黑龙江省牡丹江市三中2024届高一数学第二学期期末教学质量检测试题含解析

黑龙江省牡丹江市三中2024届高一数学第二学期期末教学质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则（）A．-2 B．2 C．-98 D．982．若，，则方程有实数根的概率为（）A． B． C． D．3．已知等差数列an的前n项和为Sn，若a8=12，S8A．-2 B．2 C．-1 D．14．对具有线性相关关系的变量，有观测数据，已知它们之间的线性回归方程是，若，则（）A． B． C． D．5．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，A．815 B．18 C．16．某校有高一学生人，高二学生人，高三学生人，现教育局督导组欲用分层抽样的方法抽取名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（）A．高一学生被抽到的可能性最大 B．高二学生被抽到的可能性最大C．高三学生被抽到的可能性最大 D．每位学生被抽到的可能性相等7．已知满足：，则目标函数的最大值为（）A．6 B．8 C．16 D．48．如图：样本A和B分别取自两个不同的总体，他们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，则（）A．B．C．D．9．在三棱锥中，已知所有棱长均为，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．10．在中，，，角的平分线，则长为()A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．计算：________.12．设奇函数的定义域为R，且对任意实数满足，若当∈[0,1]时，,则____.13．在等比数列中，已知，则=________________.14．在△ABC中，，则________．15．设等差数列的前项和为,若,,则______.16．函数的初相是__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，连，交于点.（Ⅰ）若点是侧棱的中点，连，求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面.18．已知.(Ⅰ)求的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ)求函数在时的值域．19．设数列的前项和为，已知．（1）求，的值；（2）求证：数列是等比数列．20．如图1，ABCD为菱形，∠ABC＝60°，△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，将△PAB沿AB边折起，使平面PAB⊥平面ABCD，连接PC、PD，如图2，（1）证明：AB⊥PC；（2）求PD与平面ABCD所成角的正弦值（3）在线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MC？若存在，请找出N点的位置；若不存在，请说明理由21．已知函数，，且是R上的奇函数，（1）求实数a的值；（2）判断函数）的单调性（不必说明理由），并求不等式的解集；（3）若不等式对任意的恒成立，求实数b的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

由在R上是奇函数且周期为4可得，即可算出答案【题目详解】因为在R上是奇函数，且满足所以因为当时，所以故选：A【题目点拨】本题考查的是函数的奇偶性和周期性，较简单.2、B【解题分析】方程有实数根，则：，即：，则：，如图所示，由几何概型计算公式可得，满足题意的概率值为：.本题选择B选项.3、B【解题分析】

直角利用待定系数法可得答案.【题目详解】因为S8=8a1+a82【题目点拨】本题主要考查等差数列的基本量的相关计算，难度不大.4、A【解题分析】

先求出，再由线性回归直线通过样本中心点即可求出.【题目详解】由题意，，因为线性回归直线通过样本中心点，将代入可得，所以.故选：A.【题目点拨】本题主要考查线性回归直线通过样本中心点这一知识点的应用，属常规考题.5、C【解题分析】试题分析：开机密码的可能有(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5)，(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5)，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115【考点】古典概型【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式P(A)=m6、D【解题分析】

根据分层抽样是等可能的选出正确答案.【题目详解】由于分层抽样是等可能的，所以每位学生被抽到的可能性相等，故选D.【题目点拨】本小题主要考查随机抽样的公平性，考查分层抽样的知识，属于基础题.7、D【解题分析】

作出不等式组对应的平面区域，数形结合，利用z的几何意义，即得。【题目详解】由题得，不等式组对应的平面区域如图，中z表示函数在y轴的截距，由图易得，当函数经过点A时z取到最大值，A点坐标为，因此目标函数的最大值为4.故选：D【题目点拨】本题考查线性规划，是基础题。8、B【解题分析】

从图形中可以看出样本A的数据均不大于10，而样本B的数据均不小于10，A中数据波动程度较大，B中数据较稳定，由此得到结论．【题目详解】∵样本A的数据均不大于10，而样本B的数据均不小于10，，由图可知A中数据波动程度较大，B中数据较稳定，.故选B.9、A【解题分析】

