专题3.3 一元一次不等式的应用（重点题专项讲练）（浙教版）（解析版）

专题3.3一元一次不等式的应用【典例1】截至12月25日，全国累计报告接种新型冠状病毒疫苗超过12亿剂次．为了满足市场需求，某公司计划投入10个大、小两种车间共同生产同一种新型冠状病毒疫苗，已知1个大车间和2个小车间每周能生产疫苗共35万剂，2个大车间和1个小车间每周能生产疫苗共40万剂，每个大车间生产1万剂疫苗的平均成本为90万元，每个小车间生产1方剂疫苗的平均成本为80万元．（1）该公司每个大车间、小车间每周分别能生产疫苗多少万剂？（2）若投入的10个车间每周生产的疫苗不少于135万剂，请问一共有几种投入方案，并求出每周生产疫苗的总成本最小值？【思路点拨】（1）设该公司每个大车间每周能生产疫苗x万剂，每个小车间每周能生产疫苗y万剂，根据“1个大车间和2个小车间每周能生产疫苗共35万剂，2个大车间和1个小车间每周能生产疫苗共40方剂”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出该公司每个大车间、小车间每周生产疫苗的数量；（2）设投入m个大车间，则投入小车间（10﹣m）个，根据每周生产的疫苗不少于135万剂，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，结合m，（10﹣m）均为正整数，即可得出投入方案的个数，再求出各投入方案每周生产疫苗的总成本，比较后即可得出每周生产疫苗的总成本最小值为11850万元．【解题过程】解：（1）设该公司每个大车间每周能生产疫苗x万剂，每个小车间每周能生产疫苗y万剂，依题意得：x+2y=352x+y=40解得：x=15y=10答：该公司每个大车间每周能生产疫苗15万剂，每个小车间每周能生产疫苗10万剂．（2）设投入m个大车间，则投入小车间（10﹣m）个，依题意得：15m+10（10﹣m）≥135，解得：m≥7．又∵m，（10﹣m）均为正整数，∴m可以为7，8，9，∴共有3种投入方案，方案1：投入7个大车间，3个小车间，每周生产疫苗的总成本90×15×7+80×10×3＝11850（万元）；方案2：投入8个大车间，2个小车间，每周生产疫苗的总成本90×15×8+80×10×2＝12400（万元）；方案3：投入9个大车间，1个小车间，每周生产疫苗的总成本90×15×9+80×10×1＝12950（万元）．∵11850＜12400＜12950，∴一共有3种投入方案，每周生产疫苗的总成本最小值为11850万元．1．（2021春•澄海区期末）爆破员要爆破一座旧桥，根据爆破情况，安全距离是90米（人员要撤到90米及以外的地方）．已知人员撤离速度是6米/秒，导火索燃烧速度是8厘米/秒．假设爆破员从爆破点处开始撤离，为了确保安全，这次爆破的导火索至少为（）A．118厘米 B．120厘米 C．122厘米 D．124厘米【思路点拨】设这次爆破的导火索长x厘米，利用时间＝路程÷速度，结合安全距离是90米，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小值即可得出结论．【解题过程】解：设这次爆破的导火索长x厘米，依题意得：906解得：x≥120，∴这次爆破的导火索至少长120厘米．故选：B．2．（2021秋•西湖区校级期中）为鼓励居民使用天然气，某市天然气公司采用一种收费办法．若整个小区每户都安装，收整体初装费10000元，再对每户收费500元，某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后，每户平均支付不足1000元，则这个小区的住户数（）A．至少20户 B．至多20户 C．至少21户 D．至多21户【思路点拨】设这个小区共有x户住户，根据每户平均支付不足1000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出这个小区至少有21户住户．【解题过程】解：设这个小区共有x户住户，依题意得：1000x＞10000+500x，解得：x＞20．又∵x为正整数，∴这个小区至少有21户住户．故选：C．3．（2021秋•怀化期末）某种商品进价为800元，标价1200元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至少可以打（）折．A．6折 B．7折 C．8折 D．9折【思路点拨】设打了x折，用标价×折扣﹣进价得出利润，根据利润率不低于20%，列不等式求解．【解题过程】解：设打了x折，由题意得，1200×0.1x﹣800≥800×20%，解得：x≥8．答：至少打8折．故选：C．4．（2021春•公安县期末）小明准备用70元钱买甲、乙两种饮料10瓶，已知甲种饮料每瓶8元，乙种饮料每瓶5元，则小明最少可以买（）瓶乙种饮料．A．4 B．5 C．6 D．7【思路点拨】设可以购买x瓶乙种饮料，则购买（10﹣x）瓶甲种饮料，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．