2023届贵州省六校联盟高三实用性联考（四）数学试题（文）（解析版）

高级中学精品试卷PAGEPAGE1贵州省六校联盟2023届高三实用性联考（四）数学试题（文）一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设，，，求（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由已知可得，，所以.故选：B．2.已知复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以所以复数的共轭复数的虚部为，故选：C．3.从某班名同学中选出人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将名同学按、、、进行编号，然后从随机数表第一行的第列和第列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第个同学的编号为（）0347437386369647366146986371629774246292428114572042533237321676（注：表中数据为随机数表第一行和第二行）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗从随机数表第一行第列和第列数字开始往右依次选：、、、，选出的第个同学的编号为，故选：D．4.1707年Euler发现了指数与对数的互逆关系：当时，等价于.若，，则的值约为（）A.3.2190 B.2.3256 C.3.1775 D.2.7316〖答案〗A〖解析〗，，故选：A．5.已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗D〖解析〗A.若，则或异面，故A不正确；B.缺少垂直于交线这个条件，不能推出，故B不正确；C.由垂直关系可知，或相交，或是异面，故C不正确；D.因为，所以平面内存在直线，若，则，且，所以，故D正确.故选：D6.已知，，则（）A.-7 B. C.7 D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以，所以，所以故选：A．7.已知等比数列的前项和为，若，，则（）A.16 B.64 C.112 D.32〖答案〗D〖解析〗设的公比为，由已知，可得，解得，所以.故选：D．8.已知为自然对数的底数），，则的大小关系为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令，可得，令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，因为，，，所以，即.故选：C．9.中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由正弦定理可得，.要使有两解，即有两解，则应有，且，所以，所以.故选：B．10.已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为，则的方程为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗设，则，由已知有，，作差得，则，所以，解得，则的方程为.故选：D．11.在实际生活中，常常要用到如图①所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图②，用一个与圆柱底面所成角为的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图③的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象（如图④）.记该正弦型函数的最小正周期为，若椭圆的长轴长为，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设圆柱底面圆的半径为，因为椭圆截面与底面的夹角为，若椭圆的长轴长为，则，即，正弦型函数的最小正周期为圆柱的侧面展开图的底边边长，即圆柱的底面圆的周长，所以．故选：D.12.已知函数的定义域均为，且，若的图象关于直线对称，且，则（）A.5 B.4 C.3 D.0〖答案〗C〖解析〗∵的图象关于直线对称，∴，由知，，，∴，即，∴是偶函数，∴，即，由知，，即，∴，∴，所以，从而，即，所以的周期为，∵，∴，∵，∴，即，故选：C．二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，且，则__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，又因为，所以解得．故〖答案〗为：14.若实数满足约束条件，则的最大值为__________.〖答案〗〖解析〗画出约束条件所以表示的平面区域，如图所示，则目标函数，即为平面区域内一点与定点连线的斜率，由图形可知，当直线过两点时，斜率最大，即取得最大值，又由，解得，即，此时，即的最大值为.故〖答案〗为：.15.已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，则球的体积为__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，即，所以的外接圆半径为，在直三棱柱中，，设球的半径为，则，因此球的体积为．故〖答案〗为：.16.已知双曲线的左､右顶点分别为，直线与双曲线交于不同的两点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，双曲线的离心率__________.〖答案〗〖解析〗由双曲线，可得，设，则，且，所以，则，令，则，则，可得在上为减函数，在上为增函数，所以当时，最小，此时.故〖答案〗为：.三､解答题（共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知等差数列与等比数列满足，，，且既是和的等差中项，又是其等比中项.