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文档简介
工业机器人课后作业
姓名:
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学号:
2014年4月
第三章作业
1.初始时坐标系{B}与参考系{A}重合,现将{B}先绕ZB轴旋转6角,然后
再绕XB轴旋转。角,求转动后的{B}对于{A}的旋转矩阵
解:R=Rot(z,0)Rot(x,6)
cose—sing0](100
sin。cos00cos°-sin。
01J10。
0sin(pcos(p
cose-sin。cos9sinBsine、
sin。coscos-sin0cos。
0sin*cos夕,
2.下图a给出了摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。要求把它们重新
摆放在图b所示位置。
(1)用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列,每个变换表示沿某个轴
平移或绕该轴旋转。在重置过程中,必须避免两楔形物体的碰撞。
解:(1)如图建立两个坐标系{。内,4}、MX2y2Z2}分别固结在
两个楔形物体上,如下图
对楔块1进行的变换矩阵为:
7;=Rof(z,9(T)RR(x,90);
对楔块2进行的变换矩阵为:
7;=Tra〃s(—3,0,9)Rof(Z,—90)77wis(0,5,0)R"(X,90)Rof(Z,180)
由matlab可以求出
0010、00-12
1000000
01000-109
000170001
⑵作图说明每个从右至左的变换序列。
解:
/
⑶作图说明每个从左至右的变换序列。
解:
3.求出类型2和类型3欧拉角表达的正逆运动学方程的解。
解:类型2的正运动学解
,cos°-sin。OYcos00sin^Ycos^-sin〃0、
R二sin。cos。0010sin-cos〃0
、00J1-sinO0cos®八00"
/cos°cos9cos〃-sin。sin〃-cos。cosOcos〃-sin0cos〃cos。sin6、
=sin^cos8cos,+cos。sini//一sin°cosOsini//+cos^cos“sin^sin0
。〃。
\-sinOcosi//sinsincos7
类?S3的正运动学解
'cos。一sin°OVcos60sin^V100、
R=sin。cos。00100cosy/-sin-
、001J1-sin。0cos。八0sin-cos”)
coscoscos^sinsin-sin^cosi//cos^sin^cos^+sin.sin-、
=sin°cos0sin°sin。sin收+cos^cos材sin(/)sinOcos夕-cos(/)sin〃
一。
\sincosOsin”cos^cosy//
类型2的逆运动学解
'%Ox(cos。sin。0](cos60sin。](cost//一sin〃0、
%44=一sin°cos。0010sin〃cos犷0
kooJ
、生q生,[一sin®0cos^)Ioo"
则
'cos。sin。[%q/、'COS。0sin,、“cos"-sin”0、
-sin^cos。a—010sini//cos〃0
o1Jlp.v?>
、°0【〃二qa-、一sin。0cos。.I001J
COS041
‘cos。6+sin/〃vcos敢4+sin00V+sin/a、.、(COS^COSI//-cos。sin少sin。'
一sin。"、+cos网=0一sin"、.+cos4q.-sin04+cos%7V=sin”cos〃0
n.oz71-sin9cos材一sinOsin夕cos。)
由(2,3)元素相等,则
-sin(/)ax+cos°Q)=0
得
「av~|
/.(/)=arctan-=arctan(«y,ax)
。的正负由定义知
由
-sin(/)ox+cos(/>oy=cos〃
-sin(/)nx+cos网=sin”
则
一sin。%+cos°〃,,
〃二arctan=arctan(-sin^nv+cos勿7、,,一sin+cos°q.)
-sin0q.+cos°ov
由
cos。/+sin0%,=sine
az=cos0
则
cos。%.+sin婀,
0=arctan=arctan(cos^v+sin(j)ciy,a_)
类型的逆运动学解
/3、
阳必应,cos°-sin。01(cosO0sin。、’100、
%4ay—sin。cos。00100cos——sin〃
、生q%I001J[一sin80cos。.、0sin〃cos夕,
则
cos。sin。0、‘%q。J'cos00sin。)00
-sin^cos。0ny°y%=0100cos-—sin”
00L"z>'-sin80cos。J1。sin〃cos”
cos勿(+sin(/>nycos+sin00Vcos血+sin°Q、.、cos6sin。sin〃sin&osy/、
一sin。%+cos由1V一sin血+cos。-sin(j)ax4-cos。。、=0cos”-sini//
o.【sin。cosOsin〃cosOcos%
由(2,1)元素相等,则
一sin(jm、4-cos。%=0
得
〃v
。=arctan=arctan(nv,nv)
。的正负由定义知
由cos。6.+sin(/)ny=cos6和%=一sin0
得
-n.