【解题过程】解：设可以购买x瓶乙种饮料，则购买（10﹣x）瓶甲种饮料，依题意得：8（10﹣x）+5x≤70，解得：x≥10又∵x为整数，∴x的最小值为4．故选：A．5．（2021秋•永定区期末）某商店为了促销一种定价为3元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款．如果小明有30元钱，那么他最多可以购买该商品（）A．9件 B．10件 C．11件 D．12件【思路点拨】购买5件需要15元，27元超过15元，则购买件数超过5件，设可以购买x件这样的商品，根据：5件按原价付款数+超过5件的总钱数≤30，列出不等式求解即可得．【解题过程】解：设可以购买x（x为整数）件这样的商品．3×5+（x﹣5）×3×0.8≤30，解得x≤11.25，则最多可以购买该商品的件数是11，故选：C．6．（2021春•洛阳期末）有菜农共10人，每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知茄子每亩可收入0.5万元，辣椒每亩可收入0.8万元，若要使总收不低于15.6万元，则最多只能安排（）人种茄子．A．3 B．4 C．5 D．6【思路点拨】设安排x人种茄子，则安排（10﹣x）人种辣椒，利用总收入＝每亩地的收入×种植数量，结合总收不低于15.6万元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解题过程】解：设安排x人种茄子，则安排（10﹣x）人种辣椒，依题意得：0.5×3x+0.8×2（10﹣x）≥15.6，解得：x≤4．故选：B．7．（2021春•招远市期末）为了开展好“招远市城市卫生专项”行动，某单位需要购买分类垃圾桶8个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶50元/个，B型分类垃圾桶55元/个，总费用不超过415元，则不同的购买方式有（）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【思路点拨】设购买x个A型分类垃圾桶，则购买（8﹣x）个B型分类垃圾桶，利用总费用＝单价×数量，结合总费用不超过415元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x，（8﹣x）均为非负整数，即可得出购买方式的数量．【解题过程】解：设购买x个A型分类垃圾桶，则购买（8﹣x）个B型分类垃圾桶，依题意得：50x+55（8﹣x）≤415，解得：x≥5，又∵x，（8﹣x）均为非负整数，∴x可以为5，6，7，8，∴共有4种购买方式．故选：C．8．（2021春•长寿区期末）班主任王老师说：“课辅活动时，我班一半的同学在参加科技活动，四分之一的同学在学音乐，七分之一的同学在练书法，还剩不足6名同学在操场上踢足球”，则王老师的这个班学生人数最多为（）A．56 B．55 C．48 D．28【思路点拨】设王老师的这个班学生人数为x人，利用踢足球的人数＝全班人数﹣参加科技活动的人数﹣学音乐的人数﹣练书法的人数，结合踢足球的人数不足6名，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，由12x，14x，17x均为整数，可得出x为28【解题过程】解：设王老师的这个班学生人数为x人，依题意得：x-12x-14x-解得：x＜56．又∵12x，14x，1∴x为28的整数倍，∴x可以取的最大值为28．故选：D．9．（2021秋•慈溪市期末）某大型超市购进一批特种水果，运输过程中质量损失20%，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得28%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（）A．30% B．40% C．50% D．60%【思路点拨】首先设购进这种水果a千克，进价为y元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）y元/千克，购进这批水果用去ay元，但在售出时，只剩下（1﹣20%）a千克，售货款为（1﹣20%）a×（1+x）y元，根据公式售货款-进货款【解题过程】解：设购进这种水果a千克，进价为y元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）y元/千克，由题意得：0.8(1+x)ay-ayay×解得：x≥60%，则这种水果的售价在进价的基础上应至少提高60%．故选：D．10．（2021春•柯桥区月考）随着科技的进步，我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，可又不想静静地等在A站，他从A站往B站走了一段路，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为720m（如图）．此时有两种选择：（1）与公交车相向而行，到A公交站去乘车；（2）与公交车同向而行，到B公交站去乘车．