高中平面向量经典练习题1(含答案)

高中平面向量经典练习题

【编著】黄勇权

一、填空题

1、已知向量a=(-2,1),向量|b|=2|a|,若b•(a-b)=-30,则向量b的

坐标==

2、已知a=(2,1),3a-2b=(4,-1),则a•b=。

3、向量a=(m,-2),向量b=(-6,3),若a〃b,则(3a+4b),(6a-5b)=。

4、已知向量a、b满足|a|=2,b=(T,y/-2),且(4a-b)•(a+b)=22,则a、

b的夹角o

5、在矩形ABCD中，AB=(l,-3),AC^(k-2),则实数左=。

6、已知向量a=(l,f),B=(f,9),若2〃1),则h=o

7、已知|0A|=1,|0B|=V3,OA-OB=0,点C在NA0B内，且NA0C=30°,

•..m

设0C=mOA+nOB(m>nER),则R等于。

8、若|=|a-b|=2|a|,则向量彳+E与E的夹角为

9、已知向量'=(2,1),a'=10,Ia+^1=哂，则/()

岸(1,

10、已知平面向量,,xWR,若

—♦—♦

.।a-b।

贝n力1=____。

二、选择题

1、已知向量2=(2,1),向量b=(1,-1),那么2a+b=

A、(5,,1)B、(4,1)C、(5,2)D、(4,2)

2、已知向量2=(2,4),向量b=(-3,0),则-a+b=o

2

A、3B、3cC、2D、2A/2

3、己知向量a=(2cos0,1),向量b=(2sin®,-1),右OVeV—,且a

4

±b,则tan9的值。

A、-2-V3B、2—VsC、3+V3D、-3-V3

4、已知非零向量a、b,且|a|Tb|=|a-b|,则a与a+b的夹角0

A、90°B、60°C、30°D、0

5、已知向量2=(m,-1),向量b=(4m2-1,2),若a〃b,则(2a+b),(a-2b)

—o

l-A/-51+yT~5

A、0B、1C、---}-D、----

44

6、已知向量。=(1,2),5=(1,0),5=(3,4),若X为实数，(须+b)_LC,则X的

值为.

-335-5

A、TTB、五C、1TD、7T

7、在正五边形ABCDE中，已知标•菽=9,则该正五边形的对角线的长为

A、2\l~3B、2y[~5C、3yl~2D、3^/~5

8、直角三角形ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,点M是三角形ABC外接圆

上任意一点，则福•说的最大值为.

A、12B、10C、8D、6

9、已知向量彳=(x,2),b=(2,1),0=(3，x),若力〃1则向量W在向量

3方向上的投影为。

A、1B、2C、4D、6

-►-►1-►

10、已知非零向量满足同=忖=,+目，则(a+b)与(a+]b)夹角的

为.

A、30°B、60°C、90°D、120°

三、解答题

1、已知向量a、b是互相垂直的单位向量，向量c满足c・a=c・b=l,|c

(1)求la+b+c|的值

(2)t为正实数，求|ta+；b+c1的最小值

2、点P为4ABC所在平面上的一点，且PA+PB+PC=AB,求4PAB的面积与4

ABC的比值。

3、m是单位向量，向量a=(1,1),向量b=(1,2-小),若m与a、b所成

的夹角相等，求向量m的坐标。

高中平面向量经典练习题

【答案】

一、填空题

1题：

因为a=(-2,1),所以其|=4，

又b|=2|a=2季

设b(m,n)

贝!!有：m2+n2=20------------------------①

已知b(a-b)=-30

即：ab-b2=-30(因为b?=(2^5)2=20)

所以：ab=-10

即(m,n),(-2,1)=-2m+n=-10

式子变化：n=2m-10----②

将②代入①得，5m2-40m+80=0

m2-8m+16=0

(m-4)2=0

m=4

【特别提示】

只能将m=4代入②，解得n=-2(如果将m=4代入①，n会有两个值)

故：向量b的坐标为(4,-2)

2题：

已知：a=(2,1)则3a=(6,3)--------①

又3a-2b=(4,-1)------②

①式-②式，得：2b=(2,4)

b=(1,2)

所以a•b=(2,1)•(1,2)=4

3题：

解：a=(m,-2),b=(-6,3)

因为a//b

所以：-3m=(-2),(-6),解得m=4

故2=(4,-2)

因为a=(4,-2),b=(-6,3)

