河北省景县中学2022年数学高一年级上册期末统考试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.)

1.在四面体A—3C。中，已知棱AC的长为逝，其余各棱长都为1,则二面角A—CO—6的平面角的余弦值为()

11

A.—B.-

23

「V3

-D.也

33

(x+l)~,0

2.已知函数〃力=

hI八，若方程f(X)=2有四个不同的解Xl,X2,X3,X4,且XlVx2VX3VX4,则

|log2x|,x>0

,、1

工3(王+工2)+1一的取值范围为()

石龙4

A.(-1,+8)B.(-1,1]

C.(-00,1)1)

3.已知函数/(x)=l—2',g(x)=》2—4x+3,若存在实数4，人使得/(a)=g3),则b的取值范围是。

A.[2-V2,2+V2]B.(2-72,2+72)

C.11,3]D.(1,3)

4.已知函数/")=才-"3>0且。声1),若/§)>],则函数f(x)的单调递减区间是

A.[-2,1]B.[1,3]

c.[1,-HX)D.y,i]

jr

5.命题“Vx£(0,i),sinxKx”的否定是()

71.7T

A.Vxe(0,—),sinx>xB.VXG(0,—),sinx>x

22

7T

C.HXG(0,—),sinx<xD.3xe(0,—),sinx>x

22

6.已知a与B分别是函数f(x)=2*+x—5与g(x)=log8x3+x—5的零点，则2a+log?。的值为()

A.4+log,3B.2+log23

C.4D.5

7.函数y=G：2+法与〉=(a+。卜心工0)的图象可能是()

8.已知函数f(x)是定义域为R奇函数，当xNO时，/(x)=ln(l+x2)+x,则不等式f(2%+1)>/⑴的解集为

A.{x|x>0)B.{x|x<0}

C.{x|x>l}D.{x|x<l}

9.三个数a=7"=0.37,C=In0.3大小的顺序是

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>a>cD.c>a>h

10.已知圆C与直线>=x及x-y—4=0都相切，圆心在直线丁=一刀上，则圆C的方程为。

A.(x+l)2+(y-l)2=2B.(x+l)2+(y+l)2=2

C.(x-l>+(y-=2D.(x-l)2+(y+l)2=2

二、填空题(本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上)

11.在平行四边形ABCD中，E为AB上的中点，若OE与对角线AC相交于尸，且前=4通，则2=

12.已知正数x、y满足x+5=4,则孙的最大值为.

13.设函数/(x)=3'—「3>()且a工1)是定义域为R的奇函数；

(1)若/.。)>0,判断“力的单调性并求不等式〃x+2)+/(x—6)>0的解集；

2x2x

⑵若〃l)=g,S.f>(x)=a+a-2f(X),求g(x)在［1,+⑹上的最小值

14,函数/（幻=35（/式+工）（％€氏0＞0）的最小正周期为乃，将y=/（x）的图象向左平移以0＜夕＜3）个单位长

4/

度，所得图象关于原点对称，则夕的值为

15.如图，在长方体ABC。一ABiGQ中，AB=3cm,AD=2cm,A4,=\cm,则三棱锥与-AB"的体积

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

16.化简求值：

2sin（。-3）cos（e+［）-l兀

⑴---------2--------2----+tan（6+—）*

l-2sin2（^+^）4

（2）已知a,4都为锐角，sina=：,cos（a+p）=2，求cos仅值。

17.某学校高一学生有1000名学生参加一次数学小测验，随机抽取200名学生的测验成绩得如图所示的频率分布直方

图：

7sss9SIB115123h/用悼馍

(1)求该学校高一学生随机抽取的200名学生的数学平均成绩元和标准差s(同一组中的数据用该组区间的中点值做

代表);

(2)试估计该校高一学生在这一次的数学测验成绩在区间［元-2s,元+2s］之内的概率是多少？测验成绩在区间

［工一2s,H+2s］之外有多少位学生？(参考数据：V26«5.1)

18.已知向量2=(3,2),2),c=(4,1)

(1)若5=,求m，”的值；

(2)若向量2满足(，工)//(M+B)，1”工1=26，求2的坐标.

19.已知函数/(力=矍9是定义在R上的奇函数，且/(£|=|.

(1)确定函数/(x)的解析式，判断并证明函数/(x)在(1,3)上的单调性；

(2)若存在实数。，使得不等式〃sin"2)+/(2sin2e+l+f)<0成立，求正实数，的取值范围.

20.已知函数”刈=匕竺二-是定义在R上的偶函数，且/(2)=-

(1)求实数。力的值，并证明/R)=-/(x)(xw0)；

(2)用定义法证明函数”X)在(一纪,0)上增函数；

(3)解关于x的不等式/(4*+2，)+/［£|<0.

