第3章 圆的基本性质 浙教版数学九年级上册单元能力提升卷(含解析)

浙教版数学九上第三章《圆的基本性质》单元能力提升卷选择题（共30分）1.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，连接OD、CB、AC，∠DOB＝60°，EB＝2，那么CD的长为（）A．3 B．23 C．33 D2．如图，若干全等正五边形排成形状，图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需这样的正五边形（）A．6个 B．7个 C．9个 D．10个3．如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠OCD的度数是（）A．20° B．25° C．30° D．40°4.扇子最早称“翣”，在我国已有两千多年历史．“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子．如图，一竹扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，扇面BD的长为，则扇面面积为（

）cm2

A． B． C． D．5.如图，已知圆的内接正六边形的半径为2，则扇形的面积是（

）A． B． C． D．6.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在AB上，则∠BPC的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC=30°，则∠BOC的度数为（）．A．30° B．40° C．50° D．60°8．如图，六位朋友均匀的围坐在圆桌旁聚会．圆桌的半径为80cm，每人离桌边10cm，又后来两位客人，每人向后挪动了相同距离并左右调整位置，使8个人都坐下，每相邻两人之间的距离与原来相邻两人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为xcm．则根据题意，可列方程为（）A．60π(80+10)180=45π(80+10+x)C．2π（80+10）×8=2π（80+x）×10D．2π（80﹣x）×10=2π（80+x）×89.如图，在半径为3的⊙O中，B是劣弧AC的中点，连接AB并延长到D，使BD＝AB，连接AC、BC、CD，如果AB＝2，那么CD等于（）A．2 B．1 C．23 D．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上.记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则S1S2A．5π2 B．3π C．5π D．填空题（共24分）11.已知扇形的弧长为π，半径为1，则该扇形的面积为12.如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2:4:7，则∠D=.13.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4．将△ABC绕点B逆时针旋转45°，得△A′BC′，则阴影部分的面积为．14.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F=80°，则∠A=°．15．如图，ΔABC内接于⊙O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为.16.如图,在⊙O中,C是弦AB上的点,AC=2,CB=8.连接OC,过点C作DC⊥OC,与⊙O交于点D,DC的长为.三‘解答题（共66分）17.（6分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB=12，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD.（1）求证:∠BAD=∠CBD；（2）若∠AEB=125°，求BD的长.18．（8分）如图,在⊙O中,点C是优弧ACB的中点,D、E分别是OA、OB上的点,且AD=BE,弦CM、CN分别过点D、E.（1）求证：CD=CE.（2）求证：AM=BN.19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E是CA延长线上的一点，连结DE交⊙O于点F，连结（1）若BD的度数是40°，求∠AFC的度数；（2）求证：AF平分∠CFE；（3）若AB=5，CD=4，CF经过圆心，求20.（10分）如图，点D是△ABC的外接圆⊙O上一点，且AD=BC=12AmB，连接BD（1）求证AC=BD；（2）若BD平分∠ABC，BC=1，求BD的长；（3）已知圆心O在△ABC内部（不包括边上），⊙O的半径为5．①若AB=8，求△ABC的面积；②设BDBE=x，BC·AC=y，求y关于x的函数关系式，并求出y21．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AD上存在点E，满足AE=CD，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD（1）若∠DBC=α，请用含α的代数式表列∠AGB.（2）如图2，连结CE,CE=BG.求证；EF=DG.（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，AG=2.①若tan∠ADB=32，求△FGD②求CG的最小值.22.（12分）已知钝角三角形ABC内接于⊙O，E、D分别为AC、（1）如图1，当点A、D、О在同一条直线上时，求证：（2）如图2，当A、D、О不在同一条直线上时，取AO的中点F，连接FD交AC于点G，当①求证：△DEG是等腰三角形；②如图3，连OD并延长交⊙O于点H，连接AH.求证：AH//FG.23.（12分）．如图，已知△ABC内接于⊙O，点D是BC的中点，连接OD，交BC于点E.如图1，当圆心O在AB边上时，求证：OD∥AC；（2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD和CD，若∠BAC＝36°，AC的度数是88°，求∠ACD的度数；如图3，当圆心O在△ABC内部时，连接BD和CD，若∠ABC＝45°，DE＝2，BC＝43，求四边形ACDB的面积.浙教版数学九上第三章《圆的基本性质》单元能力提升答案卷选择题（共30分）1.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，连接OD、CB、AC，∠DOB＝60°，EB＝2，那么CD的长为（）A．3 B．23 C．33 D【答案】D【解析】∵AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，∴CD=2CE，∵∠DOB＝60°，∴∠BCD=1∵EB＝2，∴BC=2BE=4，∴CE=B∴CD=2CE=43故答案为：D．