2

所以：a=--b

o

22

(3a+4b),(6a-5b)=[3,(--b)+4b]•[6,(--b)-5b]

=2b•(-9b)=-18b2

b2=(Ib|)2=45

所以：(2a+5b)•(4a-4b)=-18・45=-9•2•45=-9•90=-810

4题:

解：已知b=(-1,y/~2),则|b|=q~~§

已知|a|=2

贝!J：a2=(|a|)2=4----------①

b2=(|b|)2=3----------②

|a|•|b|=2yj~3----------③

又(4a-b),(a+b)=4a2+3a,b-b2=22【将①②代入】

4•4+3a•b-3=22

3a•b=9

贝ij：a•b=3----------④

a*b

Cos0=।a|*|b|【将③④代人】

2

0=30°

故，a与b的夹角为30°

5题：

已知，A8=(l,-3),AC=(Z,—2)

―►—►-►

在三角形ABC中，BC=AC-AB

-A

BC=(k-1,1)

—►—►

又NABC=90°,所以，AB±BC

—►—►

AB•BC=0

即:k-l-3=0

k=4

6题：±3

7题：

因为0A-0B=0

所以，0A与0B的夹角为90°,

A

过C点作DC//OB,连接AC并延长交OB于E点。

在三角形OCD中，有0C=OD+DC------①

—►—►-►

已知.OC=mOA+nOB------②

—►—►―►―►

由①、②知，OD=mOADC=nOB

又因为屈=1,|OB|=V3,

所以：|OD=m,|DC|=V3n-------------③

在RT4OCD中，ZD0C=30°

IDCI

故，tan30°=IOD|------------④

把③代入④，3=m

1n

3=iii

m

故：n=3

8题：

解：

任意作两个向量a,b,则行就是a+b,6就是a-b

c

已知M+E|=|：-,也就是平行四边形ABCD的对角线相等,

所以，ABCD是矩形。

又年+山=2|』，即，对角线的长度为一边的2倍，

那么，ZDAB=30°

也就是向量a+E与E的夹角为30°

9题：

解：l-al=V5

（a+b）2=谭+萨2；吊=50,

官=25

得国=5

10题:

解：平面向量之=（4、，2X）-b=（l»------），xGR,

2

若aJ_b，则4X+2X-2=0,解得：2x=b

W=（1，1），E=（1,-1）

Aa-b=（0，-2）,

Ia-b1=2

二、选择题

1题：选A

2题、选D

3题：选B

解：a=(2cos9,1),b=(2sin9,-1)

且a±b

所以:4sin9cos9-1=0

2sin20=1

sin20=—

2

JIJT

因为OVOV—贝I」0<2o<—,cos20为正。

42

所以cos20=——

2

则：tan20='——

3

2tan。V3

而tan20=

1一tan2。V

tan9=2-V3

或tan0=-2-g（0在一象限，其tan为正，故舍去）

4题：C

如图，因为|a|=|b|=|a-b|,

所以，三角形为等边三角形，每一个角为60°

又a+b平分a与b的夹角

故：a与a+b的夹角为30°

b

5题：选A

a=(m,-1),b=(4m2-l,2)

因为a〃b

所以：(-1),(4m2-1)=2m

化简:-4m2+l=2m

即：4m2+2m-l=0-----①

又2a+b=(2m+4m2-l,-2+2)=(0,0)

由①知，此项为0r

所以：2a+b=(0,0)

则：(2a+b)•(a-2b)=0

6题：A

a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4)

那么：Aa+b=(2+1,22)

又因为，(Xa+b)1c

(2+1,22)•(3,4)=0

34+3+8X=0

故，选A

7题：C

解：正五边形内角=(5-2)180°4-5=108°

解：设该正五边形的边长为x,

B=108

在RTZXBDC中,线段DC=BC・cos36°=x・cos36°

所以，线段AC=2DC=2x-cos36°

AB*AC=9.

向量AB,向量AC

COSZDAB=AB•AC(其中：AB=x)

9

cos36°=x*AC

9

所以，x=cos36°*AC--------------②

9

将②代入①中，得：AC=2*COS36°—*AC*cos36°

18

化简：AC二工

即:AC2=18

AC=372

，该正五边形的对角线的长为：372.