A

21.证明：函数/&)=广4^一1］是奇函数.

参考答案

一、选择题(本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.)

1、C

由已知可得ADJ_DC

又由其余各棱长都为1得正三角形BCD,取CD得中点E,连BE,则BE_LCD

在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F,则/BEF为二面角A-CD-B的平面角

VEF=-（三角形ACD的中位线），BE=^（正三角形BCD的高），BF=Y2（等腰RT三角形ABC,F是斜边中点）

222

131

EF2+BE2-BF24+4-2G

:.cosZBEF=—~~~——=------7==——

2xBExEFy/313

2xx

22

故选C.

2、B

【解析】由方程f（x）=a,得到Xi,X2关于x=-l对称，且X3X,=1；化简龙3（/内+々\）+<1=-c2%+一1,利用数

形结合进行求解即可

【详解】作函数f（x）的图象如图所示，•.•方程f（X）=2有四个不同的解X”X2,X3,X4,且XIVX2VX3VX4,

.,.Xi,xz关于x=-l对称，即Xi+X2=-2,O<X3<I<X4JM|log2x31=Ilog2X41,

RP-10g2X3=10g2X4>Uli10g2X3+10g2X4=0,即hg2X3X4=0,JH!|X3X4=1；

当Ilog2x|=1得x=2或;，贝！J1<XW2；gwxsVl；

故》3（玉+“2）+高7=-2七+不，5”曰<1;

111

则函数y=-2x3+—,在不Wx3Vl上为减函数，则故当X3=J取得y取最大值y=L

当X3=l时，函数值尸-1.即函数取值范围（-1,1]

故选B

【点睛】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键，属于中

档题

3、B

【解析】根据给定条件求出函数/a)的值域，由g3)在此值域内解不等式即可作答.

【详解】因函数y=2'的值域是(0,+8),于是得函数了(幻=1-2'的值域是(一8,1),

因存在实数“，人使得/(a)=g3),贝UgS)=/(a)e(i,l),

因此，〃一4/J+3<1,解得2-&<。<2+及，

所以6的取值范围是(2-0,2+夜).

故选：B

4、D

【解析】由判断”取值范围，再由复合函数单调性的原则求得函数的单调递减区间

【详解】/(()=&>1,所以4>1,则>="为单调增函数，又因为，=k一1|在(-8,1］上单调递减，在(1,+?)上

单调递增，所以.〃x)=/T的单调减区间为选择D

【点睛】复合函数的单调性判断遵循“同增异减”的原则，所以需先判断构成复合函数的两个函数的单调性，再判断

原函数的单调性

5、D

【解析】直接利用全称命题的否定为特称命题进行求解.

TT

【详解】命题“Vxe(0,耳)，sinxWx”为全称命题，

按照改量词否结论的法则，

所以否定为：女€(0,£),sinx>x,

2

故选：D

6、D

【解析】设2*=5—x,log2x=5-x,由y=2x,y=log?*互为反函数，其图象关于直线y=x对称，作直线

y=5-x,分别交y=2"y=的图象为A,B两点，P(x,y)点为A,B的中点，

联立方程得x=1,由中点坐标公式得：a+p=5,又2"+log2B=(5—a)+(5-B)=10—(a+B)=5,故得解

【详解】解：由g(x)=log8x3+x-5,化简得g(x)=log2X+x-5,

设2、=5—x,log2x=5-x,

由y=2x,y=log2X互为反函数，其图象关于直线y=x对称,

作直线y=5-x,分别交y=2x,y=logzx的图象为A,B两点，P(x,y)点为A,B的中点,

由中点坐标公式得：a+p=5,

所以Z^+Iog2P=（5—a）+（5—p）=10—（a+p）=5,

故选D

【点睛】本题考查了反函数、中点坐标公式及函数的零点等知识，属于难题.

7,D

【解析】注意到两函数图象与x轴的交点，由排除法可得.

【详解】令以2+笈=0,得％=()或x=—2,则函数丫=以2+"过原点，排除A；

a

/7h

令⑪+〃=0,得1=--,故函数y=+>都过点(---,0),排除BC.

aa

故选：D

8、A

【解析】根据题意，由函数的解析式分析可得，(力在((),+")为增函数且/(())=0,结合函数的奇偶性分析可得/(x)

在R上为增函数，又由/(2x+l)>/(l),则有2x+l>l,解可得x的取值范围，即可得答案.

【详解】根据题意，当x»()时，/(x)=ln(l+*2)+%,则/(力在［0,+8)为增函数且f(0)=0,

又由/(x)是定义/?在上的奇函数，贝！I/(x)在(-8,0)上也为增函数,

则/(x)在R上为增函数,

由〃2x+l)>/(l),则有2x+l>l,解得：%>0,即不等式的解集为(0,+“)；

故选：A

【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性结合，解抽象函数不等式，有一定难度.