假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则A，B两公交站之间的距离最大为（）A．240m B．300m C．320m D．360m【思路点拨】设看手机时小明到A站的距离为xm，到B站的距离为ym．到A公交站，由小明到A站所用时间不能多于公交车到A站所用时间，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可求出x的取值范围；到B公交站，由小明到B站所用时间不能多于公交车到B站所用时间，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可求出y的取值范围，进而可得出（x+y）的取值范围，再取其最大值即可得出结论．【解题过程】解：设看手机时小明到A站的距离为xm，到B站的距离为ym．到A公交站：x≤720-x解得：x≤120；到B公交站：y≤720+y解得：y≤180．∴x+y≤120+180＝300，即A，B两公交站之间的距离最大为300m．故选：B．11．（2021秋•单县期末）某学校生物课把学生的笔试、实验操作两项成绩分别按60%、40%的比例计入学生的学期总成绩，小亮的实验操作这一项成绩是81分，要想学期总成绩不低于90分，那么他的笔试成绩至少要达到分．【思路点拨】设小亮的笔试成绩是x分，利用总成绩＝60%×笔试成绩+40%×实验操作成绩，结合总成绩不低于90分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【解题过程】解：设小亮的笔试成绩是x分，依题意得：60%x+40%×81≥90，解得：x≥96，∴小亮的笔试成绩至少要达到96分．故答案为：96．12．（2021秋•衢江区期末）某业主贷款22000元购进一台机器，生产某种产品．已知产品的成本每个5元，售价是每个8元，应付的税款和其他费用是售价的10%．若每月能生产、销售2000个产品，问至少个月后能赚回这台机器的贷款．【思路点拨】设x个月后能赚回这台机器的贷款，利用总利润＝每个的利润×每月的产量×时间，结合总利润不少于这台机器的贷款，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【解题过程】解：设x个月后能赚回这台机器的贷款，依题意得：（8﹣5﹣8×10%）×2000x≥22000，解得：x≥5，∴至少5个月后能赚回这台机器的贷款．故答案为：5．13．（2021春•榆阳区期末）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购A、B两种型号的一体机共1100套，已知去年每套A型一体机1.2万元每套、B型一体机1.8万元，经过调查发现，今年每套A型一体机的价格比去年上涨25%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用，则该市最多可以购买套A型一体机．【思路点拨】设该市可以购买x套A型一体机，则购买（1100﹣x）套B型一体机，利用总价＝单价×数量，结合购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出A型一体机的最大购买量．【解题过程】解：设该市可以购买x套A型一体机，则购买（1100﹣x）套B型一体机，依题意得：1.8（1100﹣x）≥1.2×（1+25%）x，解得：x≤600．故答案为：600．14．（2021秋•九龙坡区校级期末）随着气温降低，吃羊肉的重庆人越来越多．于是王老板预定了一批羊排、羊腿、精品羊肉．第一批预定羊排的数量（斤）是精品羊肉的2倍，羊腿的数量（斤）是羊排、精品羊肉的数量之和．由于品质优良宣传力度大，小区邻居的预订量暴增，王老板按照相同的价格加紧采购了第二批羊排、羊腿、精品羊肉，其中第二批羊腿的数量占第二批总数量的16，此时两批羊腿总数量达到了羊排、羊腿、精品羊肉三种总量的518，而羊排和精品羊肉的总数量之比为8：5．若羊排、羊腿、精品羊肉的成本价分别为50元、42元、38元，羊排的售价为每斤64元，销售中，王老板为回馈顾客，将两批羊排总量的18送邻居免费品尝，其余羊排、羊腿、精品羊肉全部卖完，总利润率为16%，且羊腿的销售单价不高于羊排、精品羊肉销售单价之和的713．则精品羊肉的单价最低为【思路点拨】设第一批精肉的数量为x斤，则羊排数量为2x斤，羊腿数量为3x斤，设第二批总重量为y斤，则第二批羊腿重量为16y斤，根据题意，得3x+16y=518（6x+y），求得y＝12x，从而求得第二批羊排重量为6x斤，精肉重量为4x斤，总成本为50（2x+6x）+42（3x+2x）+38（x+4x），设羊排价格为m元，精肉价格为n元，则总利润为14（2x+6x﹣x）+（m﹣42）（3x+2x）+（n﹣38）（x+4x），根据题意，得[50（2x+6x）+42（3x+2x）+38（x+4x）]×16%＝14（2x+6x﹣x）+（m﹣42）（3x+2x）+（n﹣38）（x+4x），m≤7【解题过程】解：设第一批精肉的数量为x斤，则羊排数量为2x斤，羊腿数量为3x斤，设第二批总重