湖南省两校联考2024届数学高一第二学期期末教学质量检测试题含解析

湖南省两校联考2024届数学高一第二学期期末教学质量检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若向量，且，则等于（）A． B． C． D．2．设，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．在中，，，则的外接圆半径为（）A．1 B．2 C． D．4．已知，若关于x的不等式的解集为，则（）A． B． C．1 D．75．将函数的图象上各点沿轴向右平移个单位长度，所得函数图象的一个对称中心为（）A． B． C． D．6．已知，且，则实数的值为（）A．2 B． C．3 D．7．从1，2，3，…，9这个9个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是5的概率等于（）A．57 B．59 C．28．若a=(3,2)，bA．（3，－4） B．（－3，4） C．（3，4） D．（－3，－4）9．已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．10．已知中，，，，则BC边上的中线AM的长度为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．数列的前项和为，，，则________．12．已知，是夹角为的两个单位向量，向量，，若，则实数的值为________.13．的值域是______.14．已知函数，则______.15．数列中，其前n项和,则的通项公式为______________..16．函数的值域为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设函数和都是定义在集合上的函数，对于任意的，都有成立，称函数与在上互为“互换函数”．（1）函数与在上互为“互换函数”，求集合；（2）若函数（且）与在集合上互为“互换函数”，求证：；（3）函数与在集合且上互为“互换函数”，当时,，且在上是偶函数,求函数在集合上的解析式．18．已知数列中，，点在直线上，其中.（1）令，求证数列是等比数列；（2）求数列的通项；（3）设、分别为数列、的前项和是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出，若不存在，则说明理由.19．已知向量，且（1）当时，求及的值；（2）若函数的最小值是，求实数的值.20．2019年4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，按阅读时间分组：第一组[0,5),第二组[5,10)，第三组[10,15)，第四组[15,20)，第五组[20,25]，绘制了频率分布直方图如下图所示．已知第三组的频数是第五组频数的3倍．（1）求的值，并根据频率分布直方图估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；（2）现从第三、四、五这3组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”．经过比赛后，从这6人中随机挑选2人组成该校代表队，求这2人来自不同组别的概率．21．如图，中，，角的平分线长为1．(1)求；(2)求边的长．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

根据坐标形式下向量的平行对应的等量关系，即可计算出的值，再根据坐标形式下向量的加法即可求解出的坐标表示.【题目详解】因为且，所以，所以，所以.故选：B.【题目点拨】本题考查根据坐标形式下向量的平行求解参数以及向量加法的坐标运算，难度较易.已知，若则有.2、B【解题分析】

由同向不等式的可加性求解即可.【题目详解】解：因为，所以，又，，所以，故选：B.【题目点拨】本题考查了不等式的性质，属基础题.3、A【解题分析】

由同角三角函数关系式,先求得.再结合正弦定理即可求得的外接圆半径.【题目详解】中,由同角三角函数关系式可得由正弦定理可得所以,即的外接圆半径为1故选:A【题目点拨】本题考查了同角三角函数关系式的应用,正弦定理求三角形外接圆半径,属于基础题.4、B【解题分析】

由韦达定理列方程求出，即可得解．【题目详解】由已知及韦达定理可得，，，即，，所以．故选：．【题目点拨】本题考查一元二次方程和一元二次不等式的关系、韦达定理的应用等，属于一般基础题．5、A【解题分析】

先求得图象变换后的解析式，再根据正弦函数对称中心，求出正确选项.【题目详解】向右平移的单位长度，得到，由解得，当时，对称中心为，故选A.【题目点拨】本小题主要考查三角函数图象变换，考查三角函数对称中心的求法，属于基础题.6、D【解题分析】

根据二角和与差的正弦公式化简，，再切化弦，即可求解.【题目详解】由题意又解得故选：【题目点拨】本题考查两角和与差的正弦公式，属于基础题.7、C【解题分析】试题分析：设事件为“从1，2，3，…，9这9个数中5个数的中位数是5”，则基本事件总数为种，事件所包含的基本事件的总数为：，所以由古典概型的计算公式知，，故应选.考点：1.古典概型；8、D【解题分析】

直接利用向量的坐标运算法则化简求解即可．【题目详解】解：向量a=（3，2），b则向量2b-故选D．【题目点拨】本题考查向量的坐标运算，考查计算能力．9、A【解题分析】

首先设，将题意转化为，即可，再分类讨论求出，解不等式组即可.【题目详解】，恒成立，等价于，恒成立.令，对称轴为.即等价于，即可.当时，得到，解得：.当时，得到，解得：.当时，得到，解得：.综上所述：.故选：A【题目点拨】本题主要考查二次不等式的恒成立问题，同时考查了二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键，属于中档题.10、A【解题分析】

利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，求的长．【题目详解】延长至，使，连接、，如图所示；由题意知四边形是平行四边形，且满足，即，解得，所以边上的中线的长度为．故选：A．【题目点拨】本题考查平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、18【解题分析】

