2024届重庆市重点中学数学高一下期末达标检测试题含解析

2024届重庆市重点中学数学高一下期末达标检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是()A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”2．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8π B．6π C．4π D．π3．产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标．下图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折线图．在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较．据上述信息，下列结论中正确的是（）A．2015年第三季度环比有所提高 B．2016年第一季度同比有所提高C．2017年第三季度同比有所提高 D．2018年第一季度环比有所提高4．从1，2，3，…，9这个9个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是5的概率等于（）A．57 B．59 C．25．数列为等比数列，若，，数列的前项和为，则A． B． C．7 D．316．中，角所对的边分别为，已知向量，，且共线，则的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形7．P是直线x+y+2=0上任意一点，点Q在圆x-22+yA．2 B．4-2 C．4+28．在空间直角坐标系中，点P（3，4，5）关于平面的对称点的坐标为()A．（−3，4，5） B．（−3，−4，5）C．（3，−4，−5） D．（−3，4，−5）9．数列的通项公式，则（）A． B． C．或 D．不存在10．下列极限为1的是（）A．（个9） B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．等差数列中，公差.则与的等差中项是_____（用数字作答）12．点关于直线的对称点的坐标为_____．13．已知一扇形的半径为，弧长为，则该扇形的圆心角大小为______.14．三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AC＝BC＝2，AB＝2，侧面PAB是等边三角形且与底面ABC垂直，则该三棱锥的外接球表面积为_____．15．若，则______.16．已知，，，则的最小值为______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知等比数列的公比，前项和为，且满足.，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）若，的前项和为，且对任意的满足，求实数的取值范围.18．已知直线l的方程为.(1)求过点且与直线l垂直的直线方程；(2)求直线与的交点，且求这个点到直线l的距离.19．在△中，若．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求△的面积．20．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利分别为和，可能的最大亏损率分别为和.投资人计划投资金额不超过亿元，要求确保可能的资金亏损不超过亿元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少亿元，才能使可能的盈利最大？21．在中，角所对的边是，若向量与共线.（1）求角的大小；（2）若，求周长的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

根据不能同时发生的两个事件，叫互斥事件，依次判断．【题目详解】根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B、C、D中两事件能同时发生，故不是互斥事件；

故选A．【题目点拨】本题考查了互斥事件的定义．是基础题．2、C【解题分析】设正方体的棱长为a，则＝8，∴a＝2.而此正方体的内切球直径为2，∴S表＝4π＝4π.选C.3、C【解题分析】

根据同比和环比的定义比较两期数据得出结论．【题目详解】解：2015年第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故2015年第三季度环比有所下降，故A错误；2015年第一季度利用率为74.2%，2016年第一季度利用率为72.9%，故2016年第一季度同比有所下降，故B错误；2016年底三季度利用率率为73.2%，2017年第三季度利用率为76.8%，故2017年第三季度同比有所提高，故C正确；2017年第四季度利用率为78%，2018年第一季度利用率为76.5%，故2018年第一季度环比有所下降，故D错误．故选C．【题目点拨】本题考查了新定义的理解，图表认知，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．4、C【解题分析】试题分析：设事件为“从1，2，3，…，9这9个数中5个数的中位数是5”，则基本事件总数为种，事件所包含的基本事件的总数为：，所以由古典概型的计算公式知，，故应选.考点：1.古典概型；5、A【解题分析】

先求等比数列通项公式，再根据等比数列求和公式求结果.【题目详解】数列为等比数列，，，，解得，，数列的前项和为，．故选．【题目点拨】本题考查等比数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.6、D【解题分析】

由向量共线的坐标表示得一等式，然后由正弦定理化边为角，利用诱导公式得展开后代入原式化简得，分类讨论得解．【题目详解】∵共线，∴，即，，，整理得，所以或，或或（舍去）．∴三角形为直角三角形或等腰三角形．故选：D.【题目点拨】本题考查三角形形状的判断，考查向量共线的坐标表示，考查正弦定理，两角和的正弦公式，考查三角函数性质．解题时不能随便约分漏解．7、D【解题分析】

首先求出圆心到直线的距离与半径比较大小，得到直线与圆是相离的，根据圆上的点到直线的距离的最小值等于圆心到直线的距离减半径，求得结果.【题目详解】因为圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为d=2+0+2所以直线x+y+2=0与圆(x-2)2所以PQ的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，即PQmin故选D.【题目点拨】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，圆上的点到直线的距离的最小值问题，属于简单题目.8、A【解题分析】

由关于平面对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，即可得解.【题目详解】关于平面对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，所以点P（3，4，5）关于平面的对称点的坐标为（−3，4，5）．故选A．【题目点拨】本题主要考查了空间点的对称点的坐标求法，属于基础题.9、B【解题分析】