0=arctan=arctan(-〃N,cos°/\+sin°〃y)
cos°凡+sin(j)nx
又有
-sin(/)ox+cos°ov=cosy/
-sin(/)ax+cos(f)a、尸一sin〃
得
sin-cos。/
〃二arctan=arctan(sin^A-cos^av,-sin(j)ox+cos(j)oK)
—sin0q.+cos00V
4.求PUMA560机器人的逆运动学方程的解。
解:建立PUMA560机器人的D-H坐标系如图如下:
求各连杆变换矩阵如下:
c9\-s0}00c6,-帆00
第
sG00E001d
x|T.=2
z-0010L州-烟00
_0001_-0001_
-
c&-s030a2c4-烟0%
S33eg00o014
z24二
0010-烟-烟00
_0001_-0001_
C35-S3500叫-叫oo
00-10r0010
4T5r=
40
我也00-S06-C3600
00010001
求PUMA560机器人的逆运动学方程的解,则末端执行器的位姿已知,即
%%P」
ny0a
0TyPy
出0%P:其中/o,a,P为已知量;
0001
且有
%°x*Px
oT4.o4VPy
16。乐幻,⑸了小可)立(4)Z(幻立(4)
n.4出A
0001
则求关节变量夕7,92,93,04,95,。6的值。具体求解步骤如下:
1.求以
用逆变换°小他)左乘(式D两边:
°,】(硝°4]工©)7e)Z0)
s300n
lx%见px
0000&%%Py
一世cOx10%C%Pz
00010001
令矩阵方程两端的元素(2,4)对应相等,可得:
FPx+qPy=4
利用三角代换:Px="COS。Py=psin。
式中,P=NP;+P;;。=atan2(py,pj。带入可以得出ei的解:
«-(4/p)一
sin(。-4)=4/。;c0s(@_q)=土
i/jYI
=atan21--<
P\\P)
0}=atan2(py,p,)-qtan2@,±Jp;+P;-d;)
式中,正、负号对应于。I的两个可能解。
2.求93
在选定,的一个解之后,再令矩阵方程两端的元素(1,4)和(3,4)分别对
应相等,即得两方程:
C\PxPy=a3c23~d4s23+。2c2
~Px~〃3s23+d4c23+。2s2
结合式2与上式,消去%,可以求解得93为:
22
03-atan2(%,《)一〃tan2(女,±^tz3+-k)
式中正、负号对应4的两种可能解。
k=p:+p;+p;-s-d:
其中,
2%
3.求82
为求解求92,在矩阵方程(式1)两边左乘逆变换°写1:
。不(ace)ZJ小a)F@)Z0)
展开得
01。23防。23一%—Q2c3n%
x4Px
Q2s3
-。1$23-S]%一。23ny%%Py_3
Fq0%Oz%Pz
00010001
令矩阵方程两边的元素(1,4)和(2,4)分别对应相等可得:
C[C23Px+5]。23夕y一$23Pz—“2。3=”3
—323Px-SlS23Py-CTiPy+=4
联立求解得邑3和C23:
(一/一〃2。3)Pz+(GPx+51〃\,)(。253一。4)
s=----------------------------------------:------------------
<区+(「〃+")2
_(一4+〃2s3)Pz—(G〃X+M〃y)(一42c3一〃3)
〃;+(。1〃+邑夕了
由上式得
。23=。2+。3=〃tan2[一(%+〃2c3)Pz+(GP\+S]P\)(〃2s3-4),
(-4+)Pz+(qpx+S]Py)(%。3+〃3)]
根据4和4解的四种可能组合,由上式可以得到相应的四种可能值冬3,于
是可得到%的四种可能解:
式中,%取与,相对应的值。
4.求。4
因为式4-3的左边均为已知,令两边元素(1,3)和(3,3)分别对应相等,
则可得:
[axC\C23ayS\C23-/,23=4s5
1-4必+ayc]=s4s5
只要s5W0,便可求出e:
“二〃tan2(一。必+aycv-axc}c23+a.s23)
5.求05
据求出的4,可进一步解出四,将式1两端左乘逆变换°石,(a,4,4,4)
得:
=幻%0)
逆变换为:
qc23c4+町4S]C23c4一二久F3c4一。2c3c4+-43c4
02c3s4+4c4+43s4
-C]C2354+“FC23s4-C&S23s4
"3_4
一C|43-%%-C23
_0001
根据矩阵两边元素分别对应相等,可得:
&(C]C23c4+S|S4)+%G|C23c4-9、)一见(523c4)=一丛
%(一“23)+%(一网23)+生(-。23)二。5
由此得到05的解:
05=atan2(55,c5)
6.求。6
将式1改写沏岁他©,…,幻Z=Z0)
令上面矩阵方程两边元素分别对应相等可得:
—々•(CCsL-5£)一&(5«2354+qC4)+〃z(%S4)二§6
”」(qc23c4+册4)。5—qs23s5]+"y[($C23c4一。山尼—23s5】—“zl%。4c5+C23s5)=,6
从而可求出96的解:
4=atan2(S6,C6)
以上求解过程即是PUMA560机器人的逆运动学方程求解过程
至此,坏%%名、2、4都以求得。
5.对于下图所示三自由度机械手,其关节1与关节2轴线相交,
关节2与关节3轴线平行,各关节的正向转动角度如图标示,请建立该机械手
的D-H坐标系,并求其变换矩阵°A142,2A3。
坐标系建立如图:
关节转角杆长距离
扭角,
1000
4
2900L2
6
30L30
4
rclrl00、rc2一s200、rc3一s3013、
sicl0000-1LIs3c300
°4=?4=
0010=s2c2000010
J00J001,J00L
第四章作业
1、求图(a)所示的二连杆非平面机械臂的动力学方程。假设每个连杆的质量
为集中质量并处于连杆最外端;每个关节的粘性阻尼系数分别为bl,b20
解:
L=Ek-Ep
1•1•1•
2
=5g(/]GJ+—+/2cos^2)^J4--(Z2劣)?sing
I•i•i•
E.=5仿储4)2+5a[(4+4cos%)即2+]b式k%)2
则对于町来说,
ddLdLdEd
,出d技峋dA,
•••••・••
22
=mJ;4+m24(/1+12cos02)-2m20x(/t+12cos02)/2sin0202+〃+b2(l1+Z2cos02)0x
则对于胆来说
ddLdLdE.
