2023届上海市闵行区高三二模数学试题（解析版）

高级中学精品试卷PAGEPAGE1上海市闵行区2023届高三二模数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.设全集，集合，则________．〖答案〗〖解析〗由补集的含义得，故〖答案〗为：.2.若实数、满足、，则______________．〖答案〗〖解析〗由，得，所以，故〖答案〗为：.3.已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为_____________．〖答案〗〖解析〗由得：，的虚部为.故〖答案〗为：.4.已知圆柱的底面积为9π，侧面积为12π，则该圆柱的体积为_____________．〖答案〗18π〖解析〗设圆柱底面半径为，高为，由题意，解得，所以体积为．故〖答案〗为：．5.已知常数，的二项展开式中项的系数是，则的值为_____________．〖答案〗〖解析〗由已知，则其展开式的通项为，又其二项展开式中项的系数是，则令，即，，又，所以，故〖答案〗为：.6.已知事件A与事件B互斥，如果，，那么_____________．〖答案〗0.2〖解析〗由题意．故〖答案〗为：0.2.7.今年春季流感爆发期间，某医院准备将2名医生和4名护士分配到两所学校，给学校老师和学生接种流感疫苗．若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法数为______．〖答案〗12〖解析〗从2位医生中选1人，从4位护士中选2人，分到第一所学校，有＝12种方法，剩下的1位医生和剩下的2位护士只能分到第二所学校，只有1种方法，根据分步计数原理得不同的分配方法共有×1＝12种.故〖答案〗为：12.8._____________．〖答案〗〖解析〗设函数，则；.故〖答案〗为：.9.若关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是_____________．〖答案〗〖解析〗因为关于的方程在实数范围内有解，即在实数范围内有解，令，，则问题转化为与有交点，因为与在定义域上单调递增，所以在上单调递增，又，所以，则.故〖答案〗为：10.已知在等比数列中，、分别是函数的两个驻点，则_____________．〖答案〗〖解析〗由题意可得：，则、是函数的零点，则，且为等比数列，设公比为，可得，解得，注意到，可得.故〖答案〗为：.11.已知抛物线：，圆：，点M的坐标为，P、Q分别为、上的动点，且满足，则点P的横坐标的取值范围是_____________．〖答案〗〖解析〗圆：的圆心，半径，设点，有，依题意，，当且仅当三点共线时取等号，而，即有，于是，即，整理得，解得，所以点P横坐标的取值范围是.故〖答案〗为：12.平面上有一组互不相等的单位向量，，…，，若存在单位向量满足，则称是向量组，，…，的平衡向量．已知，向量是向量组，，的平衡向量，当取得最大值时，值为_____________．〖答案〗〖解析〗设，由，得，即，由题意可得，即，即，为使最大，则两向量的方向相同，即两向量的方向相同，也即，所以，设直线与直线交于点，，则，因为，所以，如图所示，，所以，即，如图所示，，所以，即，综上所述，.故〖答案〗为：..二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗A.定义域为R，且，则为偶函数，故错误；B.则为奇函数，故错误；C.定义域为R，且，则为偶函数，故错误；D.定义域为R，且，则既不是奇函数，也不是偶函数，故正确；故选：D14.在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有3000人参加考试．为了解本次考试学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n．按照，，，，的分组作出频率分布直方图（如图所示）．已知成绩落在内的人数为16，则下列结论正确的是（）A.样本容量B.图中C.估计全体学生该学科成绩的平均分为70.6分D.若将该学科成绩由高到低排序，前15%的学生该学科成绩为A等，则成绩为78分的学生该学科成绩肯定不是A等〖答案〗C〖解析〗由频率分布直方图可得：，，，，的频率依次为.对于A：∵成绩落在内的人数为16，则，解得，故A错误；对B：由频率可得，解得，故B错误；对C：由选项B可得：成绩落在的频率为，估计全体学生该学科成绩的平均分分，故C正确；对D：设该学科成绩为A等的最低分数为，∵，，的频率依次为，即，可知，则，解得，虽然，但是估计值，有可能出现没有学生考到分的情况（学生成绩均为正整数），这种情况下成绩为78分的学生该学科成绩可以是A等，D错误；故选：C.15.已知，若存在正整数n，使函数在区间内有2023个零点，则实数a所有可能的值为（）A.1 B.－1 C.0 D.1或－1〖答案〗B〖解析〗令，令，则，即，∵，则关于t的方程有两个不相等的实根，设为，令，可得，则有：1.