8题：A

0),B(3,0),C(0,4)

35

圆心0（9,2）半径r=2

35

-X-\2

X-2J2l

则圆的方程:Zz

2

等式两边同时乘以（5）2

232

[5(x-5)P+EB(y-2)]2=1

23

53

令-/-

5kX-2=cos0化简得，x=5cos6+2

25

5(y-2)=sin6，化简得，y=，sin0+2

535

因为M在圆上，故设M坐标（5cos0+，，］sin0+2）

535

所以，AM=(2COS0+2»，sin0+2)

AB=(3,0)

——g35

那么，AM,AB=(2cos0+2，2sin。+2)•(3,0)

159

=2cos6+2

因为。可以取负数，0,正数

当M点与B点重合时，0=0

Cos0取最大值1,

一一159

则AM・AB最大值=万+2=12

故选A

9题：C

解：(x,2),b=(2,1),彳〃

；.x=2X2=4,

(3,4),

|cl=5,a*c=(4,2)•(3,4)=12+8=20,

...向量W在向量3方向上的投影为

故答案为：4.

10、选A

因为同=W=|£+q,所以三角形ABC为等边三角形，每个角为60。，

D为BC中点，那么，AD±BC,

在三角形ABD中，AD=AB+DB(其中AB=a,BDqb)

f-

所以,AD=a+-b---------------①

又AC=a+b---------------②

由①②知，（a+b）与（a+]b）的夹角就是AD与AC的夹角

而AD与AC的夹角=NDAC=30°

故选A

三、解答题

1、解

【第一问】

因为a、b是单位向量，所以，a2=(|a|)2=1----------①

b2=(|b|)2=1----------②

又a_Lb,所以a・b=O-----------(3)

1c|=<2则c2=(|c|)2=2-------④

c•a=c•b=l----------(5)

令m=a+b+c,等式两边同时平方

m2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac【将①②③④⑤】

m2=l+1+2+0+2*1+2*1

m2=8

故la+b+c=-\l-8=2-\[~2

【第二问】

令n=ta+；b+c等式两边同时平方

n2=t2a2+^-b2+c2+2ab+2^bc+2tac【将①②③④⑤】

12

n2=t2+F+2+0+-+2t------------------(6)

又t为正实数，t2+922dt2./=2------⑦

2/2

-+2t2272t.­=4-------⑧

将⑦⑧代入⑥

n2>2+2+4=8

故：|ta+|b+c|22yl~2

所以，|ta+|b+c|的最小值为2vl

2、

因为在三角形ABP中，PB=PA+AB,

将PA移到等号的左边，得PB-PA=AB--------①

-►-A—►—►

已知PA+PB+PC=AB---------②

两式相减，即①-②得，-2PA-PC=0即：PC=-2PA

【特别提示】

1、如果三个点构成的任意两个向量，他们的比值为一个常量，那么，这三个点

共线。

2、比值常量可以为正，也可以为负，常量可以是有理数，也可以是无理数：例

如比值为2,-2,1\]~2,-yj-2-

3、根据比值的正负，最终排定三个点的先后顺序。

因为，PC=-2PA所以A、C、P三点共线，比值为负，故P在边AC上，且位于

A、C之间。

由上图，PC=-2PA则21Ap|=|PC|三角形ABC被分成两部分，其面积之比1:2

故：4PAB的面积与aABC的比值1:3

3、解：

设m坐标(x,y)

m是单位向量，则|m|=1-----------------①

a=(1,1)则Ia|=yj~2------------------②

b=(1,2-小)则|b|=y/~6-y/2--------③

【过程】|b|2=I2+(2-^3)2=1+(4-4(+3)

=8-4-73=(6+2)-2yfl2

=（m）2-2邓®（镜）2=（m-也）2

那么，

a-m

cos<a•m>=-j---i----i-【将①②】

IaI•|m

a•m_a•m

得,cos<a,m>=72•1=~72④

cos<b•m>=|bm|[将①③]

b•mb•m…

得,cos〈b•m>=77672).1=V2(V3-1)-------------⑤

因为m与a、b所成的夹角相等，

所以④=⑤即寸=j?Il"等式两边同时乘以C(CT)

(^--3-1)•a•m=b-m--------------------(6)

因为m=(x,y),a=(1,1),向量b=(1,2-木)

贝！Ja•m=x+y--------------------------⑦

b•m=x+(2-/)y-----------------(8)

将⑦⑧代入⑥

-1)(x+y)=x+(2-4)y

化简：[-1)-l]x=L(2--Cyl~i-1)]y

(，飞-2)x=(3-2^3)y等式两边同时乘以(仃+2)

得，(3-4)x=(3y~§+6-6-4q飞)y

-x=-