量为y斤，羊排重量为a斤，则第二批羊腿重量为16y根据题意，得3x+16y=518（6解得y＝12x，∵羊排和精品羊肉的总数量之比为8：5，∴（2x+a）：（x+12x﹣2x﹣a）＝8：5，解得a＝6x，∴精肉重量为4x斤，∴总成本为[50（2x+6x）+42（3x+2x）+38（x+4x）]元，设羊腿价格为m元，精肉价格为n元，则总利润为[14（2x+6x﹣x）+（m﹣42）（3x+2x）+（n﹣38）（x+4x）]元，根据题意，得：[50（2x+6x）+42（3x+2x）+38（x+4x）]×16%＝14（2x+6x﹣x）+（m﹣42）（3x+2x）+（n﹣38）（x+4x），解得m+n＝86，∵羊腿的销售单价不高于羊排、精品羊肉销售单价之和的713∴m≤713（64+解得n≥33.5，∴n的最小值为33.5．故答案为：33.5．15．（2022•灞桥区校级一模）某医院准备派遣医护人员协助西安市抗击疫情，现有甲、乙两种型号的客车可供租用，已知每辆甲型客车的租金为280元，每辆乙型客车的租金为220元，若医院计划租用6辆客车，租车的总租金不超过1530元，那么最多租用甲型客车多少辆？【思路点拨】设租用甲型客车x辆，则租用乙型客车（6﹣x）辆，利用总租金＝每辆甲型客车的租金×租用数量+每辆乙型客车的租金×租用数量，结合总租金不超过1530元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．【解题过程】解：设租用甲型客车x辆，则租用乙型客车（6﹣x）辆，依题意得：280x+220（6﹣x）≤1530，解得：x≤7又∵x为整数，∴x的最大值为3．答：最多租用甲型客车3辆．16．（2021秋•嵊州市期末）为增强同学们垃圾分类意识，某学校举行了垃圾分类知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．（1）若某参赛同学只有1道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“垃圾分类小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“垃圾分类小达人”？【思路点拨】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；（2）根据题意，可以写出相应的不等式，然后求解即可．【解题过程】解：（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了25﹣x﹣1＝（24﹣x）道题，由题意可得：4x﹣（24﹣x）×1＝86，解得x＝22，答：该参赛同学一共答对了22道题；（2）设参赛者需答对a道题才能被评为“垃圾分类小达人”，由题意可得：4a﹣（25﹣a）≥90，解得a≥23，答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“垃圾分类小达人”．17．（2022•长兴县开学）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用相同的费用，购买的足球数量与购买的篮球数量之比为3：2．（1）足球和篮球的单价各是多少元？（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？【思路点拨】（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为（2x﹣30）元，根据用相同的费用购买的足球数量与购买的篮球数量之比为3：2，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出足球的单价，再将其代入（2x﹣30）中即可求出篮球的单价．（2）设购买篮球m个，则购买足球（200﹣m）个，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过15500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论．【解题过程】解：（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为（2x﹣30）元，依题意得：3x＝2（2x﹣30），解得：x＝60，∴2x﹣30＝2×60﹣30＝90．答：足球的单价为60元，篮球的单价为90元．（2）设购买篮球m个，则购买足球（200﹣m）个，依题意得：90m+60（200﹣m）≤15500，解得：m≤350又∵m为正整数，∴m的最大值为116．答：学校最多可以购买116个篮球．18．（2022•南岗区模拟）哈尔滨地铁“三号线”正在进行修建，现有大量的残土需要运输．某车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次可以运输110吨残土．（1）求该车队有载重量8吨、10吨的卡车各多少辆？