直线倾斜角与斜率的关系

第一页第二页，共24页。交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度．如右图，沿着这条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度坡度k＞0表示这段道路是上坡，k值越大上坡越陡，如果k太大，车辆就爬不上去，还容易出事故；k＝0表示是平路；k＜0表示下坡，|k|值越大说明下坡越陡，|k|太大同样也容易出事故．因此在道路规划铺设时必须充分考虑这一点，那么，如何设计道路的坡度，才能避免事故发生？这就是我们下面所要学习的内容．第二页第三页，共24页。第三页第四页，共24页。1．当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，__________的角α叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α＝0°.故α取值范围是__________．2．我们将一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值tanα，称为__________，通常用k表示．即k＝tanα.由定义知，倾斜角为90°的直线__________．3．求直线斜率的两种常用方法是：(1)定义k＝tanα(α≠90°)；(2)斜率公式__________．第四页第五页，共24页。4．平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角α，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角α__________；倾斜程度不同的直线，其倾斜角α不相等．因此，我们可用倾斜角α表示平面直角坐标系内一条直线的__________．5．在平面直角坐标系中，已知直线上的一个定点__________确定一条直线的位置．同样，已知直线的倾斜角α，__________确定一条直线．但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角________一条直线．因此，确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点和它的倾斜角，二者缺一不可．4．相等倾斜程度5．不能也不能可以唯一确定第五页第六页，共24页。6．倾斜角不等于90°的直线都有斜率，而且倾斜角不同，直线的斜率也__________．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．7．任何一条直线都有__________的倾斜角，但是任何一条直线并不是都存在斜率．8．若直线l的方程为y＝x·tanα＋2，则直线的斜率是__________，但α__________直线l的倾斜角．6．不同7．唯一8.tanα不一定是第六页第七页，共24页。第七页第八页，共24页。直线的斜率公式经过两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)的直线的斜率公式：k＝，其适用范围是x1≠x2.①斜率公式可通过直线上任意两点的坐标表示，比利用几何法由倾斜角求斜率更方便．②斜率公式与两点的顺序无关，也就是说两点的纵、横坐标在公式中的次序可以同时调换(要一致)．③如果y2＝y1(x1≠x2)，则直线与x轴平行或重合，k＝0；如果x1＝x2，y1≠y2，则直线与x轴垂直，倾斜角α＝90°，斜率k不存在．第八页第九页，共24页。直线的倾斜角和斜率的概念(1)直线的倾斜角的定义分为两个部分：一是与x轴相交的直线，其倾斜角是用旋转角来定义的；二是与x轴平行和重合的直线，其倾斜角是规定的．关于与x轴相交的直线的倾斜角的理解，要抓住3个要素：①将x轴绕着交点旋转到和直线重合；②按逆时针方向旋转；③α为最小正角．第九页第十页，共24页。(2)平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角α，其范围是0°≤α＜180°，倾斜角是一个几何概念，它直观地表示了直线相对x轴正方向的倾斜程度．(3)直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率。倾斜角不是90°的直线都有斜率，当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时直线垂直于x轴，斜率k＝tanα(α≠90°)表示直线相对于x轴的倾斜程度．第十页第十一页，共24页。第十一页第十二页，共24页。求直线的斜率经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．(1)(1，－1)，(－3,2)；(2)(1，－2)，(5，－2)；(3)(3,4)，(－2，－5)；(4)(3,0)，(3，)．第十二页第十三页，共24页。规律总结：在应用斜率公式求斜率时，首先应注意这两点的横坐标是否相等，若相等，则这两点连线必与x轴垂直，故其斜率不存在，也就不能运用斜率公式求斜率，事实上此时，若将两点坐标代入斜率公式，则其分母为零无意义，即斜率不存在．其次，在运用斜率公式时，分子的被减数与分母的被减数必须对应着同一点的纵坐标和横坐标．第十三页第十四页，共24页。变式训练1．已知直线l1过点A(3,6)，B(－1,2)，直线l2过点C(1，－1)，D(0,3)，则kl1＝__________，kl2＝__________，直线__________更陡一些．1－4l2.第十四页第十五页，共24页。求直线的倾斜角设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为__________．分析：解答此题应紧扣直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，还需注意与x轴相交的直线的倾斜角不能为0°.第十五页第十六页，共24页。解析：倾斜角的范围是[0°，180°)，因此，只有当α＋45°∈[0°，180°)，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°(如上图)．∴应填：当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°.规律总结：注意直线的倾斜角α的取值范围是：0°≤α＜180°，其中直线与x轴平行或重合时α＝0°.第十六页第十七页，共24页。变式训练2．在下图中，α能表示直线l的倾斜角的是__________．(填上所有正确图形的序号)解析：由直线倾斜角的概念可知，①③中的α为直线l的倾斜角．故填①③.答案：①③第十七页第十八页，共24页。直线倾斜角与斜率的关系如右图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2垂直，求l1、l2的斜率．第十八页第十九页，共24页。规律总结：(1)本例中，利用图形的形象直观挖掘出直线l1与l2的倾斜角之间的关系是解题的关键．(2)公式tan(180°－α)＝－tanα是一个重要公式，它是求倾斜角为钝角时的直线斜率的关键，即把钝角的正切转化为锐角的正切．由这个公式可知，若α为直线l的倾斜角，k为直线l的斜率，则有：0°＜α＜90°⇔k＞0；90°＜α＜180°⇔k＜0；α＝0⇔k＝0；α＝90°⇔k不存在．(3)当已知α的一个三角函数值求tanα时还要注意0°≤α＜180°.第十九页第二十页，共24页。第二十页第二十一页，共24页。基础巩固直线的斜率1．经过点M(1，－2)，N(－2,1)的直线的斜率是__________．第二十一页第二十二页，共24页。能力升级直线的斜率与倾斜角的关系应用10．直线l经