正弦交流电路

第4章正弦交流电路4.2正弦量的相量表示法4.4电阻、电感与电容元件串联的交流电路4.1正弦电压与电流4.3单一参数的交流电路4.5阻抗的串联与并联4.8功率因数的提高4.7交流电路的频率特性4.6*复杂正弦交流电路的分析与计算4.9非正弦周期电压和电流

4.1

正弦电压与电流正弦交流电的优越性：

便于传输；易于变换；便于运算；有利于电器设备的运行;…直流电流和电压正弦电流和电压正弦电压与电流统称正弦量。

正弦电压和电流是按照正弦规律周期变化的。4.1

正弦电压与电流设正弦交流电流角频率：决定正弦量变化快慢幅值：决定正弦量的大小幅值、角频率(频率)

、初相位成为正弦量的三要素。初相位：决定正弦量起始状态ImTiO4.1.1频率与周期周期T：正弦量变化一周所需的时间(s)。角频率：(rad/s)频率f：(Hz)*无线通信频率：

高达300GHz。*电网频率：我国50Hz，美国

、日本60Hz。*高频炉频率：200~300kHz(中频炉500~8000Hz)。*收音机中频段频率：530~1600

kHz。*移动通信频率：900~1800MHz。4.1.2幅值与有效值有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。幅值：Im、Um、Em则有交流直流幅值大写,下标加m同理有效值

必须大写

给出了观察正弦波的起点或参考点。

:4.1.3初相位

相位：注意：交流电压表、电流表测量数据为有效值。交流设备铭牌标注的电压、电流均为有效值。初相位：

表示正弦量在t=0时的相角。

反映正弦量变化的进程。iO正弦量所取计时起点不同，其初始值(t=0时的值)就不同，到达幅值或某一特定值的时间就不同。如：图中电压超前电流

角

两同频率的正弦量之间的初相位之差。相位差

：iu

2

1或称i滞后u

角

相位差=初相位之差。电流超前电压电压与电流同相

电流超前电压

电压与电流反相(2)不同频率的正弦量比较无意义。

(1)两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时起点的选择无关。注意:4.2正弦量的相量表示法瞬时值表达式前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。波形图

1.正弦量的表示方法重点必须小写ωt

O+1+j

Oψψωωt2ωt1ωt1ωt2(b)正弦交流电(a)旋转矢量正弦交流电与相量的关系+j+1

Oψ正弦交流电可以用一个固定矢量表示Im最大值相量

I有效值相量

Im

I相量:表示正弦量的复数称相量。复数的模即为正弦量的幅值(或有效值)

复数的辐角即为正弦量的初相位由上可知：复数由模和辐角两个特征来确定，而正弦量由幅值、频率、初相位三个特征来确定。在分析线性电路时，正弦鼓励和响应均为同频率的正弦量，频率是的，可以不考虑。因此，一个正弦量由幅值(或有效值)和初相位就可确定。比照复数和正弦量，正弦量可用复数表示。2.正弦量的相量表示复数表示形式设A为复数:(1)代数式A=a+jb复数的模复数的辐角实质：用复数表示正弦量。式中，(2)三角式(3)指数式

(4)极坐标式加、减运算时用代数式乘、除运算时用指数式*有关相量的运算？电压的幅值相量(1)相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。注意:(2)只有正弦量才能用相量表示。相量的模=正弦量的最大值

相量辐角=正弦量的初相位或设正弦量电压的有效值相量用相量表示:相量的模=正弦量的有效值

相量辐角=正弦量的初相位=正弦量是时间的函数，而相量仅仅是表示正弦量的复数，两者不能划等号！(4)正弦量表示符号的说明(3)相量的两种表示形式

相量图:

把相量表示在复平面的图形可不画坐标轴相量式:瞬时值小写〔u,i〕有效值大写〔U,I〕最大值大写+下标〔Um,Im〕只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。相量

大写+“.”（Um,Im

最大值相量）（U,I

有效值相量）··(5)“j〞的数学意义和物理意义设相量旋转因子：相量乘以，将逆时针旋转，得到。°90相量乘以，将顺时针旋转，得到。°90？正误判断1.：？有效值？3.已知：复数瞬时值j45

