贵州省各地区2022年中考数学真题按题型难易度分层分类汇编-07解答题（提升题）

贵州省各地区2022年中考数学真题按题型难易度分层分类汇编

-07解答题（提升题）

一.反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）

1.（2022•六盘水）如图，正比例函数），=x与反比例函数尸乌的图象交于4,B两点.

x

（1）求A,2两点的坐标；

（2）将直线），=x向下平移。个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C,

与x轴交于点£）,与y轴交于点E,若型=_1,求a的值.

DE3

二.二次函数综合题（共6小题）

2.（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐

点.例如：点a,1）,（X.1）,（-&,-&）,……都是和谐点.

22

（1）判断函数y=2x+l的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；

（2）若二次函数），=0^+6了+。（a/0）的图象上有且只有一个和谐点（$,—

22

①求4,C的值；

②若IWxWm时，函数y=G?+6x+c+』（。六0）的最小值为-1,最大值为3,求实数相

4

的取值范围.

3.（2022•贵阳）已知二次函数

（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含。，力的代数式表示）；

（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A,8两点，A5=6,且图象

过（1,c）,（3,d）,（-1,e）,（-3,/）四点，判断的d,e,，的大小，并说明理由；

（3）点M（小，〃）是二次函数图象上的一个动点，当-2＜加〈1时，〃的取值范围是-

求二次函数的表达式.

y/i

6-

5-

4一

3

2

।iiiii»

-6-5-4-3-2-10123456T

-1

-5

-6

4.（2022•遵义）新定义：我们把抛物线），=/+历;+c（其中曲/0）与抛物线），=b/+ax+c

称为“关联抛物线”.例如：抛物线y=2f+3x+l的''关联抛物线”为：y=3/+2x+l.已

知抛物线Ci：y=4o?+ax+4a-3（a#0）的“关联抛物线”为C2.

（1）写出C2的解析式（用含。的式子表示）及顶点坐标；

（2）若a>0,过x轴上一点P,作x轴的垂线分别交抛物线Ci,C2于点M,N.

①当MN=6a时，求点P的坐标；

②当a-40Wa-2时，C2的最大值与最小值的差为2a,求〃的值.

5.（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-/+fev+c与x轴交于A,B两

点，与y轴交于点C,顶点为。（2,1）,抛物线的对称轴交直线8c于点E.

（1）求抛物线y=-x^+bx+c的表达式；

（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为/?（人>0）,在平移过程中，该

抛物线与直线BC始终有交点，求力的最大值；

（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点.是否存在以点。，E,M,N为

顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

6.(2022•黔东南州)如图，抛物线y=o?+2x+c的对称轴是直线x=l,与x轴交于点A,B

(3,0),与y轴交于点C,连接AC.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)已知点。是第一象限内抛物线上的一个动点，过点。作。轴，垂足为点M,

OM交直线BC于点N,是否存在这样的点N,使得以A,C,N为顶点的三角形是等腰

三角形.若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由：

(3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F,使以点8、C、E、

尸为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

7.(2022•黔西南州)如图，在平面直角坐标系中，经过点A(4,0)的直线AB与y轴交于

点8(0,4).经过原点。的抛物线.v=-f+fer+c交直线于点A,C,抛物线的顶点

为D.

(1)求抛物线y--^+bx+c的表达式；

(2)M是线段A8上一点，N是抛物线上一点，当轴且MN=2时，求点M的坐

标；

（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点.是否存在以点A,C,P,Q为

顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

三.四边形综合题（共4小题）

8.（2022•黔西南州）如图，在正方形ABCQ中，E,F分别是BC,边上的点（点E不

与点5,C重合），且NEAF=45°.

（1）当时，求证：AE^AF；

（2）猜想BE,EF,。尸三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；

（3）连接AC,G是CB延长线上一点,GH±AE,垂足为K,交AC于点H且GH=AE.若

DF=a,CH=b,请用含a,b的代数式表示EF的长.

