB=4y[3x=0

所以〃=（0,-3,2）；

由荏一3Ga+b+3c-O

设平面A£C的法向量为次=（4,。,0）,则＜〜2,令〃=百，则c=-6,

in-AC=12b=0

b=0,所以机=(G,0,-6卜

-1246

所以8s/—g"A”丽n-m|二标/一百

设二面角C-A£-B为6,由图可知二面角C-A£-8为钝二面角,

所以cosJ=-'^,所以sind=Jl-cos。，=?

1313

故二血角C-AE-B的正弦值为装；

11.（2022.全国•高考真题）如图，直三棱柱A8C-A/C的体积为4,AABC的面积为2拉.

（1）求A到平面ABC的距离；

（2）设。为AQ的中点，A4,=AB,平面48C，平面ABAA，求二面角4—C的正弦值.

【答案】（1）&

⑵立

2

【解析】

【分析】

（1）由等体积法运算即可得解；

（2）由面面垂直的性质及判定可得5c_L平面ABBM，建立空间直角坐标系，利用空间向

量法即可得解.

（1）

在直三棱柱ABC-ABC中，设点A到平面\BC的距离为h,

则匕-ABC!h=V&_ABC=闻JC,AA=44G=§)

解得h=>/2>

所以点A到平面ABC的距离为0；

(2)

取AB的中点E,连接AE,如图，因为A4,=AB,所以AE_LAB.

又平面ABC1平面ABB^,平面A.BCQ平面ABB^=AXB,

且AEu平面ABB0,所以AEJ_平面ABC,

在直三棱柱ABC-4AG中，8与，平面ABC,

由BCu平面ABC,BCu平面ABC可得AE_L8C,BBt1BC,

又u平面AB81A且相交，所以BCJ_平面AB8IA,

所以8C,两两垂直，以8为原点，建立空间直角坐标系，如图,

由(1)得AE=J5,所以M=AB=2,AB=2五,所以BC=2,

则A(0,2,0),4(0,2,2),8(0,0,0),C(2,0,0),所以AC的中点。(1,1,1)，

贝ij丽=(1,1,1),丽=(0,2,0)辰=(2,0,0),

〃?・8£)=x+y+z=0

设平面的•个法向量相=(x,y,z),则，

m-BA=2y=0

可取帆=(l,0,T),

m•BD=a+h+c=0

设平面的一个法向量〃=(〃,b,c),则

tn-BC=2。=0

可取〃二（0,1,-1）,

则8sM〃齐丽=R=

所以二面角A—双）—C的正弦值为=孚.

12.（2022・全国•高考真题（文））如图，四面体ABCD中，A£>，CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,

E为AC的中点.

⑴证明：平面BED_L平面AC。；

（2）设A3=5£）=2,ZAa?=60。，点尸在2。上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F-45c

的体积.

【答案】（1）证明详见解析

⑵在

4

【解析】

【分析】

（1）通过证明AC,平面BED来证得平面平面ACD.

（2）首先判断出三角形AFC的面积最小时F点的位置，然后求得尸到平面A8C的距离，

从而求得三棱锥F-ABC的体积.

（1）

由于A3=CD,E是AC的中点，所以AC_LOE.

AD=CD

由于=,所以zMOB三△COB,

ZADB=NCDB

所以AB=CB,故AC_LB£>,

由于£）Ec8£>=。，DE,BD\平面BE£>，

所以ACJL平面BED,

由于ACu平面AC。，所以平面BED_L平面ACD

(2)

依题意==3c=2,44cB=60。，三角形ABC是等边三角形，

所以AC=2,AE=CE=1,BE=6

由于AO=CD,AO，CO,所以三角形AC£>是等腰直角三角形，所以DE=1.

DE2+BE2=BD2>所以

由于ACc8E=E,AC,3Eu平面ABC,所以QE，平血ABC.

由于ZVIDBm/XCDB,所以N尸54=NEBC,

BF=BF

由于,NFBA=NFBC,所以△月必浮FBC,

AB=CB

所以AF=CF,所以£F，AC,

由于2.c=g-ACEF,所以当E尸最短时，三角形AR?的面积最小值•

过E作EFJ-BD,垂足为F，

I1/Q

在中，-BEDE=-BDEF,解得防=组，

222

所以DF=｝二曰=pfiF=2-DF=|.

而卜|BF

所以访="3

FHBF3

过F作尸H工BE,-垂足为H,则FH//DE,所以"7J_平面ABC,H—

DEBD4

3

所以厂"二二，

所以％ABC=』.s-FH=-X-X2X^3X-=—

r-zioC3△A/loStC32ij

EH

13.(2022•全国・高考真题(理))如图，四面体ABCD中，AD，8,A。=CD,ZADB=4BDC,

E为AC的中点.

⑴证明：平面平面A。；

(2)设AB=8O=2,NACB=60。，点尸在8。上，当△AFC的面积最小时，求CT与平面9

所成的角的正弦值.

【答案】⑴证明过程见解析

(2)CF与平面丽所成的角的正弦值为迪

7

【解析】

【分析】

(1)根据已知关系证明△M足△CBO,得至UAB=CB,结合等腰三角形三线合一得到垂

直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；

(2)根据勾股定理逆用得到BELDE,从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则

进行计算即可.

(1)

因为AZ)=C£>,E为AC的中点，所以AC_LDE；

在公ABD和CBD中，因为A£>=CD,ZADB=ZCDB,DB=DB,

所以△ABgZ^CBD,所以越=CB,又因为E为AC的中点，所以ACLBE；

又因为DE,BEu平面BE。，DECBE=E,所以AC_L平面SEO,

因为ACu平面AC£),所以平面BEDJ_平面48.

(2)

连接EF,由(1)知，ACBED,因为EFu平面BED，

所以ACLEF,所以

当所J_8£>时，EF最小，即△AFC的面积最小.

因为所以C8=45=2,

又因为NAC8=60。，所以AMC是等边三角形，

因为E为AC的中点，所以AE=£C=1,BE=g,

因为AD_LCD,所以。E=gAC=l,

在ADEB中,DE2+BE2=BD2^所以BE，DE.

以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,

则A(l,O,O),8(O,6,O),£)(O,O,l),所以而=(-1,0,1),通=(-1,百,0),

设平面4®的一个法向量为n=(x,y,z),

n-AD=-x+z=0厂-/r-\

则