若，即和，结合正弦函数图象可知：在内有两个不相等的实数根，无实数根，故对任意正整数n，在内有偶数个零点，不合题意；2.若，即和，结合正弦函数图象可知：无实数根，在内有两个不相等的实数根，故对任意正整数n，在内有偶数个零点，不合题意；3若，即和，结合正弦函数图象可知：在内有两个不相等的实数根，在内有两个不相等的实数根，故对任意正整数n，在内有偶数个零点，不合题意；4.若，即和，结合正弦函数图象可知：在内有两个不相等的实数根，在内有且仅有一个实数根，①对任意正奇数n，在内有个零点，由题意可得，解得，不合题意；②对任意正偶数n，在内有个零点，由题意可得，解得，不合题意；5.若，即和，结合正弦函数图象可知：在内有且仅有一个实数根，在内有两个不相等的实数根，①对任意正奇数n，在内有个零点，由题意可得，解得，符合题意；②对任意正偶数n，在内有个零点，由题意可得，解得，不合题意；综上所述：当，时，符合题意.此时，解得.故选：B.16.若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（）A.存在等差数列，使得是的“M数列”B.存在等比数列，使得是的“M数列”C.存在等差数列，使得是的“M数列”D.存在等比数列，使得是的“M数列”〖答案〗C〖解析〗对于A：例如，则为等差数列，且、均为严格增数列，可得，则，取，则，即成立，所以是的“M数列”，故A为真命题；对B：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，可得，则，取，则，即成立，所以是的“M数列”，故B为真命题；对于C：若存在等差数列，使得是的“M数列”，设等差数列的公差为，∵、均为严格增数列，则，故，取满足，可知必存在，使得成立，当时，对任意正整数，则有；对任意正整数，则有；故不存在正整数，使得，故C为假命题；对D：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，可得，则，取，则，即成立，所以是的“M数列”，故D为真命题；故选：C.三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题.17.在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，．（1）求的值；（2）求的面积．解：（1）在中，由正弦定理，又，所以，即，解得；（2）由（1）得，则，又由余弦定理，，解得，所以.18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD矩形，PD⊥平面ABCD，，，点E在线段AB上，且．（1）求证：CE⊥平面PBD；（2）求二面角P－CE－A的余弦值．（1）证明：设BD与CE相交于点H，因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，由，，得，因此，，可得，因为，所以，即，又因为，，平面,所以CE⊥平面PBD；（2）解：如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则，，，所以，，设平面PCE的一个法向量，则，即，令，则，，于是，平面ACE的一个法向量为，则，由图形可知二面角P－CE－A为锐角，所以二面角P－CE－A的余弦值是．19.在临床检测试验中，某地用某种抗原来诊断试验者是否患有某种疾病．设事件表示试验者的检测结果为阳性，事件表示试验者患有此疾病，据临床统计显示，，．已知该地人群中患有此种疾病的概率为．（下列两小题计算结果中的概率值精确到）（1）对该地某人进行抗原检测，求事件与同时发生的概率；（2）对该地个患有此疾病患者进行抗原检测，用随机变量表示检测结果为阳性的人数，求的分布和期望．解：（1）由题意知：，，即事件与同时发生的概率为.（2），，所有可能的取值为，；；；；的分布为，数学期望.20.已知O为坐标原点，曲线：和曲线：有公共点，直线：与曲线的左支相交于A、B两点，线段AB的中点为M．（1）若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率和渐近线方程；（2）若直线OM经过曲线上的点，且为正整数，求a的值；（3）若直线：与曲线相交于C、D两点，且直线OM经过线段CD中点N，求证：．（1）解：因为曲线和有且仅有两个公共点，所以曲线和的两公共点为左右顶点，则，曲线的半焦距，所以曲线的离心率，渐近线方程为；（2）解：联立，得，设，则，所以，，故直线OM的方程为，依题意直线OM经过点，代入得，则，所以，因为直线与曲线的左支相交于两点，故，得，则，所以，又曲线和有公共点，所以，所以，又为正整数，所以，所以；（3）证明：由（2）可得，同理，联立直线：与曲线：，可得，因为，所以，又因为，所以，即．21.如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”．已知，设曲线在点处的切线为．