图1图2图3

9.（2022•黔东南州）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个儿何问

题：

如图1,△ABC和△BOE都是等边三角形，点4在OE上.

求证：以AE、A。、AC为边的三角形是钝角三角形.

【探究发现】（1）小明通过探究发现：连接DC,根据已知条件，可以证明。C=AE,Z

AZ）C=120°,从而得出△AOC为钝角三角形，故以AE、AD,AC为边的三角形是钝角

三角形.

请你根据小明的思路，写出完整的证明过程.

【拓展迁移】（2）如图2,四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点4在EG上.

①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由.

②若AE2+AG2=10,试求出正方形A8CD的面积.

10.（2022•安顺）如图1,在矩形ABCD中，AB=\0,AO=8,E是边上的一点，连接

CE,将矩形ABCD沿CE折叠，顶点D恰好落在AB边上的点尸处，延长CE交BA的延

长线于点G.

（1）求线段4E的长；

（2）求证四边形。GFC为菱形；

（3）如图2,M,N分别是线段CG,OG上的动点（与端点不重合），且NDMN=/DCM,

设EW=x,是否存在这样的点N,使△OMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若

不存在，请说明理由.

11.（2022•铜仁市）如图，在四边形A8CZ）中，对角线AC与8。相交于点O,记△COO的

面积为Si,△AOB的面积为S2.

（1）问题解决：如图①，若AB〃CQ,求证：_±=匹幽

S20A-0B

（2）探索推广：如图②，若AB与C。不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证

明；若不成立，请说明理由.

（3）拓展应用：如图③，在0A上取一点E,使OE=OC,过点E作EF〃C£＞交0。于

点凡点”为AB的中点，0H交EF于点G,且0G=2GH,若强=回，求且值.

0A6S2

四.圆的综合题（共1小题）

12.（2022•遵义）综合与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶

点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究.

提出问题:

如图1,在线段AC同侧有两点8,D,连接AO,AB,BC,CD,如果那么A,

B,C,。四点在同一个圆上.

探究展示：

如图2,作经过点A,C,。的在劣弧4c上取一点E（不与A,C重合），连接AE,

CE,则NAEC+NQ=180°（依据1）

,：4B=4D

：.N4EC+/8=180°

...点A,B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

...点8,。在点A,C,E所确定的。。上（依据2）

...点A,B,C,。四点在同一个圆上

反思归纳：

（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：;依据2：.

（2）如图3,在四边形A8CQ中，Z1=Z2,N3=45°,则/4的度数为.

拓展探究：

（3）如图4,已知△A8C是等腰三角形，AB=AC,点。在BC上（不与BC的中点重合）,

连接AD作点C关于的对称点E,连接EB并延长交A。的延长线于尸，连接4E,

DE.

①求证：A,D,B,E四点共圆；

②若AB=2®AD-AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明

理由.

A

五.解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）

13.（2022•安顺）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为

了实现5G网络全覆盖，2021〜2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有

一建成的5G基站塔AB,小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°,然后他沿坡面C2

行走了50米到达。处,O处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°.（点

A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°弋至cos53°弋3,

55

tan53°

3

（1）求坡面CB的坡度；

（2）求基站塔A3的高.

六.可能性的大小（共1小题）

14.（2022•六盘水）为倡导“全民健身，健康向上”的生活方式，我市教育系统特举办教职

工气排球比赛.比赛采取小组循环，每场比赛实行三局两胜制，取实力最强的两支队伍

参加决赛，从C组的比分胜负表中知道二中胜4场负1场.

