高三高考数学总复习《数列》题型归纳与汇总

高考数学总复习题型分类汇总经典试题大汇总《数列》高考数学总复习题型分类汇总经典试题大汇总《数列》篇目录【题型归纳】题型一等差数列的基本运算3题型二等差数列的判定与证明4题型三等差数列前项和及其最值5题型四等比数列的基本运算6题型五等比数列的判定与证明8题型六等差数列等比数列求前项和8题型七分组转化法求和9题型八裂项相消法求和10【巩固训练】题型一等差数列的基本运算11题型二等比数列的基本运算11题型三等差（比）数列的判定与证明12题型四等差数列前项的最值13题型五数列的求和13高考数学《数列》题型归纳与训练【题型归纳】题型一等差数列的基本运算例1（1）等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为（）A．24B．3C．3D．8（2）设为等差数列，公差,为其前项和，若，则（） A．18 B．20C．22 D．24（3）设等差数列的前项和为，＝－2，＝0，＝3，则＝（）A．3 B．4 C．5 D．6（4）等差数列前9项的和等于前4项的和．若，，则=_____．【答案】(1)(2)(3)（4）【解析】（1）设的公差为（），由，得，所以，．选．

（2）由，得，．（3）有题意知=，∴==（）=，=，∴公差==1，∴3==，∴，故选.（4）设的公差为，由及，得，所以．又，所以，即．【易错点】等差数列求和公式易记错【思维点拨】等差数列基本运算的解题方法（1）等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．（2）数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用，而和是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．题型二等差数列的判定与证明例1在数列中，若，已知，则数列前项的和为______.【答案】【解析】由已知可得，例2已知数列满足证明数列为等差数列；（2）求数列的通项公式.【答案】见解析【解析】（1），所以数列是首项为，公差为的等差数列.（2）由（1）知，所以.例3若数列的前项和为，且满足，.（1）求证：成等差数列；（2）求数列的通项公式.【答案】见解析【解析】（1）证明当时，由，得，所以，故是首项为，公差为的等差数列.解由(1)可得，∴.当时，不适合上式.当时，.故【易错点】忘记写：当时或者不知道使用：【思维点拨】等差数列的证明方法：（1）定义法：或为等差数列.（2）等差中项法：为等差数列.（3）通项法：为常数为等差数列.（4）前项和法：为常数为等差数列.题型三等差数列前项和及其最值例1（1）等差数列的前项和为，已知，，当最大时，的值是()A.5B.6 C.7 D.8（2）若等差数列满足，，则当__时的前项和最大．【答案】(1)C(2)【解析】（1）由，根据等差数列的性质，可得.根据首项等于可推知这个数列递减，从而得到，，故时最大.（2）∵数列是等差数列，且，．又，∴．当时，其前项和最大．【易错点】求最值的时候计算出错，以及去掉绝对值求和时也易出错。【思维点拨】求等差数列前项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前项和(为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.题型四等比数列的基本运算例1（1）等比数列满足，，则=（）A．21B．42C．63D．84（2）等比数列的前项和为，已知，，则=（）A． B． C． D．（3）已知数列为等比数列，是是它的前项和,若，且与2的等差中项为，则（）A．35B．33C．3lD．29（4）设为等比数列的前n项和，则（）A．－11 B．－8C．5 D．11【答案】(1)(2)(3)（4）【解析】（1）由于，，所以，所以(舍去)，所以，，，所以．（2）设等比数列的公比为，∵，∴，即，∴，由，即，∴．（3）设的公比为，则由等比数列的性质知，，即．由与的等差中项为知，，．∴，即．，，．（4）通过，设公比为，将该式转化为，解得=－2，所以．【易错点】等比数列求和公式易记错【思维点拨】等比数列基本运算的解题方法（1）等比数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．（2）数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用，而和是等比数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．题型五等比数列的判定与证明例1已知数列满足=1，．证明是等比数列，并求的通项公式；【答案】见解析【解析】由得．又，所以是首项为，公比为的等比数列．，因此的通项公式为．【易错点】等比数列的定义证明方法【思维点拨】证明一个数列为等比数列常用方法：（1）定义法：（常数）或（常数）为等比数列.（2）等比中项法：为等比数列.