（2）随着工程的进展，该车队需要一次运输残土不低于166吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆，则最多购进载重量为8吨的卡车多少辆？【思路点拨】（1）设该车队有载重量8吨的卡车x辆，载重量10吨的卡车y辆，由题意：某车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次可以运输110吨残土．列出方程组，解方程组即可；（2）设购进载重量8吨的卡车m辆，则购进载重量10吨的卡车（6﹣m）辆，根据该车队需要一次运输残土不低于166吨，列出一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可．【解题过程】解：（1）设该车队有载重量8吨的卡车x辆，载重量10吨的卡车y辆，依题意，得：x+y=128x+10y=110解得：x=5y=7答：该车队有载重量8吨的卡车5辆，载重量10吨的卡车7辆．（2）设购进载重量8吨的卡车m辆，则购进载重量10吨的卡车（6﹣m）辆，依题意，得：110+8m+10（6﹣m）≥166，解得：m≤2，∴m可取的最大值为2．答：最多购进载重量8吨的卡车2辆．19．（2021•宁波模拟）为了防控“新冠肺炎”疫情，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种8元/瓶，乙种12元/瓶．（1）如果购买这两种消毒液共用1040元，求甲，乙两种消毒液各购买多少瓶？（2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍少4瓶，且所需费用不多于1200元，求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？【思路点拨】（1）设甲种消毒液购买了x瓶，乙种消毒液购买了y瓶，利用总价＝单价×数量，结合购买两种消毒液100瓶共花费1040元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设可以再购进甲种消毒液m瓶，则再购进乙种消毒液（2m﹣4）瓶，利用总价＝单价×数量，结合总价不多于1200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解题过程】解：（1）设甲种消毒液购买了x瓶，乙种消毒液购买了y瓶，依题意得：x+y=1008x+12y=1040解得：x=40y=60答：甲种消毒液购买了40瓶，乙种消毒液购买了60瓶．（2）设可以再购进甲种消毒液m瓶，则再购进乙种消毒液（2m﹣4）瓶，依题意得：8m+12（2m﹣4）≤1200，解得：m≤39．答：甲种消毒液最多能再购买39瓶．20．（2021秋•武冈市期末）某校购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且购买乙种树苗的棵数比甲种树苗棵数的2倍多30棵．（1）若购买两种树苗的总费用不超过3400元，最多可以购买甲种树苗多少棵？（2）为保证绿化效果，学校决定再购买甲、乙两种树苗共24棵（两种树苗都要买），总费用不超过500元，问有哪几种可能的购买方案？【思路点拨】（1）设购买甲种树苗x棵，由购买两种树苗的总费用不超过3400元，列出不等式，可求解；（2）设再购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗（24﹣m）棵，由总费用不超过500元，列出不等式，即可求解．【解题过程】解：（1）设购买甲种树苗x棵，由题意可得：30x+20（2x+30）≤3400，解得：x≤40，答：最多可以购买甲种树苗40棵；（2）设再购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗（24﹣m）棵，依题意得：30m+20（24﹣m）≤500，解得：m≤2．又∵m为正整数，∴m可以取1，2，∴该园林部门共有2种购买方案，方案1：购买甲种树苗1棵，乙种树苗23棵；方案2：购买甲种树苗2棵，乙种树苗22棵．21．（2021秋•澧县期末）2021年冬季即将来临，德强学校准备组织七年级学生参观冰雪大世界．参观门票学生票价为160元，冰雪大世界经营方为学校推出两种优惠方案，方案一：“所有学生门票一律九折”；方案二：“如果学生人数超过100人，则超出的部分打八折”．（1）求参观学生为多少人时，两种方案费用一样．（2）学校准备租车送学生去冰雪大世界，如果单独租用45座的客车若干辆，则有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满，求我校七年级共有多少学生参观冰雪大世界？（司机不占用客车座位数）（3）在（2）的条件下，学校采用哪种优惠方案购买门票更省钱？【思路点拨】（1）设参观学生为x人，根据两种优惠方案花费相等列出方程，解方程即可；（2）设学校租用45座的客车a辆，根据两个客车所拉学生人数相等列方程，解方程即可；（3）比较两种方案的花费得出结论．【解题过程】解：（1）设参观学生为x人，两种方案费用一样，根据题意得：160×0.9x＝160×100+（x﹣100