广东省省际名校2024届数学高一下期末综合测试试题含解析

广东省省际名校2024届数学高一下期末综合测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．经过原点且倾斜角为的直线被圆C:截得的弦长是，则圆在轴下方部分与轴围成的图形的面积等于（）A． B． C． D．2．sincos＋cos20°sin40°的值等于A． B． C． D．3．如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（）A．，且直线是相交直线B．，且直线是相交直线C．，且直线是异面直线D．，且直线是异面直线4．从总数为的一批零件中抽取一个容量为的样本，若每个零件被抽取的可能性为，则为（）A． B． C． D．5．如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是()A．32π-3 B．34π-236．已知向量，，，则实数的值为()A． B． C．2 D．37．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（）A． B． C． D．8．已知为第Ⅱ象限角，则的值为（）A． B． C． D．9．若是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是()A． B． C． D．10．在中，若，且，则的形状为()A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．正三角形或直角三角形 D．正三角形二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图，为了测量树木的高度，在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，若米，则树高为______米.12．已知x，y满足，则的最大值为________.13．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是____________.14．若，则_________.15．在中，角A，B，C的对边分别为，若,则此三角形的最大内角的度数等于________．16．已知一个铁球的体积为，则该铁球的表面积为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式；（2）数列满足，（），求数列的通项公式.18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．（1）求A；（2）求面积的最大值.19．无穷数列满足：为正整数，且对任意正整数，为前项、、、中等于的项的个数.（1）若，求和的值；（2）已知命题存在正整数，使得，判断命题的真假并说明理由；（3）若对任意正整数，都有恒成立，求的值.20．如图，在中，，角的平分线交于点，设，其中．（1）求；（2）若，求的长．21．我市某商场销售小饰品，已知小饰品的进价是每件3元，且日均销售量件与销售单价元可以用这一函数模型近似刻画.当销售单价为4元时，日均销售量为400件，当销售单价为8元时，日均销售量为240件.试求出该小饰品的日均销售利润的最大值及此时的销售单价.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

由已知利用垂径定理求得，得到圆的半径，画出图形，由扇形面积减去三角形面积求解．【题目详解】解：直线方程为，圆的圆心坐标为，半径为．圆心到直线的距离．则，解得．圆的圆心坐标为，半径为1．如图，，则，．，，圆在轴下方部分与轴围成的图形的面积等于．故选：．【题目点拨】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查扇形面积的求法，考查计算能力，属于中档题．2、B【解题分析】由题可得，.故选B.3、B【解题分析】

利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．【题目详解】如图所示，作于，连接，过作于．连，平面平面．平面，平面，平面，与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，．，故选B．【题目点拨】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角性．4、A【解题分析】

由样本容量、总容量以及个体入样可能性三者之间的关系，列等式求出的值.【题目详解】由题意可得，解得，故选A.【题目点拨】本题考查抽样概念的理解，了解样本容量、总体容量以及个体入样可能性三者之间的关系是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.5、D【解题分析】

求出以A为圆心，以边长为半径，圆心角为∠BAC的扇形的面积，根据图形的性质，可知它的3倍减去2倍的等边三角形ABC【题目详解】设等边三角形ABC的边长为a，设以A为圆心，以边长为半径，圆心角为∠BAC的扇形的面积为S1，则S1=莱洛三角形面积为S，则S=3S在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率为P,P=S【题目点拨】本题考查了几何概型.解决本题的关键是正确求出莱洛三角形的面积.考查了运算能力.6、A【解题分析】

将向量的坐标代入中，利用坐标相等，即可得答案.【题目详解】∵，∴.故选：A.【题目点拨】本题考查向量相等的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.7、B【解题分析】

利用古典概型概率公式求解即可.【题目详解】设三件正品分别记为，一件次品记为则从三件正品、一件次品中随机取出两件，取出的产品可能为，共6种情况，其中取出的产品全是正品的有3种所以产品全是正品的概率故选：B【题目点拨】本题主要考查了利用古典概型概率公式计算概率，属于基础题.8、B【解题分析】

首先由，解出，求出，再利用二倍角公式以及所在位置，即可求出．【题目详解】因为，所以或，又为第Ⅱ象限角，故，．因为为第Ⅱ象限角即，所以，，即为第Ⅰ，Ⅲ象限角．由于，解得，故选B．【题目点拨】本题主要考查二倍角公式的应用以及象限角的集合应用．9、C【解题分析】

