高中数学《单位圆与三角函数线》导学案

第2课时单位圆与三角函数线

I课前自主预习飞

1.有向线段

(1)定义：国带有方向的线段.

(2)表示：用团大写字母表示起点、终点，如有向线段OM,MP.

2.三角函数线

图示

如上图，a终边与单位圆交于P,过P作PM垂

正弦线

直7轴于有向线段⑶MP即为正弦线

余弦线如上图，有向线段国。M即为余弦线

如上图，过(1,0)作7轴的垂线，交a的终边或a

正切线终边的反向延长线于丁，有向线段因AI即为正

切线

鼠］自诊小测

1.判一判(正确的打“，错误的打“义”)

(1)三角函数线的长度等于三角函数值.()

(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负.()

(3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线.()

答案(1)X(2)V(3)X

2.做一做

(1)(教材改编Pi7T3)已知角a的正弦线和余弦线长度相等，且a

的终边在第二象限，则tana=()

A.0B.1C.-1D.3

答案C

解析因正弦线、余弦线长度相等，则|tana|=l.又a在第二象限,

tanoc<0,tana=—1.

(2)角j翔r角十67r有相同的()

A.正弦线B.余弦线

C.正切线D.不能确定

答案C

解析由正切线的定义可知］和自有相同的正切线.

(3)sinl-cosl0(域、"或

答案>

解析因为$14，如图所示.

由三角函数线可得sinl>2>cosl»故sinl—cosl>0.

卜课堂互动探究

探究1作三角函数线

例1作出3普7r的正弦线、余弦线和正切线.

3冗

解角手的终边(如图)与单位圆的交点为P.作PM垂直于％轴,

兀

垂足为过41,0)作单位圆的切线AT,与3手的终边的反向延长线

兀

交于点T,则3学的正弦线为MP,余弦线为。正切线为AT.

［条件探究］将例1中的彳改为一了，作出三个三角函数线.

9兀

解如图，一了的正弦线为MP,余弦线为OM,正切线为AT.

'兴等角的终边

拓展提升

三角函数线的画法

(1)画三角函数线首先确定角的终边位置.

(2)作正弦线、余弦线时，先找到角的终边与单位圆的交点，再过

此交点作％轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线.

(3)作正切线时，应从4(1,0)点引入轴的垂线，交a的终边(a为第

一或第四象限角)或a终边的反向延长线(a为第二或第三象限角)于点

T,即可得到正切线AT.

【跟踪训练1】在单位圆中画出满足sina=；的角a的终边.

解如图作直线了=义交单位圆于P,。，则0P,0。为角a的终

探究2利用三角函数线比较大小

例2利用三角函数线比较下列各组数的大小.

(l)siiry与sin-y；

(2)cos,与cos,；

(3)tan,与tan,.

解如图所示，在单位圆中，画出竽的终边为OR,手的终边为

0P2,过Pl,P2分别作X轴的垂线，垂足为M,M2,反向延长线P10,

2冗4兀

尸2。交经过A(1,O)的单位圆的切线于，，“.则sin^=MPi,siny=

■：MIPI>M2P2,MiPi,M2尸2与y轴正方向相同,

..2兀.4兀

・・sin_y>sin-^".

2冗4TI

又COS^-=OM\,C0S_7_=0M2,

'：OMs<OMi,OM\,OM2在％轴负方向上，

,2K4K

..cos-y^os-^-.

■n2兀，E4兀

又tan亍=ATi,tan-^'=A72,

.「ATI>AT2,ATI,AT2在y轴负方向上，

2兀4K

tan-y<tan_y.

拓展提升

(1)利用三角函数线比较大小的步骤

①角的位置要“对号入座”；

②比较三角函数线的长度；

③确定有向线段的正负.

(2)利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点

①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.

②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方

向.

.57r72兀2瓦n.

【跟踪训练2】设a=sin_y,/?=cos万，c=tan万，贝"a,b,c

的大小顺序排列为.

答案b<a<c

解析由如图的三角函数线知:

.一.、，2兀2兀7T

M\P\=MP<AT,因为吃/->飞O~=74，

所以MP>OM,

匚匕］、)27r.2兀27r

所以cos'y<sin_y<tan-y,

所以b<a<c.

探究3利用三角函数线解不等式或求定义域

例3求下列函数的定义域：

⑴尸地COSX—1;

(2)y=lg(3—4sin2x).

解(1)要使函数有意义，

须使2cosjt—120,

.>1

..cos%3,

如图，

兀兀

.'-xG2kn—2E+Q（攵£Z）.

⑵要使函数有意义，

3

须使3—4sin2x>0,/.sin2x<4.

.一条siM〈当

如下图,

IJI九)

(k^Z),即％£出一手hr+>正Z).

1、巧

例4已知一IWcos。〈彳，利用单位圆中的三角函数线，确定角

。的取值范围.

解图中阴影部分就是满足条件的角。的范围，即

e

［条件探究］将例3(1)改为y=Nl—2cosx,求其定义域.

解V1-2cosx^0,.*.cos%<g,如图：

2E+,,2%兀+竽(%£Z).

拓展提升

用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下三

(1)先找到“正值”区间，即0〜2兀之间满足条件的角。的范围,

然后再加上周期；

(2)注意区间是开区间还是闭区间；

(3)解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立

的角的范围，取其公共部分.