教职工气排球比赛比分胜负表

C组一中二中三中四中五中六中

一中\21：1621：1921：922：2415：21

14：2124：2221：235：2118：21

12：1515：9

二中16：21\21：1321：1314：2122：20

21：1421：1721：1119：2119：21

15：1216：14

三中19：2113：21\21：1621：18B'

22：2417：2121：186：21

12：15

四中9：2113：2116：21\21：11

23：2111：2118：219：21

9：158：15

(2)若A处的比分是21：10和21：8,并且参加决赛的队伍是二中和五中，则B'处的

比分可以是和(两局结束比赛，根据自己的理解填写比分)；

(3)若A'处的比分是10：21和8：21,B处的比分是21：18,15：21,15：12,那么

实力最强的是哪两支队伍，请说明理由.

贵州省各地区2022年中考数学真题按题型难易度分层分类汇编

<7解答题（提升题）

参考答案与试题解析

一.反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）

1.（2022•六盘水）如图，正比例函数y=x与反比例函数的图象交于A,B两点.

x

（1）求4,B两点的坐标；

（2）将直线y=x向下平移a个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C,

与x轴交于点。，与y轴交于点E,若空=_1,求a的值.

DE3

【解答】解：（1）•••正比例函数y=x与反比例函数y=匹的图象交于A、B两点,

X

・Y=4

X

解得x=±2（负值舍去），

（2,2）,8（-2,-2）；

（2）,・•直线y=x向下平移a个单位长度，

，直线CD解析式为：y=x-a,

当y=0时，x=a,

・,•点。的坐标为（m0）,

如图，过点。作CfJLx轴于点R

：.CF//OE,

・FD-CD-1

DODE3

：.FD=^a,

3

：.OF=OD+FD=^a,

3

••,点C在直线CD上,

.\y=-±a-a=-=-a,

33

；.CF=L,

3

.•.点C的坐标是（&,工）.

33

•.•点C在反比例函数y=9的图象上,

X

；.Lx曳（=4,

33

解得4=±3（负值舍去），

二.二次函数综合题（共6小题）

2.（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐

点.例如：点（1,1）,（X.1）,（-近,-&）,……都是和谐点.

22

（1）判断函数y=2x+l的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；

（2）若二次函数y=a?+6x+c（aWO）的图象上有且只有一个和谐点（立，5）.

22

①求m。的值；

②若IWxW加时，函数y=or2+6x+c+」（〃W0）的最小值为-1,最大值为3,求实数相

的取值范围.

【解答】解：（1）存在和谐点，理由如下,

设函数）=2什1的和谐点为（x,x）,

2x+1=龙,

解得x=-1,

・••和谐点为(-1,-1);

(2)①，.,点吟，卷)是二次函数,=渥+6_¥+。(启0)的和谐点，

.•.互=^«+]5+c,

24

•.•「C—_—25—〃cl一-■25■>

42

•.,二次函数y=or2+6x+c(aWO)的图象上有且只有一个和谐点，

/.at2+6x+c=jc有且只有一个根，

△=25-4ac=0,

.".a--1,c--

4

②由①可知y=-f+6x-6=-(x-3)2+3,

抛物线的对称轴为直线x=3,

当x=l时，y=-1，

当x=3时，y=3,

当x=5时，y=-1,

•.•函数的最大值为3,最小值为-1；

当3WmW5时，函数的最大值为3,最小值为-1.

3.(2022•贵阳)已知二次函数y=a?+4ax+R

(1)求二次函数图象的顶点坐标(用含m匕的代数式表示)；

(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于4,B两点，AB=6,且图象

过(1,c),(3,J),(-1,e),(-3,/)四点，判断c,d,e,/的大小，并说明理由；

(3)点〃)是二次函数图象上的一个动点，当-2WmWl时，〃的取值范围是-

求二次函数的表达式.

6

5

4

3

2

-6-5-4-3-2-103456

-1

-2

-3

一4

-5

-6

【解答】解：(1)***y=ax2+4or4-Z>=a(x+2)2-4rz+/?,

・・・二次函数图象的顶点坐标为(-2,-4〃+6).