（1）求数列和的通项公式；（2）令，求证：.（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知可得，所以，，所以.因为既是和的等差中项，又是其等比中项，即，代入已知整理可得，解得，即，所以.（2）证明：由（1）可知，，所以.因为，故．18.中华人民共和国第十四届全国运动会､全国第十一届残运会暨第八届特奥会于2021年在中国陕西举行，为宣传全运会､特奥会，让更多的人了解体育运动项目和体育精神，某大学举办了全运会､特奥会知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）试根据频率分布直方图求出这100人中成绩低于60分的人数，并估计这100人的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；（2）若先采用分层抽样的方法从成绩在的学生中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人去社区开展全运会､特奥会宜传活动，求做宣传的这2名学生中，其中1人成绩在，另外1人成绩在的概率.解：（1）由频率分布直方图中数据知，成绩低于60分的人数为平均成绩．（2）因为成绩在的学生人数所占比例为，所以从成绩在的学生中应分别抽取4人，2人．记抽取成绩在的4人为，抽取成绩在的2人为．从这6人中随机抽取2人的所有可能为，，共15种，其中1人成绩在，另1人成绩在的有，共有8种，所以其中1人成绩在，另外1人成绩在的概率为．19.如图，已知正方体的棱长为分别为的中点.（1）已知点满足，求证四点共面；（2）求点到平面的距离.（1）证明：如图，作中点，连接，因为是平行四边形，所以，在中，为中位线，故，所以，故四点共面．（2）解：设到平面的距离为，点到平面的距离为，在中，．故的面积．同理，由三棱锥的体积，所以，得．故到平面的距离为．20.平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线分别交轨迹于点和，求四边形面积的最小值.解：（1）设，由题意有且，化简得，即．（2）当其中一条直线的斜率不存在时，则、一条为长轴长、另一条为过的通径长，令，则，可得，故通径长为，而长轴长为，易得．当直线的斜率存在且不为0时，设直线的斜率为，则直线为，，化简整理得，设，则，，，则直线的斜率为，同理，，令，则，当，即时等号成立，而，则四边形面积的最小值为.21.已知函数.（1）若在点处的切线方程为，求实数的值；（2）设.在（1）的条件下，若满足，求证：.（1）解：由题知：，，即切点为，所以该点处切线的斜率，则，故．（2）证明：由（1）知，则等价于，故，设，则，所以当时，，所以在上单调递增，所以，即当时，，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以，即，令，则，由有：，所以当，则在上为增函数，因为，所以，由有：，则，即．请考生在第22､23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．〖选修4-4：坐标系与参数方程〗22.在直角坐标系中，曲线参数方程为（为参数，）且曲线经过坐标原点，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的极坐标方程；（2）点极坐标为为上的一点，且满足，求．解：（1）由曲线的参数方程消去参数后得，的普通方程为，由曲线过原点且得；故的普通方程为，把，代入得的极坐标方程为．（2）由题意，在极坐标系中，点在曲线上，设．在中，由余弦定理有，即，化简得．故或．〖选修4-5：不等式选讲〗23.已知函数.（1）解不等式;（2）若,对任意,存在,使得成立,求实数的取值范围.解：（1）由,当时,,得,即;当时,,得成立,即;当时,,得,即;综上,不等式的解集是.（2）对任意的,存在,使得成立,等价于对任意的,存在,使得成立,即的值域是的值域的子集,,当且仅当,即时,等号成立,所以的值域为,因为,所以的值域为,所以,解得.所以的取值范围是.贵州省六校联盟2023届高三实用性联考（四）数学试题（文）一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设，，，求（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由已知可得，，所以.故选：B．2.已知复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以所以复数的共轭复数的虚部为，故选：C．3.从某班名同学中选出人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将名同学按、、、进行编号，然后从随机数表第一行的第列和第列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第个同学的编号为（）0347437386369647366146986371629774246292428114572042533237321676（注：表中数据为随机数表第一行和第二行）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗从随机数表第一行第列和第列数字开始往右依次选：、、、，选出的第个同学的编号为，故选：D．4.1707年Euler发现了指数与对数的互逆关系：当时，等价于.若，，则的值约为（）A.3.2190 B.2.3256 C.3.1775 D.2.7316〖答案〗A〖解析〗，，故选：A．5.已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗D〖解析〗A.若，则或异面，故A不正确；B.缺少垂直于交线这个条件，不能推出，故B不正确；C.由垂直关系可知，或相交，或是异面，故C不正确；D.因为，所以平面内存在直线，若，则，且，所以，故D正确.故选：D6.已知，，则（）A.