2．如图，若干全等正五边形排成形状，图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需这样的正五边形（）A．6个 B．7个 C．9个 D．10个【答案】B【解析】∵多边形是正五边形，∴正五边形的每个内角为(5-2)×180∘∴∠O=360°-3×108°=36°，∵围成一圈，O处的周角为360°，∴共需要正五边形的个数为：360°÷36°=10个，故还需要10-3=7个，故答案为：B．3．如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠OCD的度数是（）A．20° B．25° C．30° D．40°【答案】B【解析】∵OA=OC，BO⊥AC，∠AOC＝100°，∴∠BOC＝12∠AOC＝50°∴∠BDC＝12∠BOC＝25°∵OC=OB，∴∠OCD=∠ODC=25°，故答案为：B.4.扇子最早称“翣”，在我国已有两千多年历史．“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子．如图，一竹扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，扇面BD的长为，则扇面面积为（

）cm2

A． B． C． D．【答案】C5.如图，已知圆的内接正六边形的半径为2，则扇形的面积是（

）A． B． C． D．【答案】A6.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在AB上，则∠BPC的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】B【解析】连接OB、OC，如图，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴BC所对的圆心角为90°，∴∠BOC＝90°，∴∠BPC＝12∠BOC＝故答案为：B.7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC=30°，则∠BOC的度数为（）．A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】D【解析】如图，∵∠ADC=30°，∴∠AOC=2∠ADC=60°．∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，∴AC=BC∴∠AOC=∠BOC=60°．故答案为：D．8．如图，六位朋友均匀的围坐在圆桌旁聚会．圆桌的半径为80cm，每人离桌边10cm，又后来两位客人，每人向后挪动了相同距离并左右调整位置，使8个人都坐下，每相邻两人之间的距离与原来相邻两人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为xcm．则根据题意，可列方程为（）A．60π(80+10)180=45π(80+10+x)C．2π（80+10）×8=2π（80+x）×10D．2π（80﹣x）×10=2π（80+x）×8【答案】A【解析】设每人向后挪动的距离为xcm，应首先明确弧长公式：l=nπr180六位朋友每相邻两人之间的弧长所对的圆心角度数为60°，半径为（80+10）cm，即l=60π(80+10)180八位朋友每相邻两人之间的弧长所对的圆心角度数为45°，半径为80+10+x，即l=45π(80+10+x)180根据距离相等可列方程为60π(80+10)180=故答案为：A9.如图，在半径为3的⊙O中，B是劣弧AC的中点，连接AB并延长到D，使BD＝AB，连接AC、BC、CD，如果AB＝2，那么CD等于（）A．2 B．1 C．23 D．【答案】D【解析】连接OB，OA，

∵点B是AC⏜的中点，

∴OB垂直平分AC，

∴∠AEO=∠AEB=90°，

∴OA2-OE2=AE2，AB2-BE2=AE2.

∴OA2-OE2=AB2-BE2，

∴32-（3-BE）2=22-BE2，

解之：BE=23

∵点B是AD的中点，点E是AC的中点，

∴BE是△ADC的中位线，

∴CD=2BE=43.