根据等差数列的定义，只需任意相邻的后一项与前一项的差为定值即可．【题目详解】A:=（an+an+1）（an+1﹣an）=d[2a1+（2n﹣1）d]，与n有关系，因此不是等差数列．B:==与n有关系，因此不是等差数列.C:3an+1﹣3an=3（an+1﹣an）=3d为常数，仍然为等差数列；D:当数列{an}的首项为正数、公差为负数时，{|an|}不是等差数列；故选：C【题目点拨】本题考查了等差数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10、D【解题分析】

由两角和的正切公式求得，从而得，由二倍角公式求得，再求得，注意检验符合题意，可判断三角形形状．【题目详解】，∴，∴，由，即.∴或.当时，，无意义.当时，，此时为正三角形.故选：D.【题目点拨】本题考查三角形形状的判断，考查两角和的正切公式和二倍角公式，根据三角公式求出角是解题的基本方法．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

先计算，再计算【题目详解】在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为则在中，故答案为【题目点拨】本题考查了三角函数的应用，也可以用正余弦定理解答.12、6【解题分析】

作出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可得到答案.【题目详解】由题意，作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，因为目标函数，可化为直线，当直线过点A时，此时目标函数在轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为.故答案为：6.【题目点拨】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．13、【解题分析】试题分析：因为不等式有解，所以，因为，且，所以，当且仅当，即时，等号是成立的，所以，所以，即，解得或.考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值.【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题，在应用基本不等式求解最值时，呀注意“一正、二定、三相等”的判断，运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值，对于不等式的有解问题一般选用参数分离法，转化为函数的最值或借助数形结合法求解，属于中档试题.14、【解题分析】

利用诱导公式求解即可【题目详解】，故答案为：【题目点拨】本题考查诱导公式，是基础题15、【解题分析】

根据大角对大边，利用余弦定理直接计算得到答案.【题目详解】在中，角A，B，C的对边分别为，若不妨设三边分别为：3,5,7根据大角对大边：角C最大故答案为【题目点拨】本题考查了余弦定理，属于简单题.16、.【解题分析】

通过球的体积求出球的半径，然后求出球的表面积.【题目详解】球的体积为球的半径球的表面积为：故答案为：【题目点拨】本题考查球的表面积与体积的求法，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】

（1）利用求出数列的通项公式；（2）利用累加法求数列的通项公式；【题目详解】解：（1）①当时，即当时，②①减②得经检验时，成立故（2）（）……将上述式相加可得【题目点拨】本题考查作差法求数列的通项公式以及累加法求数列的通项公式，属于基础题.18、（1）；（2）【解题分析】

（1）由题目条件a=1，可以将（1+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC中的1换成a，达到齐次化的目的，再用正余弦定理解决；（2）已知∠A，要求△ABC的面积，可用公式，因此把问题转化为求bc的最大值．【题目详解】（1）因为（1+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，由正弦定理得：（1+b）（a-b）=（c-b）c∴（a+b）（a-b）=（c-b）c，得b2+c2-a2=bc由余弦定理得：，所以．（2）因为b2+c2-a2=bc，所以bc=b2+c2-1≥2bc-1，可得bc≤1；所以，当且仅当b=c=1时，取等号．∴面积的最大值.【题目点拨】本题考查正弦定理解三角形及面积问题，解决三角形面积最值问题常常结合均值不等式求解，属于中等题.19、（1），；（2）真命题，证明见解析；（3）.【解题分析】

（1）根据题意直接写出、、的值，可得出结果；（2）分和两种情况讨论，找出使得等式成立的正整数，可得知命题为真命题；（3）先证明出“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件，由此可得出，然后利用定义得出，由此可得出的值.【题目详解】（1）根据题意知，对任意正整数，为前项、、、中等于的项的个数，因此，，，；（2）真命题，证明如下：①当时，则，，，此时，当时，；②当时，设，则，，，此时，当时，.综上所述，命题为真命题；（3）先证明：“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件.假设存在，使得“存在，当时，恒有成立”.则数列的前项为，，，，，，后面的项顺次为，，，，故对任意的，，对任意的，取，其中表示不超过的最大整数，则，令，则，此时，有，这与矛盾，故若存在，当时，恒有成立，必有；从而得证.另外：当时，数列为，故，则.【题目点拨】本题考查数列知识的应用，涉及到命题真假的判断，同时也考查了数列新定义问题，解题时要充分从题中数列的定义出发，充分利用分类讨论思想，综合性强，属于难题.20、（1）；（2）5.【解题分析】

（1）根据求出和的值，利用角平分线和二倍角公式求出，即可求出；（2）根据正弦定理求出，的关系，利用向量的夹角公式求出，可得，正弦定理可得答案【题目详解】解：（1）由，且，，，，则；（2）由正弦定理，得，即，，又，，由