【跟踪训练3](1)利用三角函数线求满足tana2竽的角a的

范围；

(2)求下列函数的定义域：

①y=N2siar+1；

②y=lg(6—2siar).

解(1)如图，过点A(1,O)作单位圆。的切线，在切线上沿y轴正

方向取一点T,使47=为~,过点O,T作直线，

则当角a的终边落在阴影区域内(包含所作直线，不包含y轴)时，

tana2步.由三角函数线可知，在[0。,360。)内，tana2乎,有3(TWa<90。

或210。<a<270°，故满足tana2半，有k180。+30。Wa<^180°+90°,

kRZ.

(2)①要使四2sinx+l有意义,

则必须满足2sirLx+l20,即sinx2一

结合三角函数线(如图所示)知％的取值范围是

一专+2攵兀，春+2瓦（攵金Z）.

、历

②由啦一2sinX>0,得5加<半，如图.

37r,7t

2k,7t—~^<x<2kn+^（kZ）.

故函数的定义域为（2E一第2E+部正Z）.

（-----------------------------------1涕堂提升।---------------------

1.理解三角函数线应注意的四点

（1）位置；（2）方向；（3）正负；（4）书写.

2.三角函数线的画法

定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出

了角a的三角函数线的画法，即先找到P,M,T点，再画出MP,

OM,AT.

注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺

序不能颠倒.

3.利用三角函数线求函数的定义域

解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角a的

三角函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围.在这

个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结

合的思想.

特别地，当角a的终边落在％轴上时，M与P重合，A与7重

合，这时正弦线和正切线都变成一个点；当角a的终边落在y轴上

时，M与。重合，这时余弦线变成一个点，过点A的切线与角a的

终边所在直线不会相交，这时，正切线不存在.

卜课堂达标自测

1.如图，在单位圆中角a的正弦线'正切线完全正确的是（）

A.正弦线PM,正切线A'T

B.正弦线MP,正切线4V

C.正弦线MP,正切线AT

D.正弦线PM,正切线AT

答案C

解析正弦线由垂足指向a的终边与单位圆的交点；正切线由切

点A指向切线与a的终边（或其反向延长线）的交点.

2.下列各式正确的是（）

A.C1.兀

A.sinl>sin^B.sinKsin^

兀71

C.sinl=sin2D.sinl'sin;

答案B

解析1和三的终边均在第一象限，且全的正弦线大于1的正弦线,

贝ijsinl<sin^.

3.若同竽，yj,则sin。的取值范围是

答案（-1,.

解析由图可知sin智乎，

则一IvsinOv^-,

故sin。的取值范围是一1,

4.sing,cosMta病从小到大的顺序是

Zr/v6瓦.2兀2兀

合荣cos-^_<sin_^_<tan^_

解析由图可知:

*/\MP\<\AT],sin5(tair^-.

,,6TI.27r27T

故cos"^_<sin_^_<tan_^_.

5.已知sirw>—且COSJD；,利用三角函数线写出满足条件的

角x的集合.

解由图知，当sinx>—；,且cos%>；时，角x的集合为

兀兀

'x——T-!-2^7I<X<T+2kji,Z(.

。5

l课后课时精练、

A级：基础巩固练

一'选择题

1.下列三个命题：

晚与普的正弦线相等；②捐等的正切线相等；③精争的余弦

oO5544

线相等.

其中正确命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.0

答案B

解析根据三角函数线定义可知，号知的正弦线相等，匏号的

正切线相等，;与手的余弦线相反.

11JT

2.已知皆的正弦线为MP,正切线为AT,则有（）

A.MP与AT的方向相同B.\MP\=\AT\

C.MP>0,AT<0D.MP<0,ATX）

答案A

解析三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的.MP=

,117T八—117T八

sirr^-vO,AT=tan-^_<0.

3.利用正弦线比较sinLsinl.2,sinl.5的大小关系是（）

A.sinl>sinl.2>sinl.5

B.sinl>sinl.5>sinl.2

C.sinl.5>sinl.2>sinl

D.sinl.2>sinl>sinl.5

答案C

解析,.,1,L2,L5均在（0,习内，正弦线在（0,习内随a的增大而

逐渐增大，/•sin1.5>sin1.2>sin1.

4.使sinxWcos%成立的％的一个变化区间是（）

37r兀7171

/2.

r7i3加］

C.一牙~4D.［0,兀］

答案A

解析根据三角函数线易判断图中阴影部分即为所求.

5.若枭否则下列不等式正确的是（）

A.sina>cos«>tan«B.cosa>tana>sina

C.sin（x>tana>cosaD.tanfx>sin«>cos«

答案D

解析如图所示，可知AT>MP>OM,即tana>sina>cosa.

二、填空题

6.若角a的余弦线长度为0,则它的正弦线的长度为.

答案1

解析若角a的余弦线长度为0,则终边与y轴重合，此时正弦

线的长度为1.

7.在［―兀，兀］上，满足sinxW；的％的取值范围是.

答案［一兀，71

7TSTTiI

解析如图所示，由于siW=sin詈=热所以满足sinxW的》的

ooZ2

4K兀571

解为一兀，d］u［w，7T.

8.已知点尸(tana,sina-cosa)在第一象限，且0>aW2兀,则角

a的取值范围是.

答案住如卜T)

tana>0,①

解析...点尸在第一象限，....八令