专题02 有理数综合运算（专项培优训练）（学生版）

专题02有理数综合运算（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟试卷难度：0.49一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•长春模拟）在算式（﹣1）□（﹣3）的“□”内填上下列运算符号，使计算结果最大，这个符号是（）A．+ B．﹣ C．× D．÷2．（2分）（2022秋•汝阳县期末）定义：x是一个有理数，若x≥0，则；若x＜0，则．这里称{x}为x的衍生数，则{2}+{﹣1}的值为（）A．3.5 B．2.5 C．1.5 D．0.53．（2分）（2023•威县校级一模）为了简化计算，算式可以化为（）A．﹣3×4﹣×4 B．﹣3×4+×4 C．﹣3×4+ D．﹣3﹣×44．（2分）（2022秋•大连期末）如图，有理数a、b、c、d在数轴上的对应点分别是A、B、C、D，若a、c互为相反数，则b+d（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不确定5．（2分）（2022秋•鼓楼区校级期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，x☆y＝m2x+ny﹣3（m，n为常数）．例如：4☆3＝m2×4+n×3﹣3＝4m2+3n﹣3．若2☆3＝3，则4☆6的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．（2分）（2022秋•新乡县校级期末）按如图的程序计算，若输出的结果是﹣3，则输入的符合要求的x有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个7．（2分）（2022秋•龙亭区校级期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取n＝26，则：若n＝23，则第2022次“F”运算的结果是（）A．74 B．37 C．92 D．238．（2分）（2021秋•红花岗区期末）定义一种新运算a⊙b＝（a+b）×2﹣b．如：2⊙3＝（2+3）×2﹣3＝7．计算（﹣5）⊙3的值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．﹣49．（2分）（2022秋•如皋市期中）取一个自然数，若它是奇数，则加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如，取自然数5，经过下面5步运算可得1，如图所示．563421如果自然数m恰好经过5步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个10．（2分）（2022秋•永嘉县校级月考）若，则计算的结果是（）A．﹣130 B．130 C．﹣290 D．290二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023春•黄浦区期中）如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，那么＝．12．（2分）（2022秋•安乡县期末）对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：＝ad﹣bc，则的值为．13．（2分）（2022秋•临县期末）若有理数a，b互为倒数，c，d互为相反数，则＝．14．（2分）（2022秋•秦淮区期末）计算的结果是．15．（2分）（2023春•宝安区校级期中）现定义运算“⊕”，对于任意有理数a，b，都有a⊕b＝a2﹣ab+b．例如：3⊕5＝32﹣3×5+5＝﹣1，由此可知x⊕（2+x）＝．16．（2分）（2022秋•通川区期末）规定如下两种运算：x⊗y＝2xy+1；x⊕y＝x+2y﹣1．例如：2⊗3＝2×2×3+1＝13；2⊕3＝2+2×3﹣1＝7．若a⊗（4⊕5）的值为79，则3a+2[3a﹣2（2a﹣1）]的值是．17．（2分）（2023春•长宁区期末）a为有理数，定义运算符号△：当a＞﹣2时，△a＝﹣a；当a＜﹣2时，△a＝a；当a＝﹣2时，△a＝0．根据这种运算，则△[4+△（2﹣5）]的值为．18．（2分）（2022秋•安岳县期末）定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把（a≠0）记作：aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①＝a．通过以上信息，请计算：2022②×（﹣）④+（﹣1）⑰＝．19．（2分）（2021春•梅州校级期中）为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令m＝1+2+22+23+…+2100，则2m＝2+22+23+…+2101，因此，2m﹣m＝2101﹣1，所以m＝2101﹣1．仿照以上推理计算：1+3+32+33+…+3100的值．20．（2分）（2013秋•成都期末）观察下列等式：＝×（1﹣），＝×（﹣），＝×（﹣），＝×（﹣），…根据你得出的规律写出第n个等式为，并根据该规律计算：+++…+＝．三．解答题（共7小题，满分60分）21．（8分）（2022秋•马尾区期末）计算：（1）；（2）．22．（8分）（2023•阜城县校级模拟）定义新运算“@”与“⊕”：a@b＝，a⊕b＝．（1）计算3@（﹣2）﹣（﹣2）⊕（﹣1）的值；（2）若A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b），B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b），比较A和B的大小．23．（8分）（2023•宣州区三模）请先阅读下列一组内容，然后解答问题：因为：所以：＝＝＝问题：计算：①；②．24．（8分）（2022秋•长沙期末）观察下列三个等式：，，，我们称使等式a﹣b＝ab成立的一对有理数a，b为“有趣数对”，记为（a，b），例如数对，，都是“有趣数对”，请回答下列问题：（1）数对是“有趣数对”吗？试说明理由．（2）若是“有趣数对”，求a的值．（3）若（2，m2+2m）是“有趣数对”，求10﹣6m2﹣12m的值．25．（8分）（2022秋•二七区期末）【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把记作：aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①＝a．【初步探究】（1）直接写出计算结果：2023②＝；（2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有；（横线上填写序号）A．任何非零数的圈2次方都等于1B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数C．圈n次方等于它本身的数是1或﹣1D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（3）请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式：aⓝ＝；（4）计算：﹣1⑧﹣142÷（﹣）④×（﹣7）⑥．26．（10分）（2023•城阳区校级一模）概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．初步探究（1）直接写出计算结果：2③＝，⑤＝；（2）关于除方，下列说法错误的是A．任何非零数的圈2次方都等于1；B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1；C.3④＝4③D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝；5⑥＝；⑩＝．（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于；（3）算一算：．27．（10分）（2022秋•朝阳区校级期中）探究规律，完成相关题目．定义“*”运算：（+2）*（+4）＝+（22+42）；（﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]；（﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]；（+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]；0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2；（+3）*0＝0*（