利用，化简得到数列是首项为，公比为的等比数列，利用,即可求解.【题目详解】,即所以数列是首项为，公比为的等比数列即所以故答案为：【题目点拨】本题主要考查了与的关系以及等比数列的通项公式，属于基础题.12、【解题分析】

由题意得，且，，由=，解得即可.【题目详解】已知，是夹角为的两个单位向量，所以，得，若解得故答案为【题目点拨】本题考查了向量数量积的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．13、【解题分析】

对进行整理，得到正弦型函数，然后得到其值域，得到答案.【题目详解】，因为所以的值域为.故答案为：【题目点拨】本题考查辅助角公式，正弦型函数的值域，属于简单题.14、【解题分析】

根据题意令f（x）＝，求出x的值，即可得出f﹣1（）的值．【题目详解】令f（x）＝+arcsin（2x）＝，得arcsin（2x）＝﹣，∴2x＝﹣，解得x＝﹣，∴f﹣1（）＝﹣．故答案为：﹣．【题目点拨】本题考查了反函数以及反正弦函数的应用问题，属于基础题．15、【解题分析】

利用递推关系，当时，，当时，，即可求出.【题目详解】由题知：当时，.当时，.检验当时，，所以.故答案为：【题目点拨】本题主要考查根据数列的前项和求数列的通项公式，体现了分类讨论的思想，属于简单题.16、【解题分析】

利用反三角函数的单调性即可求解.【题目详解】函数是定义在上的增函数，函数在区间上单调递增，，，函数的值域是.故答案为：【题目点拨】本题考查了反三角函数的单调性以及反三角函数值，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）见解析（3），【解题分析】

（1）利用列方程，并用二倍角公式进行化简，求得或，进而求得集合.（2）由，得（且），化简后根据的取值范围，求得的取值范围.（3）首先根据为偶函数，求得当时，的解析式，从而求得当时，的解析式.依题意“当，恒成立”，化简得到，根据函数解析式的求法，求得时，以及，进而求得函数在集合上的解析式.【题目详解】（1）由得化简得，，所以或．由解得或，，即或，．又由解得，．所以集合，或，即集合．（2）证明：由，得（且）．变形得，所以．因为，则，所以．（3）因为函数在上是偶函数，则．当，则，所以．所以，因此当时，．由于与函数在集合上“互换函数”，所以当，恒成立．即对于任意的恒成立．即．于是有，，．上述等式相加得，即．当（）时,，所以．而，，所以当时，，【题目点拨】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查二倍角公式和特殊角的三角函数值，考查指数运算和指数函数的值域，考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析、思考与解决问题的能力，属于难题.18、（1）证明过程见详解；（2）；（3）存在实数，使得数列为等差数列.【解题分析】

（1）先由题意得到，再由，得到，即可证明结论成立；（2）先由（1）求得，推出，利用累加法，即可求出数列的通项；（3）把数列an}、{bn}通项公式代入an+2bn，进而得到Sn+2T的表达式代入Tn，进而推断当且仅当λ＝2时，数列是等差数列．【题目详解】（1）因为点在直线上，所以，因此由得所以数列是以为公比的等比数列；（2）因为，由得，故，由（1）得，所以，即，所以，，…，，以上各式相加得：所以；（3）存在λ＝2，使数列是等差数列．由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，an+2bn＝n﹣2∴又=∴，∴当且仅当λ＝2时，数列是等差数列．【题目点拨】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等比数列的定义，等比数列的通项公式，以及等差数列与等比数列的求和公式即可，属于常考题型.19、（1），（2）.【解题分析】

（1）以向量为载体求解向量数量积、模长，我们只需要把向量坐标表示出来，最后用公式就能轻松完成；（2）由（1）可以把表达式求出，最终化成二次复合型函数模式，考虑轴与区间的位置关系，我们就能对函数进行进一步的研究.【题目详解】（1）因为，所以又因为，所以（2），当时，.当时，不满足.当时，，，不满足.综上，实数的值为.【题目点拨】在研究三角函数相关的性质（值域、对称中心、对称轴、单调性……）我们都是将其化为（或者余弦、正切相对应）的形式，利用整体思想，我们能比较方便的去研究他们相关性质.第二问中我们其实就是求最小值问题，当然掺杂了二次函数的“轴变区间定”的考点.，综合性较强.20、（1）a=0.06，平均值为12.25小时（2）【解题分析】

（1）由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和，第三组的频率，由此能求出a和该样本数据的平均数，从而可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；（2）从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1，设为A，B，C，D，E，F，利用列举法能求出从该6人中选拔2人，从而得到这2人来自不同组别的概率．【题目详解】（1）由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和为，第三组的频率为∴该样本数据的平均数所以可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值为小时．（2）易得从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1，设为，则从该6人中选拔2人的基本事件有：共15种，其中来自不同的组别的基本事件有：，共1