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上.记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则S1S2A．5π2 B．3π C．5π D．【答案】C【解析】如图，取AB的中点为O，AC的中点为D，连接OE，OG，OD，OC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则a2+b2＝c2，①取AB的中点为O，∵△ABC是直角三角形，∴OA＝OB＝OC，∵圆心在MN和HG的垂直平分线上，∴O为圆心，作OD⊥AC，则OG，OE为半径，由勾股定理得：r2=(a+由①②得a＝b，∴a2=(∴S1=54πc2∴S1故答案为：C.填空题（共24分）11.已知扇形的弧长为π，半径为1，则该扇形的面积为【答案】π【解析】根据扇形的面积公式：S=12lr扇形的面积为1故答案为：π12.如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2:4:7，则∠D=.【答案】100°【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B+∠D=∠A+∠C=180°，∵∠A、∠B、∠C的度数之比为2：4：7，∴∠A=180°×29=40°，∠C=180°×79∠B=180°×49=80°∴∠D=180°﹣80°=100°，故答案为：100°.13.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4．将△ABC绕点B逆时针旋转45°，得△A′BC′，则阴影部分的面积为．【答案】2π【解析】在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，由勾股定理得：BC=42∴阴影部分的面积S=△A′BC′的面积+扇形C′BC的面积-扇形A′BA的面积-△ABC的面积=12×4×4+故答案为：2π．14.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F=80°，则∠A=°．【答案】50【解析】连结EF，如图，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，而∠BCD=∠ECF，∴∠A+∠ECF=180°，∵∠ECF+∠1+∠2=180°，∴∠1+∠2=∠A，∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°，即∠A+∠AEB+∠1+∠2+∠AFD=180°，∴∠A+80°+∠A=180°，∴∠A=50°．故答案为：50．15．如图，ΔABC内接于⊙O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为.【答案】2【解析】连接OA，OC，∵∠COA=2∠CBA=90°，∴在Rt△AOC中，AC=OA2∵CD⊥AB，∴在Rt△ACD中，CD=AC·sin∠CAD=22×故答案为：2.16.如图,在⊙O中,C是弦AB上的点,AC=2,CB=8.连接OC,过点C作DC⊥OC,与⊙O交于点D,DC的长为.【答案】4【解析】（相似法）延长DC交⊙O于点E，连接AD、BE，∵OC⊥DE，∴DC=CE，∵∠D=∠B，∠ACD=∠ECB∴△ADC∽△EBC∴AC∵AC•CB=DC•CE∴DC2=2×8=16，∵DC>0，∴DC=4（勾股定理）过点O作OE⊥AB于E，延长DC交⊙O于点F，由垂径定理与勾股定理得：OC2+CD2=OD2,①OE2+BE2=OB2,②CE2+OE2=OC2③有①②得：OC2+CD2=OE2+BE2代入③得：CE2+OE2+CD2=OE2+BE2有垂径定理得：CE=3,BE=5∴DC=4故答案为：4.三‘解答题（共66分）17.（6分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB=12，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD.（1）求证:∠BAD=∠CBD；（2）若∠AEB=125°，求BD的长.【答案】（1）证明:∵AD平分∠BAC.∴∠CAD=∠BAD又∠CBD=∠CAD∴∠BAD=∠CBD（2）解:连结OD∵∠AEB=125°∴∠AEC=55°∵AB是直径∴∠ACE=90°∴∠CAE=35°，∠DAB=35°，∴∠DOB=2∠BAD=70°∴BD18．（8分）如图,在⊙O中,点C是优弧ACB的中点,D、E分别是OA、OB上的点,且AD=BE,弦CM、CN分别过点D、E.（1）求证：CD=CE.（2）求证：AM=BN.【答案】（1）解：连结CO,∵在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，∴∠AOC=∠BOC，∵AD=BE，OA=OB，∴OD=OE，在△COD和△COE中，OC=OC∴△COD≌△COE(SAS)，∴CD=CE.（2）解：分别连结OM,ON,过点O作OG⊥CM,OH⊥CN,易证△COG≌△COH(SAS)，得到CG=CH,根据垂径定理得到CM=CN,CD=CE.∴DM=EN,∵△COD≌△COE.∴∠ODC=∠OEC,∴∠ODM=∠OEN,又OD=OE，∴△DOM≌△EON(SAS)，∠AOM=∠BON，AM=BN19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E是CA延长线上的一点，连结DE交⊙O于点F，连结（1）若BD的度数是40°，求∠AFC的度数；（2）求证：AF平分∠CFE；（3）若AB=5，CD=4，CF经过圆心，求【答案】（1）解：如图1中，连接OD，AD，设AB交CD于H.∵BD的度数是40°，∴∠BOD=40°，∴∠DAB=12∠DOB=20°∵AB⊥CD，∴∠AHD=90°，∴∠ADH=90°-∠DAB=70°，∴∠AFC=∠ADH=70°.（2）证明：∵AB是直径，AB⊥CD，∴AC∴∠ACD=∠ADC，∵∠ACD+∠AFD=180°，∠AFD+∠AFE=180°，∴∠AFE=∠ACD，∵∠AFC=∠ADC=∠ACD，∴∠AFC=∠AFE，即AF平分∠CFE.（3）如图2中，设AB交CD于H.∵AB是直径，AB⊥CD，CD=4∴CH=DH=2，∵OC=12CF=12AB=5∴OH=OC∴HA=OH+OA=4，∴AC=CH∵CF是直径，∴∠CDF=∠AHC=90°，∴AH∥DE，∵CH=HD，∴AC=AE，∴CE=2AC=4520.（10分）如图，点D是△ABC的外接圆⊙O上一点，且AD=BC=12AmB，连接BD（1）求证AC=BD；（2）若BD平分∠ABC，BC=1，求BD的长；（3）已知圆心O在△ABC内部（不包括边上），⊙O的半径为5．①若AB=8，求△ABC的面积；②设BDBE=x，BC·AC=y，求y关于x的函数关系式，并求出y【答案】（1）证明：∵AD=BC∴AD⌢∴DAB=∴AC=BD.（2）解：∵AD=BC=12AmB，