取的中点，连接、，于是得到异面直线与所成的角为，然后计算出的三条边长，并利用余弦定理计算出，即可得出答案．【题目详解】如下图所示，取的中点，连接、，由于、分别为、的中点，则，且，所以，异面直线与所成的角为或其补角，三棱锥是边长为的正四面体，则、均是边长为的等边三角形，为的中点，则，且，同理可得，在中，由余弦定理得，因此，异面直线与所成角的余弦值为，故选A．【题目点拨】本题考查异面直线所成角的计算，利用平移法求异面直线所成角的基本步骤如下：（1）一作：平移直线，找出异面直线所成的角；（2）二证：对异面直线所成的角进行说明；（3）三计算：选择合适的三角形，并计算出三角形的边长，利用余弦定理计算所求的角．10、B【解题分析】

在中利用正弦定理可求，从而可求，再根据内角和为可得，从而得到为等腰三角形，故可求的长.【题目详解】在中，由正弦定理有即，所以，因为，故，故，所以，故，为等腰三角形，故.故选B.【题目点拨】在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、3【解题分析】

直接利用数列的极限的运算法则求解即可．【题目详解】.故答案为：3【题目点拨】本题考查数列的极限的运算法则，考查计算能力，属于基础题．12、【解题分析】

根据得到周期，再利用周期以及奇函数将自变量转变到给定区间计算函数值.【题目详解】因为，所以，所以，又因为，所以，则，故，又因为是奇函数，所以，则.【题目点拨】（1）形如的函数是周期函数，周期；（2）若要根据奇偶性求解分段函数的表达式，记住一个原则：“用未知表示已知”，也就是将自变量变形，利用已知范围和解析式求解.13、【解题分析】14、【解题分析】

因为所以注意到：故．故答案为：15、10【解题分析】

将和用首项和公差表示，解方程组，求出首项和公式，利用公式求解.【题目详解】设该数列的公差为，由题可知：，解得，故.故答案为：10.【题目点拨】本题考查由基本量计算等差数列的通项公式以及前项和，属基础题.16、【解题分析】

根据函数的解析式即可求出函数的初相.【题目详解】，初相为.故答案为：【题目点拨】本题主要考查的物理意义，属于简单题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明【解题分析】

（Ⅰ）由为菱形，得为中点，进而得到，利用线面平行的判定定理，即可求解；（Ⅱ）先利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而利用面面垂直的判定定理，即可证得平面平面.【题目详解】（Ⅰ）证明：因为为菱形，所以为中点，又为中点，所以，，平面，平面，所以，平面；（Ⅱ）因为平面，所以，因为为菱形，所以，，所以，平面，平面，所以，平面平面.【题目点拨】本题考查了线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．18、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解题分析】

(Ⅰ)化简得＝,利用周期的公式和正弦型函数的性质，即可求解；(Ⅱ)由，可得，得到∈，即可求得函数的值域.【题目详解】(Ⅰ)由题意，化简得＝,所以函数的最小正周期为,又由，解得所以的单调递增区间为.(Ⅱ)由，可得，所以∈，所以的值域为．【题目点拨】本题主要考查了三角函数的的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19、（1），（2）见解析【解题分析】

（1）依次令,,解出即可。（2）由知当时，两式相减，化简即可得证。【题目详解】解（1）∵，∴当时，；当时，，∴；当时，，∴.（2）证明：∵，①∴当时，，②①-②得，∴，即.∴．∵.∴，∴.即是以4为首项，2为公比的等比数列．【题目点拨】本题考查公式的应用，属于基础题。20、(1)证明见解析(2)．(3)存在，PN．【解题分析】

（1）只需证明AB⊥面PMC，即可证明AB⊥PC；（2）由PM⊥面ABCD得∠PDM为PD与平面ABCD所成角，解△PDM即可求得PD与平面ABCD所成角的正弦值．（3）设DB∩MC＝E，连接NE，可得PB∥NE，．即可．【题目详解】（1）证明：∵△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，∴PM⊥AB．∵ABCD为菱形，∠ABC＝60°．∴CM⊥AB，且PM∩MC＝M，∴AB⊥面PMC，∵PC⊂面PMC，∴AB⊥PC；（2）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PM⊥AB．∴PM⊥面ABCD，∴∠PDM为PD与平面ABCD所成角．PM，MD，PDsin∠PMD，即PD与平面ABCD所成角的正弦值为．（3）设DB∩MC＝E，连接NE，则有面PBD∩面MNC＝NE，∵PB∥平面MNC，∴PB∥NE．∴．线段PD上存在点N，使得PB∥平面MNC，且PN．【题目点拨】本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理、线面角，利用线面平行的性质定理确定点N的位置是关键，属于中档题．．21、