（1）当时，求实数的值；（2）当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由；（3）当时，如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数的集合；若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围．解：（1）由题设，函数定义域为，且，由，则；（2）当时，，则，即的斜率，假设存在，则的斜率，则有解，即在上有解，该方程化简为，解得或，符合要求，因此该函数存在另外一条与垂直的切线；（3），令，则，当时，单调递减；当时，单调递增；设曲线的另一条切线的斜率为，①当时，，显然不存在，即不存在两条相互垂直的切线；②当时，，且，趋近于或趋向于正无穷大时，都趋向于正无穷大，所以在、上各有一个零点、，故当或时，都有当时，故必存在，即曲线存在相互垂直的两条切线，所以因为，由②知，曲线存在相互垂直的两条切线，不妨设，，满足，即，又，，所以，故，当且仅当时等号成立，所以，解得，又，即，解得，因为，，所以．综上可知，对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围是．上海市闵行区2023届高三二模数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.设全集，集合，则________．〖答案〗〖解析〗由补集的含义得，故〖答案〗为：.2.若实数、满足、，则______________．〖答案〗〖解析〗由，得，所以，故〖答案〗为：.3.已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为_____________．〖答案〗〖解析〗由得：，的虚部为.故〖答案〗为：.4.已知圆柱的底面积为9π，侧面积为12π，则该圆柱的体积为_____________．〖答案〗18π〖解析〗设圆柱底面半径为，高为，由题意，解得，所以体积为．故〖答案〗为：．5.已知常数，的二项展开式中项的系数是，则的值为_____________．〖答案〗〖解析〗由已知，则其展开式的通项为，又其二项展开式中项的系数是，则令，即，，又，所以，故〖答案〗为：.6.已知事件A与事件B互斥，如果，，那么_____________．〖答案〗0.2〖解析〗由题意．故〖答案〗为：0.2.7.今年春季流感爆发期间，某医院准备将2名医生和4名护士分配到两所学校，给学校老师和学生接种流感疫苗．若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法数为______．〖答案〗12〖解析〗从2位医生中选1人，从4位护士中选2人，分到第一所学校，有＝12种方法，剩下的1位医生和剩下的2位护士只能分到第二所学校，只有1种方法，根据分步计数原理得不同的分配方法共有×1＝12种.故〖答案〗为：12.8._____________．〖答案〗〖解析〗设函数，则；.故〖答案〗为：.9.若关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是_____________．〖答案〗〖解析〗因为关于的方程在实数范围内有解，即在实数范围内有解，令，，则问题转化为与有交点，因为与在定义域上单调递增，所以在上单调递增，又，所以，则.故〖答案〗为：10.已知在等比数列中，、分别是函数的两个驻点，则_____________．〖答案〗〖解析〗由题意可得：，则、是函数的零点，则，且为等比数列，设公比为，可得，解得，注意到，可得.故〖答案〗为：.11.已知抛物线：，圆：，点M的坐标为，P、Q分别为、上的动点，且满足，则点P的横坐标的取值范围是_____________．〖答案〗〖解析〗圆：的圆心，半径，设点，有，依题意，，当且仅当三点共线时取等号，而，即有，于是，即，整理得，解得，所以点P横坐标的取值范围是.故〖答案〗为：12.平面上有一组互不相等的单位向量，，…，，若存在单位向量满足，则称是向量组，，…，的平衡向量．已知，向量是向量组，，的平衡向量，当取得最大值时，值为_____________．〖答案〗〖解析〗设，由，得，即，由题意可得，即，即，为使最大，则两向量的方向相同，即两向量的方向相同，也即，所以，设直线与直线交于点，，则，因为，所以，如图所示，，所以，即，如图所示，，所以，即，综上所述，.故〖答案〗为：..二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗A.定义域为R，且，则为偶函数，故错误；B.则为奇函数，故错误；C.定义域为R，且，则为偶函数，故错误；D.定义域为R，且，则既不是奇函数，也不是偶函数，故正确；故选：D14.在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有3000人参加考试．