(2)由(1)得抛物线对称轴为直线x=-2,

当。>0时，抛物线开口向上，

V3-(-2)>1-(-2)>(-1)-(-2)=(-2)-(-3),

*.d>c>e=f.

当〃V0时，抛物线开口向下，

V3-(-2)>1-(-2)>(-1)-(-2)=(-2)-(-3),

：.d<c<e=f.

(3)当。>0时，抛物线开口向上，元>-2时，y随无增大而增大，

.•./%=-2时，n--1,m=1时，n=1,

.f-l=4a_8a+b

1l=a+4a+b

a4

解得《

当“<0时，抛物线开口向下，x>-2时，），随x增大而减小,

・••加=-2时，几=1,机=1时，n=-1,

(b-4a=l

Ia+4a+b=-1

解得《

y=

综上所述，-2或y--23-B+工.

'999-999

4.（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y=a/+/>x+c（其中HW0）与抛物线y=b/+ox+c

称为“关联抛物线”.例如：抛物线y=2』+3x+l的“关联抛物线”为：y=3，+2x+l.已

知抛物线C1：），=4以2+以+4。-3（“#0）的“关联抛物线”为C2.

（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标;

（2）若a>0,过x轴上一点P,作x轴的垂线分别交抛物线Ci,C2于点M,N.

①当MN=6a时，求点P的坐标；

②当时，C2的最大值与最小值的差为2a,求a的值.

【解答】解：（1）根据“关联抛物线”的定义可得C2的解析式为：y=a?+4以+4a-3,

y=a）?+Aax+Aa-3=a（x+2）2-3,

；.C2的顶点坐标为（-2,-3）；

（2）①设点P的横坐标为，〃，

•.,过点尸作x轴的垂线分别交抛物线Ci,C2于点M,N,

:・M（m,4〃加一+。m+4。-3）,N（m,am^+4am+4a-3）,

MN=^an^+am+^a-3-^at?T+4am+4a-3）\=\3am2-3am\,

•：MN=6a,

，|3。加2-3Ml=6〃，

解得m--1或〃?=2,

：.P(-1,0)或(2,0).

②的解析式为:y=a(x+2)2-3,

・••当x=-2时,y=-3,

当工=。-4时，y=a(a-4+2)2-3=a(a-2)2-3,

当x=a-2时，y=a(a-2+2)2-3=/-3,

根据题意可知，需要分三种情况讨论,

I、当a-4W-2Wa-2时，0<aW2,

且当0<aWl时，函数的最大值为a(a-2)2-3；函数的最小值为-3,

：.a(a-2)2-3-(-3)=2a,解得a=2-&或a=2+&(舍)；

当时，函数的最大值为“3-3：函数的最小值为-3,

•*.a3-3-(-3)=2a,解得“=弧或a=-&(舍)；

H、当-2Wa-4Wa-2时，a22,

函数的最大值为1-3,函数的最小值为a(a-2)2-3；

.•./-2-[a(a-2)2-3]=2a,

解得(舍)；

2

IIL当a-4Wa-2W-2时，aWO,不符合题意，舍去；

综上，a的值为2-&或&.

5.(2022•毕节市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线)，=-/+bx+c与x轴交于A,B两

点，与y轴交于点C,顶点为。(2,1),抛物线的对称轴交直线BC于点£.

(1)求抛物线y=-/+fcv+c的表达式；

(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为〃(〃>()),在平移过程中，该

抛物线与直线BC始终有交点，求/?的最大值；

(3)M是(1)中抛物线上一点，N是直线BC上一点.是否存在以点£>,E,M,N为

备用图

【解答】解：(1)•.,抛物线y=-7+fev+c的顶点为O(2,1),

:.抛物线的表达式为：y=-(x-2)2+1=-f+©-3.

(2)由(1)知，抛物线的表达式为：y=-7+4x-3,

令x=0,则y=-3,

：.C(0,-3)；

令y=0,贝ljx=l或x=3,

・"(1,0),B(3,0).