（3）通项法：为等比数列.题型六等差数列等比数列求前项和例1在等比数列中，.（1）求；（2）设，求数列的前项和.【答案】见解析【解析】（1）设的公比为，依题意得，解得，因此，.（2）因为，∴数列的前项和.例2已知等差数列和等比数列满足，，（1）求的通项公式；（2）求和：.【答案】见解析【解析】（1）设的公差为，由，，得，所以.（2）由（1）知.设的公比为，由，，得，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以.【易错点】等比数列求和时项数的确定【思维点拨】（1）数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项.（2）通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之.题型七分组转化法求和例1在等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求的值．【答案】见解析【解析】（1）设等差数列的公差为．由已知得，解得．所以．（2）由（1）可得，所以.【易错点】通项求错以及等比数列的求和公式记错【思维点拨】若数列的通项公式为，且，为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列的前项和.题型八裂项相消法求和例1已知等差数列满足：，，的前n项和为．（1）求及；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】略【易错点】裂项时易出错，解不等式时也易出错【思维点拨】（1）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.（2）将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.【巩固训练】题型一等差数列的基本运算1.记为等差数列的前项和，若，，则（）A． B． C． D．【答案】【解析】设等差数列的公差为，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故选B．2.已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，，则的值为（） A．－110 B．－90C．90 D．110【答案】【解析】【解析】因为是与的等比中项，所以，又数列的公差为，所以，解得，故，所以．题型二等比数列的基本运算1.已知数列为等比数列，是是它的前n项和,若，且与2的等差中项为，则A．35B．33C．3lD．29【答案】【解析】设的公比为，则由等比数列的性质知，，即．由与2的等差中项为知，，．∴，即．，．2.等比数列的各项均为实数，其前项的和为，已知，，则=．【答案】【解析】设的公比为，由题意，由，所以，由，得，所以．3.已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于．【答案】【解析】由题意，，解得或，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和．题型三等差（比）数列的判定与证明1.已知数列中，，．设，求证：数列是等差数列．【答案】见解析【解析】证明：，∴是首项为，公差为的等差数列．题型四等差数列前项的最值1.记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．【答案】见解析【解析】(1)设的公差为，由题意得．由得．所以的通项公式为．(2)由(1)得．所以当时，取得最小值，最小值为．2.若等差数列满足，，则当__时的前项和最大．【答案】【解析】∵数列是等差数列，且，．又，∴．当时，其前项和最大．在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_________．【答案】【解析】由题意可知，当且仅当时取最大值，可得，解得．题型五数列的求和1.已知是等差数列，满足，，数列满足，，且为等比数列．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）（2）2.已知是首项为，公差为的等差数列，为的前项和.（1）求通项及；（2）设是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.【答案】（1）（2）3.等差数列前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足且，求的前项和.【答案】（1）（2）4.数列满足，，.（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）略（2）5.设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为q．已知，，，．