为了解本次考试学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n．按照，，，，的分组作出频率分布直方图（如图所示）．已知成绩落在内的人数为16，则下列结论正确的是（）A.样本容量B.图中C.估计全体学生该学科成绩的平均分为70.6分D.若将该学科成绩由高到低排序，前15%的学生该学科成绩为A等，则成绩为78分的学生该学科成绩肯定不是A等〖答案〗C〖解析〗由频率分布直方图可得：，，，，的频率依次为.对于A：∵成绩落在内的人数为16，则，解得，故A错误；对B：由频率可得，解得，故B错误；对C：由选项B可得：成绩落在的频率为，估计全体学生该学科成绩的平均分分，故C正确；对D：设该学科成绩为A等的最低分数为，∵，，的频率依次为，即，可知，则，解得，虽然，但是估计值，有可能出现没有学生考到分的情况（学生成绩均为正整数），这种情况下成绩为78分的学生该学科成绩可以是A等，D错误；故选：C.15.已知，若存在正整数n，使函数在区间内有2023个零点，则实数a所有可能的值为（）A.1 B.－1 C.0 D.1或－1〖答案〗B〖解析〗令，令，则，即，∵，则关于t的方程有两个不相等的实根，设为，令，可得，则有：1.若，即和，结合正弦函数图象可知：在内有两个不相等的实数根，无实数根，故对任意正整数n，在内有偶数个零点，不合题意；2.若，即和，结合正弦函数图象可知：无实数根，在内有两个不相等的实数根，故对任意正整数n，在内有偶数个零点，不合题意；3若，即和，结合正弦函数图象可知：在内有两个不相等的实数根，在内有两个不相等的实数根，故对任意正整数n，在内有偶数个零点，不合题意；4.若，即和，结合正弦函数图象可知：在内有两个不相等的实数根，在内有且仅有一个实数根，①对任意正奇数n，在内有个零点，由题意可得，解得，不合题意；②对任意正偶数n，在内有个零点，由题意可得，解得，不合题意；5.若，即和，结合正弦函数图象可知：在内有且仅有一个实数根，在内有两个不相等的实数根，①对任意正奇数n，在内有个零点，由题意可得，解得，符合题意；②对任意正偶数n，在内有个零点，由题意可得，解得，不合题意；综上所述：当，时，符合题意.此时，解得.故选：B.16.若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（）A.存在等差数列，使得是的“M数列”B.存在等比数列，使得是的“M数列”C.存在等差数列，使得是的“M数列”D.存在等比数列，使得是的“M数列”〖答案〗C〖解析〗对于A：例如，则为等差数列，且、均为严格增数列，可得，则，取，则，即成立，所以是的“M数列”，故A为真命题；对B：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，可得，则，取，则，即成立，所以是的“M数列”，故B为真命题；对于C：若存在等差数列，使得是的“M数列”，设等差数列的公差为，∵、均为严格增数列，则，故，取满足，可知必存在，使得成立，当时，对任意正整数，则有；对任意正整数，则有；故不存在正整数，使得，故C为假命题；对D：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，可得，则，取，则，即成立，所以是的“M数列”，故D为真命题；故选：C.三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题.17.在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，．（1）求的值；（2）求的面积．解：（1）在中，由正弦定理，又，所以，即，解得；（2）由（1）得，则，又由余弦定理，，解得，所以.18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD矩形，PD⊥平面ABCD，，，点E在线段AB上，且．（1）求证：CE⊥平面PBD；（2）求二面角P－CE－A的余弦值．（1）证明：设BD与CE相交于点H，因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，由，，得，因此，，可得，因为，所以，即，又因为，，平面,所以CE⊥平面PBD；（2）解：如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则，，，所以，，设平面PCE的一个法向量，则，即，令，则，，于是，平面ACE的一个法向量为，则，由图形可知二面角P－CE－A为锐角，所以二面角P－CE－A的余弦值是．19.在临床检测试验中，某地用某种抗原来诊断试验者是否患有某种疾病．设事件表示试验者的检测结果为阳性，事件表示试验者患有此疾病，据临床统计显示，，．已知该地人群中患有此种疾病的概率为．（下列两小题计算结果中的概率值精确到）（1）对该地某人进行抗原检测，求事件与同时发生的概率；（2）对该地个患有此疾病患者进行抗原检测，用随机变量表示检测结果为阳性的人数，求的分