・・・直线3c的解析式为：y=x-3.

设平移后的抛物线的解析式为：y=-(x-2)2+1-/1,

令-(%-2)2+1-h=x-3,整理得/-3x+/z=0,

•・,该抛物线与直线8c始终有交点，

・・・A=9-4心0,

:.hW生.

4

：.h的最大值为9.

4

(3)存在，理由如下：

由题意可知，抛物线的对称轴为：直线x=2,

：.E(2,-1),

：.DE=2,

设点M(m,-苏+4"?-3),

若以点D,E,M,N为顶点的四边形是平行四边形，则分以下两种情况：

①当OE为边时，DE//MN,

贝！JN(机，〃2-3),

2

:.MN=\--3-(z?7-3)|=|-m+3m\1

二・|-川+3/川=2,解得加=1或加=2(舍)或m=3"八7或加=二1+\’L'.

___2_2

：.N(1,-2)或(3W17,-3~717)或,-3W17).

2222

②当OE为对角线时，

设点N的坐标为t,

则N(f,f-3),

.<m+t=2+2

-m^+4m-3+t-3=1+(-1)

解得m[m=l或[m=2(舍)，

It=3It=2

：.N(3,0).

综上，点N的坐标为N(1,-2)或(生叵，土叵)或(空叵，卫叵)

2222

或(3,0).

6.(2022•黔东南州)如图，抛物线y=o?+2x+c的对称轴是直线x=l,与x轴交于点4,B

(3,0),与y轴交于点C,连接4c.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)已知点。是第一象限内抛物线上的一个动点，过点。作。轴，垂足为点M,

DM交直线BC于点N,是否存在这样的点N,使得以A,C,N为顶点的三角形是等腰

三角形.若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点尸，使以点B、C、E、

尸为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)抛物线y=o?+2x+c的对称轴是直线x=l,与无轴交于点A,B(3,0),

(-1,0),

.*-2+c=0,解得卜=-1,

\9a+6+c=0Ic=3

，抛物线的解析式y=-/+2x+3；

(2)-7+2x+3,

：.C(0,3),

设直线BC的解析式为y=kx+3,

将点B(3,0)代入得：0=3k+3,

解得：k=-\,

直线BC的解析式为尸=-x+3；

设点。坐标为(f,-P+2r+3),则点N(r,-r+3),

VA(-1,0),C(0,3),

."•AC2=l2+32=10,

AN2—(r+1)2+(-r+3)2=2p-4f+10,

C®=?+(3+r-3)2=2»,

①当AC=4N时，AC2=AM,

/.10=2/2-4/+10,

解得fi=2,Z2=0(不合题意，舍去)，

.,.点N的坐标为(2,1)；

②当AC=CN时，AC2=CN2,

.•.10=2?,

解得”=遥，12=-V5(不合题意，舍去)，

...点N的坐标为(遥，3-75):

③当AN=CN时，AN2-=CN2,

.*.2?-4/+10=2?,

解得尸巨

2

.♦.点N的坐标为(§,1)；

22

综上，存在，点N的坐标为(2,1)或(疾,3-遥)或(2，1)；

22

(3)设E(1,a),F(tn,n),

:B(3,0),C(0,3),

:.BC=3近,

①以5c为对角线时，BC2=C£2+B£2,

22

：.E(1,生或(1,卫/IL),

22

；B(3,0),C(0,3),

"+1=0+3,n+3+717=0+3或n+3^/17=0+3>

_22

.'.m=2,“=3^^■或n=,

22_

点尸的坐标为(2,生叵)或(2,生叵)；

22

②以BC为边时，BE1=CE1+BC2或CR=BE+BC2,

解得：〃=4或a=-2,

：.E(1,4)或(1,-2),

•:B(3,0),C(0,3),

.*.777+0=1+3,〃+3=0+4或加+3=1+0,〃+0=3-2,

・••m=4,〃=1或相=-2,〃=1,

・••点E的坐标为（4,1）或（-2,1）,

综上所述：存在，点F的坐标为(2,土叵)或(2,如叵)或(4,1)或(-2,

22

1).