E二---------------------------1------L
2dt地帆d在
•••2•
cosmcos
=叫/;%+?(4+4名)44sin02+i8k2+b2l;02
2、求图(b)所示具有分布质量的2自由度机器人的动力学方
程。
解:
(1)系统的动能:
1•2
Ek\=2/i^1
4=§/宿
x2=4G+0.5/2C12
%=/[S]+0.5/2S|2
%2=—,]$]a—0.5/>书(。|+仇)
y2=/£4-0.5/2C12(^I+^2)
对连杆2,其绕质心转动的动能为:
1]
E|+22
k2=-/2(^^)+]"“
.2.2
v;=X2+y2
2
=(/,+0.25Zf+/1/2C2)6»I+(0.25/;)6>2+(0.5/2+/1Z2C2)(91di
所以,系统的动能和势能为:
Ek=昂+%
1,~1••1
=5,仇+]/式61+仇)2+万网q
(//;+j]]・2]1•2ii1
——mJ;H—mJ112G)6i+—mJ:仇+—H—〃芍,0\Oi
622~~~\66~~)13322
Ep=Ep]+弓2="480-5/囚+m2g(4电+0.54512)
(3)Lagrange函数为:
L=E「Ep
•21
(-+—mJ.:+—mJ:+—ntylj2c2)仇02+1—+—0\02
2
一町gO.5/]S]+初2g(4M+0.5/24y12)
(4)求动力学方程:
q=
(I1->)I]\••••
I-niy+7/22)/;+〃%/:+112c2a+—ml^+—m/)/c仇一(m2〃2c2)仇仇
3222)22
.2
62+1;〃2|+〃?2)g/|C|+;1根2gLq
22
%
,21
2c2夕+万利g/2ci2
第七章作业
1.如图所示某工业机器人的双爪夹持器控制原理图。夹持器由直流电机
驱动,电机输出的旋转运动经齿轮传动带动两个手指。若每个手指的惯
量为J,线性摩擦阻尼系数为B,已知直流电动机的传递函数(输入为电
枢电压V,输出为电动机输出轴转矩Tm)为:
-1
V(s)L〃(s)+凡
其中,La,Ra分别为电枢绕组的电感和电阻。
(1)试证明以下等式并用系统参数表示K1,K2:
(2)利用(D的结果,画出以给定角%--------------6泸--------
图;
(3)如果采用比例控制器=七,),求出闭环系统的特征方程式。并确定0,
是否存在极限最大值?为什么?
解:(1)证明这里是输入,q和a是输出。
建立手指传动系统的传递函数如下:
Tm=J'0m+B'0m+K0m
2
其中/=1,“+//好+j,B'^Bm+B/?J+B分别表示传动系统对传动轴的总转动
惯量、总粘滞摩擦系数;(和纥表示电动机转子转动惯量及粘滞摩擦系数,并
且由于总刚度较小往往假设K=0;且77=%为减速比。
对上式拉氏变换得
7;($)=(/*+雨屐(s)
则代入J'和夕,有
—(§)=((,+J/+J)S2+(扁+B//+B)S)q“(5)
若不计电动机转子转动惯量及粘滞摩擦系数J,n和Bm,则可化简上式得
6=((J/rf+J)s2+(3/T+B)s)»,(5)
即有
2
7
Q,(s)1+772
7;,,(5)-5(75+B)
由系统结构有为=%=但,则/(s)=a(s)=〃a(s),故可以得出以下表达式
n
—(s)_1+77~即2J
s(Js+B)
咪
。2(5)=]+〃-
即
-s(Js+B)
可和(均是由系统参数〃决定的量。
(2)以给定角/为输入,以夕为输出的系统闭环方框图如下:
这里采用的是PID控制器。
(3)如果采用比例控制器(G=0,),求出闭环系统的特征方程式为
32
LaJs+(RuJ+LaB)s+RaBs+K,,(&+&)=0
系统能够正常运行的一个条件就是系统是稳定的,则根据劳斯稳定性判据得出
满足系统稳定性的条件。
①劳斯数列:
,3LJR“B
52(&J+L.B)£,(4+()
s0
(RJ+二)
5°£(&
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