2024届北京市第101中学数学高一第二学期期末联考试题含解析

2024届北京市第101中学数学高一第二学期期末联考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．同时掷两个骰子，向上的点数之和是的概率是（）A． B． C． D．2．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳3．某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人a人,为调查身体健康状况,需要从中抽取一个容量为m的样本，用分层抽样方法抽取进行调查，样本中的中年人为6人,则a和m的值不可以是下列四个选项中的哪组（）A．a=810,m=17 B．a=450,m=14C．a=720,m=16 D．a=360,m=124．设某曲线上一动点到点的距离与到直线的距离相等，经过点的直线与该曲线相交于，两点，且点恰为等线段的中点，则（）A．6 B．10 C．12 D．145．设是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是A．若与共面，则与共面B．若与是异面直线，则与是异面直线C．若==，则D．若==，则=6．是()A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角7．如果点位于第四象限，则角是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角8．水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中，,则绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（）A． B． C． D．9．设为直线，是两个不同的平面，下列说法中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则10．已知直线经过两点，则的斜率为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．某货船在处看灯塔在北偏东方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟到达处，看到灯塔在北偏东方向，此时货船到灯塔的距离为______海里.12．给出下列四个命题：①正切函数在定义域内是增函数；②若函数，则对任意的实数都有；③函数的最小正周期是；④与的图象相同.以上四个命题中正确的有_________（填写所有正确命题的序号）13．已知函数那么的值为．14．已知点，，若向量，则向量______.15．已知向量，，且，则_______．16．已知锐角的外接圆的半径为1，，则的面积的取值范围为_____．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知（1）求的值；（2）求的最小值以及取得最小值时的值18．已知、、是锐角中、、的对边，是的面积，若，，．（1）求；（2）求边长的长度．19．在平面直角坐标系中，点，点P在x轴上（1）若，求点P的坐标：（2）若的面积为10，求点P的坐标．20．某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1，产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2，（注：利润与投资单位：万元）（1）分别将，两种产品的利润表示为投资的函数关系，并写出它们的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，全部投入到，两种产品的生产，怎样分配资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到1万元）.21．已知，.(1)求的值；(2)若，均为锐角，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

分别计算出所有可能的结果和点数之和为的所有结果，根据古典概型概率公式求得结果.【题目详解】同时掷两个骰子，共有种结果其中点数之和是的共有：，共种结果点数之和是的概率为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查古典概型问题中的概率的计算，关键是能够准确计算出总体基本事件个数和符合题意的基本事件个数，属于基础题.2、A【解题分析】

观察折线图可知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，且折线图呈现增长趋势，高峰都出现在7、8月份，1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月波动性更小.【题目详解】对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，D，由图可知显然正确.故选A.【题目点拨】本题考查折线图，考查考生的识图能力，属于基础题.3、B【解题分析】

根据分层抽样的规律，计算a和m的关系为：8+a【题目详解】某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人a人,样本中的中年人为6人，则老年人为：180×6540=22+6+代入选项计算，B不符合故答案为B【题目点拨】本题考查了分层抽样，意在考查学生的计算能力.4、B【解题分析】由曲线上一动点到点的距离与到直线的距离相等知该曲线为抛物线，其方程为，分别过点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，由梯形的中位线定理知,所以，故选B.5、D【解题分析】

由空间四点共面的判断可是A,B正确，；C,D画出图形，可以判定AD与BC不一定相等，证明BC与AD一定垂直．【题目详解】对于选项A，若与共面，则与共面，正确；对于选项B，若与是异面直线，则四点不共面，则与是异面直线，正确；如图，空间四边形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，则AD与BC不一定相等，∴D错误；对于C,当四点共面时显然成立，当四点不共面时，取BC的中点M，连接AM、DM，AM⊥BC，DM⊥BC，∴BC⊥平面ADM，∴BC⊥AD，∴C正确；【题目点拨】本题通过命题真假的判定，考查了空间中的直线共面与异面以及垂直问题，是综合题．6、C【解题分析】

由题意，可知，所以角和角表示终边相同的角，即可得到答案．【题目详解】由题意，可知，所以角和角表示终边相同的角，又由表示第三象限角，所以是第三象限角，故选C．【题目点拨】本题主要考查了象限角的表示和终边相同角的表示，其中解答中熟记终边相同角的表示是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．7、C【解题分析】

由点位于第四象限列不等式，即可判断的正负，问题得解.【题目详解】因为点位于第四象限所以，所以所以角是第三象限角故选C【题目点拨】本题主要考查了点的坐标与点的位置的关系，还考查了等价转化思想及三角函数值的正负与角的终边的关系，属于基础题.8、B【解题分析】

先根据斜二测画法的性质求出原图形,再分析绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积即可.【题目详解】根据斜二测画法的性质可知,原是以为底,高为的等腰三角形.又.故为边长为2的正三角形.则绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体可看做两个以底面半径为,高为的圆锥组合而成.故表面积为.故选：B【题目点拨】本题主要考查了斜二测画法还原几何图形与旋转体的侧面积求解.需要根据题意判断出旋转后的几何体形状再用公式求解.属于中档题.9、C【解题分析】