7.(2022•黔西南州)如图，在平面直角坐标系中，经过点A(4,0)的直线A8与y轴交于

点8(0,4).经过原点O的抛物线丫=-』+fev+c交直线AB于点A,C,抛物线的顶点

为D

(1)求抛物线y=-x2+to+c的表达式；

(2)M是线段A8上一点，N是抛物线上一点，当MN〃y轴且MN=2时，求点M的坐

标；

(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点.是否存在以点A,C,P,Q为

顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1):抛物线丫=-x2+〃x+c,过点A(4,0)和。(0,0),

.J-16+4b+c=0

[c=0

解得:b=4

c=0

抛物线的解析式为：y=-7+4x；

(2)•.•直线A8经过点A(4,0)和B(0,4),

二直线AB的解析式为：.=-x+4,

轴，

设-r+4),N(f,-P+4f),其中0WfW4,

当M在N点的上方时，

MN=-t+4-（-P+4r）=t2-5M4=2,

解得：t\—-———-,/2—■—-———■—（舍），

_22

...MW1L）,

22

当M在N点下方时，

MN=-P+41-（-什4）=-P+5L4=2,

解得：力=2,也=3,

：.M1（2,2）,M3（3,1）,

综上，满足条件的点M的坐标有三个（至二叵，邺叵）或（2,2）或（3,1）；

22

（3）存在,

①如图2,若AC是矩形的边，

P2

设抛物线的对称轴与直线AB交于点心且R(2,2),

过点C,A分别作直线AB的垂线交抛物线于点Pi,P2,

VC(1,3),D(2,4),

•**CD=(2-1)2+(4-3)2=V2，

同理得：CR=&,RD=2,

CD2+CR2^DR2,

：.ZRCD=90Q,

...点Pl与点。重合,

当CP〃AQi,CPi=AQi时，四边形ACP1Q1是矩形，

VC(1,3)向右平移1个单位，向上平移1个单位得到P(2,4),

AA(4,0)向右平移1个单位，向上平移1个单位得到。(5,1),

此时直线P1C的解析式为：y=x+2,

•••直线尸2A与PlC平行且过点A(4,0),

直线尸M的解析式为：y=x-4,

;点P2是直线y=x-4与抛物线y=-X2+4X的交点，

-X2+4X—X-4,

解得：XI=-1,X2=4(舍)，

：.P2(-1,-5),

当AC〃P20时，四边形AC0P2是矩形，

VA(4,0)向左平移3个单位，向上平移3个单位得到C(1,3),

：.P2(-1,-5)向左平移3个单位，向上平移3个单位得到0(-4,-2)；

②如图3,若AC是矩形的对角线,

当NAP3c=90°时，过点P3作P3“J_x轴于H,过点C作CKLP3H于K,

AZP3KC=ZAHP3=90a,NP3CK=NAP3H,

:.XPKKsAAPbH,

•P3QAH

"~CK~P^H"

2

-

•••"■m+4nr3_---4---m---,

m-1-m2+4m

・.•点p不与点A,C重合，

1或机W4,

.*•-zn2-3/w+l=0,

•,“=3±«

••III-----------,

2__

...如图4,满足条件的点p有两个，即P3（亚叵，昱近•），P4（3-遮,5-y）,

2222

当P3C〃AQ3,P3C=AQ3时，四边形AP3CQ3是矩形，

•••P3（旦返，昱匹）向左平移上正个单位，向下平移土区个单位得到C（1,

2222

3）,

...A（4,0）向左平移上走个单位，向下平移土度个单位得到Q3（上医，上匹•）,

2222

当凡C〃AQ4,P4c=404时，四边形AP4C04是矩形，

VP4（生返，5-娓）向右平移土:叵个单位，向上平移2巫个单位得到c（L

2222

3）,

.•・A（4,0）向右平移土叵个单位，向上平移上正个单位得到04（=+疸上返）;

2222

综上，点Q的坐标为（5,1）或（-4,-2）或（上返，上运）或（正区，上

2222

三.四边形综合题（共4小题）

8.（2022•黔西南州）如图，在正方形ABC。中，E,F分别是BC,CO边上的点（点E不

与点8,C重合），且/E4尸=45°.