（1）求数列，的通项公式；（2）当时，记，求数列的前项和．【答案】见解析【解析】（1）由题意有，即解得或故或（2）由，知，，故，于是，①.②-②可得，，故.新课程标准的内容与现形课标内容的对比如下表：必修课程主题学分课时包含的内容与现形课标的对照，在现形课标中的位置与现形课标对比，内容的不同主题一（预备知识）819集合A版：必修1第一章1.1节考查知识点基本不变B版：必修1第一章全部内容考查知识点基本不变常用逻辑用语（与A版内容较接近）A版：选修2-1第一章1.1节，1.2节，1.4节基本不变B版：选修2-1第一章1.1节，1.3节新课标增加了全称量词与存在量词一元二次函数、方程和不等式（与B版内容接近）A版：必修1第二章2.3节中与幂函数有关的一元二次函数提了出来必修5第二章3.1节，3.2节，3.4节中关于不等式的知识知识点基本不变不等式与现形课标相比少了二元一次不等式及线性规划B版：必修1第二章2.2节中的2.2.2，2.2.3中的一元二次函数知识必修5第三章3.1节，3.2节，3.3节，3.4节中的不等式知识基本不变主题二（函数及应用）54函数概念与性质（与A版内容接近）A版：必修1第一章1.2节，1.3节基本不变；函数的性质并入了三角函数来了解函数的周期性B版：必修1第二章2.1节增加了函数的最值与周期性幂函数、指数函数、对数函数（与A版内容接近）A版：必修1第二章2.1节，2.2节，2.3节基本不变B版：必修1第三章3.1节，3.2节，3.3节基本不变三角函数（与A，B版内容相差不大）A版：必修4第一章全部内容及第三章全部内容基本不变B版：必修4第一章全部内容及第三章全部内容基本不变函数综合应用（与A版内容接近）A版：必修1第三章全部内容基本不变B版：必修1第二章2.3节，2.4节增加了函数模型主题三（几何与代数）44平面向量及应用（与A，B版相差不大）A版：必修4第二章全部内容基本不变B版：必修4中第二章全部内容基本不变复数（与A版内容接近）A版：选修2-2第三章全部内容增加了选学内容“复数的三角表示”B版：选修2-2无教材立体几何初步（与B版内容接近）A版：必修2第一章全部内容及第二章全部内容基本不变B版：必修2第一章全部内容基本不变主题四（统计与概率）18统计（与A,B版内容相差不多）A版：必修3第二章2.1节，2.2节基本不变；知识点统计图表中加入了“梳理义务教育阶段学过的统计图表”B版：必修3第二章2.1节，2.2节基本不变概率（与A,B版内容相差不多）A版：必修3第三章全部内容基本不变B版：必修3第三章3.1节，3.2节，3.4节基本不变主题五（数学建模与数学探究）5数学建模与数学探究要求学生完成一个课题研究，包括选题、开题、做题、结题四个环节。学生需要撰写开题报告，根据选题内容，报告可以采用专题作业、测量报告、算法程序、制作的实物或研究论文等多种形式。在课题研究中逐步提升数学建模、数学抽象、数据分析、数学运算、逻辑推理和直观想象静养。数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容，这些内容不单独设置，渗透在每个模块或专题中。选修1主题一（函数及应用）632数列（与A版内容接近）A版：必修5第二章全部内容增加了“数学归纳法”B版：必修5第二章全部内容增加了“数学归纳法”一元函数导数及应用（与A版内容接近）A版：选修2-2第一章全部内容删掉了“生活中的优化问题举例”这一知识点微积分的创立与发展没有提到通过实例。B版：选修2-2无教材主题二（几何与代数）42空间向量与立体几（与B版内容接近）A版：选修2-1第三章全部内容基本不变；用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面距离问题这一知识点中加入了“能用框图描述解决这一类问题的思路”B版：选修2-1第三章全部内容同上平面解析几何（与A，B版内容相差不多）A版：必修2第三章全部内容及第四章全部内容选修2-1第二章全部内容基本不变B版：必修2第二章2.2节，2.3节选修2-1第二章全部内容基本不变主题三（统计与概率）26计数原理（与A版内容接近）A版：选修2-3第一章全部内容基本不变B版：选修2-3全部内容基本不变统计与概率（与A版内容接近）A版：选修2-3第二章全部内容、第三章全部内容及必修3第二章2.3节变量间的相关关系概率中“正态分布与超几何分布”要通过具体实例分析B版：选修2-3第二章全部内容、第三章全部内容及必修3第二章2.3节变量间的相关关系同上主题四（数学建模与数学探究）4数学建模与探究要求学生完成一个课题研究，也可以在必修“数学建模活动”或“数学探究活动”所作的研究基础上继续进行深入探究。按照必修部分的要求，完成开题、做题、结题的过程。如果选题不变，需要在研究报告中说明与必修研究的差异，深入研究所得到的新思路、新方法、新结果。选修2A2.5微积分A版：选修2-2第一章1.6节，1.7节内容的拓展、深化及部分增加内容增加了数列极限，函数极限等少量内容，内容划分的比较细，B版：缺少相对应内容的教材2空间几何与代数A版：选修4-2矩阵与