9、B

【解析】根据指数函数和对数函数的单调性知：。=7°3>7°=1，即a>l；0<Z?=0,37<0,3°=1.即0〈匕<1；

c=ln0.3<lnl=0,即c<0；所以a>匕>c,故正确答案为选项B

考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法

10、D

【解析】根据圆心在直线y=-x上，设圆心坐标为(。,一。)，然后根据圆c与直线〉=*及％-丁—4=o都相切，由

\a+a\\a+a-A\

求解.

亚

【详解】因为圆心在直线y=一》上,

设圆心坐标为(a,-a),

因为圆C与直线>=x及X—y—4=0都相切,

\a+a\|a+a-4|

所以

V2

解得。=1，

...圆心坐标为(1,一1),

又卷=2R,

**•R—>/2>

圆的方程为(x—l)2+(y+l)2=2,

故选：D.

二、填空题(本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上)

11>3

【解析】由题意如图：

根据平行线分线段成比例定理，可知=又因为NAEE=NDfC,所以根据三角形相似判定方法

可以知道AAFESAC/T)

E为AB的中点

.••相似比为1:2

:.AF:FC=1:2

/.2=3

故答案为3

12、8

【解析】根据孙=2xx-],利用基本不等式即可得出答案.

【详解】解：xy=2x%.—<2x—fx+—=2x—x42=8>

24(4

当且仅当x=],即x=2,y=4时，取等号，

所以孙的最大值为8.

故答案为：8.

13、(1)/(x)是增函数，解集是{x|x>2}

⑵-

4

【解析】(1)根据函数/(力为奇函数，求得Z=l,得到/(力=优一，*,由/(1)>0,求得a>l,得到/(x)是

增函数，把不等式转化为“％+2)>/(6-力，结合单调性，即可求解;

(2)由/(I),,求得a=2,得到"%)=2,-2-，，得出g(x)=22*+2小—2(2，-2-*),

令f=2r-2-x，结合指数函数的性质和换元法，即可求解.

【小问1详解】

解：因为函数/(x)=kax-a\a>()且aw1)是定义域为R的奇函数，

可得了(―%)=—/(%)»即kux—ux——ku'+a'，

xx

可得(2—1)/=(1—攵)优，所以Z=l,^f[x)=a-a9

由/(I)>0,可得a-->0且a>0且arl,解得a>l,

a

所以〃x)=尸是增函数，

又由/(x+2)+/(x_6)>0,可得/(x+2)>_./'(x-6)=/(6-x),

所以x+2>6—x,解得x>2,所以不等式的解集是{幻》>2}

【小问2详解】

解：由函数〃6=优一尸，

因为/(l)=g，即a—：=；且4>0,解得a=2,所以/(力=2'-2-”,

由g(x)=/+a-2x_2/(%)=22A'+—2(2*—27),

3

令f=2，-2,则由⑴得£=/(力在口,物)上是增函数，故后2】+2-|=],

则g(x)=m«)=*-2r+2=(r-l)2+l在feq+司单调递增，

所以函数m(x)的最小值为俏士=--2x-+2=-,

⑶⑴24

即g(x)在[1,例)上最小值为$

71

14、—

8

【解析】由题意知，先明确。值，该函数平移后为奇函数，根据奇函数性质得图象过原点，由此即可求得9值

TT

【详解】...函数/⑺=3(8+#4尺0>°)的最小正周期为历

:.co=—=2,即/(x)=cos(2x+—)(xGR),

714

将y=/(x)的图象向左平移夕(0<9<g个单位长度,

所得函数为g(x)=cos2(x+0)+?=cosl2x+2^+^I,

又所得图象关于原点对称，

冗冗

：•2cp4——k,7l~\—，攵£Z,

42

k7l冗、rrc式

即O=---1——,keZ,又0<夕<一,

282

IT

故答案为：g

O

【点睛】本题考查函数y=Asin((ox+(p)的图象变换，考查奇偶函数的性质，要熟练掌握图象变换的方法

15、1

【解析】根据题意，求得棱锥的底面积和高，由体积公式即可求得结果.

【详解】根据题意可得，_L平面43月,

故可得％”=；x；x3xlx2=l,

又因为%町，

故可得力t町=L

故答案为：1.

【点睛】本题考查三棱锥体积的求解，涉及转换棱锥的顶点，属基础题.

三、解答题(本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

63

16-.(1)0；(2)—.

65

【解析】(1)利用诱导公式以及两角和的正切公式结合正、余弦的齐次式计算化简原式；

(2)先计算出cose,sin(a+£)的值，然后根据角的配凑以及两角差的余弦公式求解出cos77的值.