（1）当BE=D尸时，求证：AE=AF；

（2）猜想BE,EF,力尸三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论;

（3）连接AC,G是CB延长线上一点，GHVAE,垂足为K,交AC于点H且GH=AE.若

DF=a,CH=b,请用含a,6的代数式表示E尸的长.

图1图2图3

【解答】（1）证明：•••四边形A8C。是正方形,

：.AB=AD,NB=ND=90°,

在△ABE和△ADF中，

'AB=AD

<ZB=ZD>

,BE=DF

A^ABE^/XADF(SAS),

：.AE=AF；

(2)解：如图1,

BE+DF=EF,理由如下:

在CD的延长线上截取DG=BE,

同理(1)可得：△A8E空ZiAOG(SAS),

/R4E=NZMG,AG=AE,

•.•四边形ABC。是正方形，

；.NBAD=90°,

\'ZEAF=45°,

NBAE+NDAF=ABAD-/EAF=45°,

：.ZDAG+ZDAF=45a,

即：NGA尸=45°,

J.ZGAF^ZEAF,

在△GAP和△E4F中，

"AG=AE

-NGAF=NEAF，

AF=AF

:.△GAF0XEAF(SAS),

；.FG=EF,

：.DG+DF=EF,

：.BE+DF=EF；

(3)如图2,

作HRLBC于R,

：.Z/7/?G=90°,

；四边形ABC。是正方形，

:.NABE=90°,ZACB=ZACD=45°,

:.NABE=NHRG,ZBAE+ZAEB=90°,

•/GH±AE,

；.NEKG=90°,

.".ZG+ZAEB=90°,

.•.NG=/R4E,

在AABE和△GR4中，

，ZABE=ZHRG

-ZBAE=ZG，

AE=GH

:.△ABEqAGRH（A45）,

：.BE=HR,

在RtZXCK，中，NAC8=45°,CH=b,

."R-45°=返，

_2

2_

EF=B£+DF=2^_b+a.

9.（2022•黔东南州）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问

题：

如图1,△4BC和△BOE都是等边三角形，点A在QE上.

求证：以4E、AD.AC为边的三角形是钝角三角形.

【探究发现】（1）小明通过探究发现：连接。C,根据已知条件，可以证明。C=AE,Z

A£>C=120°,从而得出△AOC为钝角三角形，故以AE、AD,AC为边的三角形是钝角

三角形.

请你根据小明的思路，写出完整的证明过程.

【拓展迁移】（2）如图2,四边形A8CD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上.

①试猜想：以AE、4G、4c为边的三角形的形状，并说明理由.

②若AE2+AG2=10,试求出正方形ABC。的面积.

；/\ABC和ABOE都是等边三角形，

：.AB=BC,BE=BD,NABC=NDBE=NE=NBDE=6Q",

ZABC-ZABD=ADBE-ZABD,

即

：./\CBD^/\ABE(SAS),

:.CD=AE,ZBDC=Z£=60°,

AZADC=ZBDE+ZBDC=120°,

：./\ADC为钝角三角形，

...以AE、AD,AC为边的三角形是钝角三角形.