因为趋于无穷大,故,分离常数即可得出极限.【题目详解】解：因为的通项公式,要求,即求故选：B【题目点拨】本题考查数列的极限,解答的关键是消去趋于无穷大的式子.10、A【解题分析】

利用极限的运算逐项求解判断即可【题目详解】对于A项，极限为1，对于B项，极限不存在，对于C项，极限为1．对于D项，，故选：A．【题目点拨】本题考查的极限的运算及性质，准确计算是关键，是基础题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、5【解题分析】

根据等差中项的性质，以及的值，求出的值即是所求.【题目详解】根据等差中项的性质可知，的等差中项是，故.【题目点拨】本小题主要考查等差中项的性质，考查等差数列基本量的计算，属于基础题.12、【解题分析】

设关于直线的对称点的坐标为,再根据中点在直线上,且与直线垂直求解即可.【题目详解】设关于直线的对称点的坐标为,则中点为,则在直线上,故①.又与直线垂直有②,联立①②可得.故.故答案为：【题目点拨】本题主要考查了点关于直线对称的点坐标,属于基础题.13、【解题分析】

利用扇形的弧长除以半径可得出该扇形圆心角的弧度数.【题目详解】由扇形的弧长、半径以及圆心角之间的关系可知，该扇形的圆心角大小为.故答案为：.【题目点拨】本题考查扇形圆心角的计算，解题时要熟悉扇形的弧长、半径以及圆心角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.14、【解题分析】

求出的外接圆半径，的外接圆半径，求出外接球的半径，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．【题目详解】由题意，设的外心为，的外心为，则的外接圆半径，在中，因为，由余弦定理可得，所以，所以的外接圆半径，在等边中，由，所以，所以，设球心为，球的半径为，则，又由面，面，则，所以该三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：．【题目点拨】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的求解，其中解答中熟练应用空间几何体的结构特征，确定球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．15、【解题分析】

由诱导公式求解即可.【题目详解】因为所以故答案为：【题目点拨】本题主要考查了利用诱导公式化简求值，属于基础题.16、【解题分析】

将所求的式子变形为，展开后可利用基本不等式求得最小值.【题目详解】解：，，，，当且仅当时取等号．故答案为1．【题目点拨】本题考查了“乘1法”和基本不等式，属于基础题．由于已知条件和所求的式子都是和的形式，不能直接用基本不等式求得最值，使用“乘1法”之后，就可以利用基本不等式来求得最小值了.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1).(2)；(3)【解题分析】

（1）利用等比数列通项公式以及求和公式化简，得到，由，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项，利用等差数列的定义可得，化简即可求出，从而得到数列的通项公式．（2）由（1）可得，利用错位相减，求出数列的前项和即可；（3）结合（1）可得，利用裂项相消法，即可得到的前项和，求出的最大值，即可解得实数的取值范围【题目详解】（1）由得，所以，由，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项，得，即，即，即，因为，所以，所以.（2）由于，所以，所以，，两式相减得，，所以（3）由知，∴，∴，解得或.即实数的取值范围是【题目点拨】本题考查等比数列通项公式与前项和，等差数列的定义，以及利用错位相减法和裂项相消法求数列的前项和，考查学生的计算能力，有一定综合性．18、（1）（2）1【解题分析】

(1)与l垂直的直线方程可设为，再将点代入方程可得；(2)先求两直线的交点，再用点到直线的距离公式可得点到直线l的距离．【题目详解】解：(1)设与直线垂直的直线方程为,把代入，得，解得,∴所求直线方程为.(2)解方程组得∴直线与的交点为,点到直线的距离.【题目点拨】本题考查两直线垂直时方程的求法和点到直线的距离公式．19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解题分析】

（I）利用正弦定理化简已知条件，由此求得的大小.（II）利用余弦定理求得的值，再根据三角形面积公式求得三角形面积.【题目详解】解：（Ⅰ）在△中，由正弦定理可知，，所以．所以．即．（Ⅱ）在△中，由余弦定理可知，．所以．所以．所以△的面积．【题目点拨】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.20、投资人用亿元投资甲项目，亿元投资乙项目，才能在确保亏损不超过亿元的前提下，使可能的盈利最大.【解题分析】

设投资人分别用亿元、亿元投资甲、乙两个项目，根据题意列出变量、所满足的约束条件和线性目标函数，利用平移直线的方法得出线性目标函数取得最大值时的最优解，并将最优解代入线性目标函数可得出盈利的最大值，从而解答该问题.【题目详解】设投资人分别用亿元、亿元投资甲、乙两个项目，由题意知，即，目标函数为.上述不等式组表示平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域.由图可知，当直线经过点时，该直线在轴上截距最大，此时取得最大值，解方程组，得，所以，点的坐标为.当，时，取得最大值，此时，（亿元）.答：投资人用亿元投资甲项目，亿元投资乙项目，才能在确保亏损不超过亿元的前提下，使可能的盈利最大.【题目点拨】本题考查线性规划的实际