∴∠ABD=∠BAC=12∠ACB，

又∵∠BEC=∠ABD+∠BAC，

∴∠BEC=∠BCE，

∴BC=BE=AE=1，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴△CBE∽△CAB，

∴BC2=CE·AC，

设AC=BD=x，则CE=x-1，

∴12整理，解得：x=1-52（舍去）或1+52，

（3）解：如图，连接OA，OB，过点O作OF⊥AB于点F，过点B作BG⊥AC于点G，

∴∠AFO=∠BGC=90°，

∵OA=OB=5，

∴AF=BF=12AB=4，∠AOF=12∠AOB，

又∵∠C=12∠AOB，

∴∠AOF=∠C，

①∴△AFO∽△BGC，

∴CG：BG：BC=3：4：5，

设CG=3x，BG=4x，BC=5x，

由（2）可知：BE=AE=BC=5x，

∴EG=CG=3x，

∴AG=8x，

在Rt△AGB中，AB2=BG2+AG2，

∴64=16x2+64x2，

解得：x=255或x=-255（舍去），

∴BG=855，AC=AG+GC=11x=2255，

∴S△ABC=12AC·BG=12×2255×855=885；

②由①可知：BE=AE=BC，

设BE=AE=BC=a，

∵BDBE=x，

∴AC=BD=ax，

∴CG=EG=ax-a2，AG=ax+a2，

∵BC·AC=y，

∴y=a2x，

∵BG2=AB2-AG2=BC2-CG2，即AB2-（ax+a2）2=a2-（ax-a2）2，

∴AB2=a2（x+1），

∴AF=a2（x+1）4，

由①可知：△AFO∽△BGC，

∴OF=5（x-1）2，

在Rt△AFO中，OA2=25=AF2+OF2，即25=a2（x+1）4+25（x-1）24，

整理，得：a2=-25（x-3），

∴y=-25x（x-3）=-25（x2-3x）=-25（x-32）2+2254，

当圆心O在AB边上时，点C、D21．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AD上存在点E，满足AE=CD，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD（1）若∠DBC=α，请用含α的代数式表列∠AGB.（2）如图2，连结CE,CE=BG.求证；EF=DG.（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，AG=2.①若tan∠ADB=32，求△FGD②求CG的最小值.【答案】（1）解：∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∵AE=CD∴∠ABG=∠DBC=α，∴∠AGB=90°-α（2）解：∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴∠BEC=∠BDC=90°-α，∴∠BEC=∠AGB，∵∠CEF=180°-∠BEC,∠BGD=180°-∠AGB，∴∠CEF=∠BGD.又∵CE=BG,∠ECF=∠GBD，∴△CFE≌△BDG(ASA)，∴EF=DG（3）解：①如图，连结DE.∵BD为⊙O的直径，∴∠A=∠BED=90°.在Rt△ABD中，tan∠ADB=32，∴AB=3∵AE=CD∴AE+DE即DA=CE∴AD=CE.∵CE=BG，∴BG=AD=2.∵在Rt△ABG中，sin∠AGB=AB∴∠AGB=60°,AG=12∴EF=DG=AD-AG=1.∵在Rt△DEG中，∠EGD=60°，∴EG=1在Rt△FED中，DF=EF∴FG+DG+DF=5+7∴△FGD的周长为5+7②如图，过点C作CH⊥BF于H.∵△BDG≌△CFE，∴BD=CF,∠CFH=∠BDA.∵∠BAD=∠CHF=90°，∴△BAD≌△CHF(AAS).∴FH=AD，∵AD=BG，∴FH=BG.∵∠BCF=90°，∴∠BCH+∠HCF=90°.∵∠BCH+∠HBC=90°，∴∠HCF=∠HBC，∵∠BHC=∠CHF=90°，∴△BHC∽△CHF，∴BHCH设GH=x，∴BH=2-x，∴CH在Rt△GHC中，CG2∴CG2当x=1时，CG2的最小值为∴CG的最小值为322.（12分）已知钝角三角形ABC内接于⊙O，E、D分别为AC、（1）如图1，当点A、D、О在同一条直线上时，求证：（2）如图2，当A、D、О不在同一条直线上时，取AO的中点F，连接FD交AC于点G，当①求证：△DEG是等腰三角形；②如图3，连OD并延长交⊙O于点H，连接AH.求证：AH//FG.【答案】（1）证明：∵D是BC中点，点A、D、∴OD⊥BC，∴AB=AC，∵E、D分别为AC∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12AB∴DE=12AC（2）①∵E、D分别为AC、∴AB=2DE，AC=2AE，∵AB+AC=2AG，∴2AE+2DE=2AG，∴AE+DE=AG，∵AE+EG=AG，