(2)解：①以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形，理由如下：

如图2,连接CG,

四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，

：.AB=CB,BE=BG,NABC=NBCD=NEBG=NBGF=9Q°，/EGB=NGEB=45°,

NABC-ZABG=NEBG-ZABG,

即NCBG=/ABE,

：.^CBG^/\ABE(SAS),

：.CG=AE,ZCGB=ZAEB=45°,

；.NAGC=NEGB+NCGB=450+45°=90°,

.♦.△ACG是直角三角形，

即以4E、AG,4c为边的三角形是直角三角形;

②由①可知，CG=AE,NAGC=90°,

：.CG2+AG2^AC2,

:.AE2+AG2^AC2,

VAE2+AG2=10,

.".AC2=IO,

:四边形ABC。是正方形，

：.AB=BC,NABC=90°,

：.AB2+BC2=AC2=\0,

：.AB2^5,

S正方形ABCO=AB2=5♦

图1

10.（2022•安顺）如图1,在矩形ABC。中，AB=10,AD=8,£是A。边上的一点，连接

CE,将矩形ABCD沿CE折叠，顶点。恰好落在AB边上的点F处，延长CE交54的延

长线于点G.

(1)求线段AE的长；

(2)求证四边形。GFC为菱形；

(3)如图2,M,N分别是线段CG,0G上的动点(与端点不重合)，且NDMN=NDCM,

设。N=x,是否存在这样的点N,使是直角三角形？若存在，请求出x的值；若

不存在，请说明理由.

【解答】(1)解：•.•四边形ABC。是矩形，

AZDAB=ZB=ZADC=90°,CD=BD=\0,BC=4O=8,

在Rt^BCF中，CF=CD=IO,8c=8,

：.BF=(y,

：.AF=^AB-BF=4,

设AE=x,贝ljEF=OE=8-x,

在RtZXAEF中，由勾股定理得，

EF2-A£2=4产，

(8-x)2-X2=42,

，x=3,

：.AE=3；

(2)证明：•.•四边形A8CD是矩形,

J.AB//CD,

：.XNGEsXDCE,

•AGAE

-，CD"DE'

由(1)得：AE=3,

：.DE=8-3=5,

•••AG~3>

105

・"G=6,

：.FG=AF+AG=4+6=10,

:.FG=CD,

/.四边形DGFC是平行四边形，

,:CD=CF,

:DGFC是菱形;

(3)解：...四边形FGOC是菱形，

乙DGC=NDCG=NFGC=£/DFG，DG=CD=10,

在RtZXBCG中，BC=8,8G=8F+FG=6+10=16,

tanNFGC=CG=7BC2+BG2=Vs2+162=8^5>

BG2

sin/尸CG=^=幺=恒,

CG8V55

如图1,

G

当NMDN=90°时，

在Rt^GOM中，

£>M=£)G”an/OGM=10・tan/FGC=10xJL=5,

2

在Rt/\DMN中，

DN=DM・tanNDMN,

VZDMN=ZDCM,ZDCM=ZFGC,

：.DN=tan/FGC=5X工=5,

22

如图2,

J

G图2

当NMND=90°时，NDMN+NGDM=90°,

丁NDMN=ZDCM=/DGM,

：.ZDGM+ZGDM=90°,

AZDMG=90°,

DM=OG•sinNDGM=10X恒=2&,

5

在Rt/\DMN中，

DN=DM•sinZDMN=DM•sinZFGC=2代X恒=2,

5

综上所述：ON=^＞或2.

2

11.(2022•铜仁市)如图，在四边形ABCO中，对角线AC与8。相交于点。，记△C。。的

面积为Si,ZVIOB的面积为52.

s

(1)问题解决：如图①，若A8〃8,求证：—L旦佻

s2OA-OB

(2)探索推广：如图②，若A8与CQ不平行，(1)中的结论是否成立？若成立，请证

明；若不成立，请说明理由.

(3)拓展应用：如图③，在04上取一点E,使OE=OC,过点E作E尸〃CO交0。于

点尸，点”为AB的中点，0H交EF于点G,且0G=2GH,若毁=9，求包值.

0A6S2

【解答】（1）证明：过点。作AELAC于E,过点B作B