画出长方体，按照选项的内容在长方体中找到相应的情况，即可得到答案【题目详解】对于选项A，在长方体中，任何一条棱都和它相对的两个平面平行，但这两个平面相交，所以A不正确；对于选项B，若，分别是长方体的上、下底面，在下底面所在平面中任选一条直线，都有，但，所以B不正确；对于选项D，在长方体中，令下底面为，左边侧面为，此时，在右边侧面中取一条对角线，则，但与不垂直，所以D不正确；对于选项C，设平面，且，因为，所以，又，所以，又，所以，所以C正确.【题目点拨】本题考查直线与平面的位置关系，属于简单题10、A【解题分析】

直接代入两点的斜率公式，计算即可得出答案。【题目详解】故选A【题目点拨】本题考查两点的斜率公式，属于基础题。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

由题意利用方位角的定义画出示意图，再利用三角形，解出的长度．【题目详解】解：由题意画出图形为：因为，，所以，又由于某船以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到，所以（海里）．在中，利用正弦定理得：，所以；故答案为：．【题目点拨】此题考查了学生对于题意的正确理解，还考查了利用正弦定理求解三角形及学生的计算能力，属于基础题．12、②③④【解题分析】

①利用反例证明命题错误；②先判断为其中一条对称轴；③通过恒等变换化成；④对两个解析式进行变形，得到定义域和对应关系均一样.【题目详解】对①，当，显然，但，所以，不符合增函数的定义，故①错；对②，当时，，所以为的一条对称轴，当取，取时，显然两个数关于直线对称，所以，即成立，故②对；对③，，，故③对；对④，因为，，两个函数的定义域都是，解析式均为，所以函数图象相同，故④对.综上所述，故填：②③④.【题目点拨】本题对三角函数的定义域、值域、单调性、对称性、周期性等知识进行综合考查，求解过程中要注意数形结合思想的应用.13、【解题分析】试题分析：因为函数所以==．考点：本题主要考查分段函数的概念，计算三角函数值．点评：基础题，理解分段函数的概念，代入计算．14、【解题分析】

通过向量的加减运算即可得到答案.【题目详解】，.【题目点拨】本题主要考查向量的基本运算，难度很小.15、-2或3【解题分析】

用坐标表示向量，然后根据垂直关系得到坐标运算关系，求出结果.【题目详解】由题意得：或本题正确结果：或【题目点拨】本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.16、【解题分析】

由已知利用正弦定理可以得到b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△ABC═sin（2B﹣）+，由锐角三角形求B的范围，进而利用正弦函数的图象和性质即可得解．【题目详解】解：∵锐角△ABC的外接圆的半径为1，A＝，∴由正弦定理可得：，可得：b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），∴S△ABC＝bcsinA＝×2sinB×2sin（﹣B）×＝sinB（cosB+sinB）＝sin（2B﹣）+，∵B，C为锐角，可得：＜B＜，＜2B﹣＜，可得：sin（2B﹣）∈（，1]，∴S△ABC＝sin（2B﹣）+∈（1，]．故答案为：（1，]．【题目点拨】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）当时，函数取得最小值.【解题分析】

（1）将代入函数计算得到答案.（2）根据降次公式和辅助角公式化简函数为，当时取最小值.【题目详解】(1)(2)由可得，故函数的最小值为，当时取得最小值.【题目点拨】本题考查了三角函数的计算，三角函数的最小值，将三角函数化简为标准形式是解题的关键，意在考查学生的计算能力.18、（1）；（2）.【解题分析】

（1）利用三角形的面积公式结合为锐角可求出的值；（2）利用余弦定理可求出边长的长度．【题目详解】（1）由三角形的面积公式可得，得.为锐角，因此，；（2）由余弦定理得，因此，.【题目点拨】本题考查利用三角形的面积公式求角，同时也考查了利用余弦定理求三角形的边长，考查计算能力，属于基础题.19、(1)；(2)或【解题分析】

（1）利用两直线垂直，斜率之积为-1进行求解（2）将三角形的面积问题转化成点到直线的距离公式进行求解【题目详解】（1）设P点坐标为，由题意，直线AB的斜率；因为，所以直线PB存在斜率且，即，解得；故点P的坐标为；（2）设P点坐标为，P到直线AB的距离为d；由已知，直线AB的方程为；的面积．得，即，解得或；所以点P的坐标为或【题目点拨】两直线垂直的斜率关系为；已知两点坐标时，距离公式为；三角形面积问题，常可转化为点到直线距离公式进行求解.20、（1）为，为；（2）产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，最大利润为4万元【解题分析】

（1）根据题意给出的函数模型，设；代入图中数据求得既得，注意自变量；（2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元.，列出利润函数为，用换元法，设，变化为二次函数可求得利润的最大值．【题目详解】解：（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元由题设知；由图1知，由图2知，则，.（2）设产品