，、e-人一2cosOsin。一1,八兀、

【详解】(1)解：原式=---------二一+tan(6+—)

l-2sin~04

(sin+cos0)'，八兀、

=--~、----------+tan(6»+-)

cos~6-sirr。4

sin0+cos0tan。+1

=------------------------d----------------

cos6-sin。1-tan

tan^+1tan^+1

=---------------1---------------

tan^-11-tan

二0；

45

(2)解：因为a,4都为锐角，sina=-,cos(a+/?)=—，

513

_______3/

所以cosa=71-sin2a=—,sin(a+^)=yjl-cos2(a+12

53]2463

则cosp-cos(a+/?—a)=cos(a+/?)cosa+sin(a+J3)sina=----+-----.

13513565

17、(1)平均数元=1(X),样本标准差s*10.2.(2)概率为0.9356,全校测验成绩在区间回一2s,工+2s]之外约有64

(A)

【解析】(D根据频率分布直方图中平均数=小矩形底边中点乘以小矩形的面积之和；利用方差公式可求方差，进而

可求标准差.

(2)由(1)知(元一2s,元+2s)=(79.6,120.4),由频率分布直方图求出[75,79.6],[120.4,125]的概率即可求解.

【详解】(1)数学成绩的样本平均数为：

x=80x0.0()6x10+90x0.026x10+1()0x().038x10

+110x0.022x10+120x0.008x10=100,

数学成绩的样本方差为：

52=(80-100)2x0.06+(90-100)2x0.26+(100-100)2x0.38

2

+(110-100)x0.22+(120-1Oofx0Q8

=(-20)2x0.06+(-10)2X0.26+102X0.22+202x0.08

=104.

所以估计这批产品质量指标值的样本平均数工=100,

样本标准差s=V104=2726x10.2.

(2)由(1)知(于一2s,元+2s)=(79.6/20.4),

则(79.6-75)x0.006+(125-120.4)*0.008=0.0644

1-0.0644=0.9356,

所以1000x0.0644a64(人)

所以估计该学校在这一次的数学测验中成绩在区间口-2s,元+2s］之内的概率为().9356,全校测验成绩在区间

叵一2s,元+2s］之外约有64(人).

【点睛】本题考查了频率分布直方图，根据频率分布直方图求出样本数据特征，需掌握公式，属于基础题.

9

m=­Q

18、(1)5；(2)2=(2,3)或2=(6,5).

n-——

8

【解析】(D利用向量线性坐标运算即可求解.

(2)根据向量共线的坐标表示以及向量模的坐标表示列方程组即可求解.

【详解】解：(1)若e=m百+nb>则(4,1)=m(3,2)+n(-L2)

9

4=3m-n8

所以

\=2m+2n5

n--

8

(2)设］=(x,y),则［-E=(x-4,y-1),a+^=(2,4)

(J-c)//(a+^),lJ-cl=2y/5

2(y-l)=4(x-4)

\y/(x-4)2+(y-l)2=2^5

解得卜=2七？

［y=-3U=5

所以2=(2,-3)或2=(6,5)

19、(1)/(x)=[±,函数在(1,+8)上单调递减，证明见解析.

(2)?>0

【解析】⑴根据“0)=(),：得到函数解析式，设1<%</，计算/(/)

证明函数的单调性.

(2)根据函数的奇偶性和单调性得到r>l一sinO—Zsii?。，设sin8=m,求函数g(w)=-2加：-m+\的最小值得

到答案.

【小问1详解】

2

函数/(力=含？是定义在R上的奇函数，则〃0)=匕=(),

5

Y

解得匕=0,a=l,故/(x)=4^.

/(X)在(1,物)上单调递减，证明如下：设1<玉</，

%_工2(1+%2)一司(1+工22)_(工2一％)(1—%入2)

则/(工2)-/(%)=怠^

222

1+X,(1+%2)(1+%1)(1+々2)(1+%2)

22

(1+%2)(1+%1)>0,/一玉>°，1一<°，故/(/)_/(%)<()，即/(&)</(芯).

故函数在(1,+8)上单调递减.

【小问2详解】

/(sin^-2)+/(2sin2^+l+/)<0,即/(2sin20+l+r)</(2-sin^),

2sin2^+l+Z>1>2—sin^>l,故Zsin'e+l+f>2—sin8,即f>1—sin。—2si2。,

23

设sin6=加，1,1],g(m)=—2/%2-m+i=-2\m+-+一,

l2

72

gO^Omin=g(l)=-2,故/>一2,又f>0,故£>°.

20、(1)a=O,b=l,证明见解析

(2)证明见解析(3)x>0

【解析】(1)由偶函数性质求人，由/(2)=・|列方程求明再证明/&)=-〃力(x=0)；

(2)利用单调性定义证明函数/(X)的单调性；

(3