-7 B. C.7 D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以，所以，所以故选：A．7.已知等比数列的前项和为，若，，则（）A.16 B.64 C.112 D.32〖答案〗D〖解析〗设的公比为，由已知，可得，解得，所以.故选：D．8.已知为自然对数的底数），，则的大小关系为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令，可得，令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，因为，，，所以，即.故选：C．9.中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由正弦定理可得，.要使有两解，即有两解，则应有，且，所以，所以.故选：B．10.已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为，则的方程为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗设，则，由已知有，，作差得，则，所以，解得，则的方程为.故选：D．11.在实际生活中，常常要用到如图①所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图②，用一个与圆柱底面所成角为的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图③的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象（如图④）.记该正弦型函数的最小正周期为，若椭圆的长轴长为，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设圆柱底面圆的半径为，因为椭圆截面与底面的夹角为，若椭圆的长轴长为，则，即，正弦型函数的最小正周期为圆柱的侧面展开图的底边边长，即圆柱的底面圆的周长，所以．故选：D.12.已知函数的定义域均为，且，若的图象关于直线对称，且，则（）A.5 B.4 C.3 D.0〖答案〗C〖解析〗∵的图象关于直线对称，∴，由知，，，∴，即，∴是偶函数，∴，即，由知，，即，∴，∴，所以，从而，即，所以的周期为，∵，∴，∵，∴，即，故选：C．二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，且，则__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，又因为，所以解得．故〖答案〗为：14.若实数满足约束条件，则的最大值为__________.〖答案〗〖解析〗画出约束条件所以表示的平面区域，如图所示，则目标函数，即为平面区域内一点与定点连线的斜率，由图形可知，当直线过两点时，斜率最大，即取得最大值，又由，解得，即，此时，即的最大值为.故〖答案〗为：.15.已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，则球的体积为__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，即，所以的外接圆半径为，在直三棱柱中，，设球的半径为，则，因此球的体积为．故〖答案〗为：.16.已知双曲线的左､右顶点分别为，直线与双曲线交于不同的两点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，双曲线的离心率__________.〖答案〗〖解析〗由双曲线，可得，设，则，且，所以，则，令，则，则，可得在上为减函数，在上为增函数，所以当时，最小，此时.故〖答案〗为：.三､解答题（共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知等差数列与等比数列满足，，，且既是和的等差中项，又是其等比中项.（1）求数列和的通项公式；（2）令，求证：.（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知可得，所以，，所以.因为既是和的等差中项，又是其等比中项，即，代入已知整理可得，解得，即，所以.（2）证明：由（1）可知，，所以.因为，故．18.中华人民共和国第十四届全国运动会､全国第十一届残运会暨第八届特奥会于2021年在中国陕西举行，为宣传全运会､特奥会，让更多的人了解体育运动项目和体育精神，某大学举办了全运会､特奥会知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）试根据频率分布直方图求出这100人中成绩低于60分的人数，并估计这100人的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；（2）若先采用分层抽样的方法从成绩在的学生中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人去社区开展全运会､特奥会宜传活动，求做宣传的这2名学生中，其中1人成绩在，另外1人成绩在的概率.解：（1）由频率分布直方图中数据知，成绩低于60分的人数为平均成绩．（2）因为成绩在的学生人数所占比例为，所以从成绩在的学生中应分别抽取4人，2人．记抽取成绩在的4人为，抽取成绩在的2人为．从这6人中随机抽取2人的所有可能为，，共15种，其中1人成绩在，另1人成绩在的有，共有8种，所以其中1人成绩在，另外1人成绩在的概率为．19.如图，已知正方体的棱长为分别为的中点.（1）已知点满足，求证四点共面；（2）求点到平面的距离.（1）证明：如图，作中点，连接，因为是平行四边形，所以，在中，为中位线，故，所以，故四点共面．（2）解：设到平面的距离为，点到平面的距离为，在中，．故的面积．同理，由三棱锥的体积，所以，得．故到平面的距离为．20.平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线分别交轨迹于点和，求四边形面积的最小值.解：（1）设，由题意有且，化简得，即．（2）当