？最大值？？

负号2.已知：4.已知：•选定参考方向下正弦量的波形图如下图,试写出正弦量的表达式。解：例1: 同频率的正弦量的解析式分别为i=10sin(ωt+30°)A,,写出流和电压的相量,并绘出相量图。例2:解:

(1)相量式(2)相量图例3:有效值I=16.8A求：解:1.电压与电流的关系设(2)大小关系：(3)相位关系：u、i

相位相同。根据欧姆定律(1)频率相同。相位差：相量图4.3单一参数的交流电路相量式：4.3.1电阻元件的交流电路2.功率关系(1)瞬时功率

p：瞬时电压与瞬时电流的乘积。小写结论:

≥

（耗能元件）,且随时间变化。pωtpO瞬时功率在一个周期内的平均值。大写(2)平均功率(有功功率)P单位:W(瓦)P注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。一只额定电压为220V,功率为100W的电烙铁,误接在380V的交流电源上,问此时它接受的功率为多少？是否平安？假设接到110V的交流电源上,功率又为多少？例：此时不平安,电烙铁将被烧坏。此时电烙铁达不到正常的使用温度。解:由电烙铁的额定值可得当接到110V的交流电源上,此时电烙铁的功率为当电源电压为380V时,电烙铁的功率为4.3.2电感元件的交流电路根本关系式(1)

频率相同。(2)

U=IL。

(3)

电压超前电流90。相位差1.电压与电流的关系设90°那么感抗所以电感L具有通直阻交的作用。直流：f=0,XL=0，电感L视为短路定义：交流：fXLXL与f的关系OfXL(

)相量式电感电路相量形式的欧姆定律。相量图超前2.功率关系(1)瞬时功率(2)平均功率L是非耗能元件单位：var(3)无功功率Q用以衡量电感电路中能量交换的规模。储能分析：瞬时功率

放能储能放能电感L是储能元件。结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换〔能量的吞吐)。可逆的能量转换过程例:把一个0.1H的电感接到f=50Hz,U=10V的正弦电源上，求I，如保持U不变，而电源f=5000Hz,这时I为多少？解：(1)当f=50Hz时〔2〕当f=5000Hz时所以电感元件具有通低频阻高频的特性。4.3.3电容元件的交流电路

基本关系式1.电流与电压的关系(1)

频率相同。(3)电流超前电压90。相位差则设(2)

I=UC或那么定义：所以电容C具有隔直通交的作用。XC直流：XC，电容C视为开路交流：f容抗(

)OfXC相量式电容电路中相量形式的欧姆定律。相量图超前XC与f的关系2.功率关系(1)瞬时功率(2)平均功率Ｐ由C是非耗能元件(3)无功功率Q单位：var瞬时功率

所以电容C是储能元件。结论：纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换〔能量的吞吐)。例：以下图中电容C=23.5F，接在电源电压U=220V、频率为50Hz、初相位为零的交流电源上，求电路中的电流i、P及Q。该电容的额定电压最少应为多少伏？额定电压≥

311V解：容抗单一参数交流电路主要结论列表1.电流、电压的关系U=UR+UL

+UC?直流电路两电阻串联时4.4电阻、电感与电容元件串联的交流电路

RLC串联交流电路中，设为什么总电压小于各分压的代数和？1.电流、电压的关系如用相量表示电压与电流关系,可把电路模型改画为相量模型。4.4电阻、电感与电容元件串联的交流电路则(1)相量式总电压与总电流的相量关系式设（参考相量）令则Z的模表示u、i的大小关系，辐角〔阻抗角〕为u、i的相位差。Z

是一个复数，不是相量，上面不能加点。阻抗复数形式的欧姆定律注意根据电路参数与电路性质的关系：阻抗模：阻抗角：当XL>XC时，

>0，u超前i

─呈感性当XL<XC时，

<0，u滞后i

—呈容性当XL=XC时，

=0，u、

i同相

—呈电阻性

由电路参数决定。(2)相量图(

>0感性)XL

>

XC参考相量由电压三角形可得:电压三角形(

<0容性)XL

<

XC由相量图可求得(2)相量图由阻抗三角形得电压三角形阻抗三角形2.功率关系储能元件上的瞬时功率耗能元件上的瞬时功率在每一瞬间,电源提供的功率一局部被耗能元件消耗掉,一局部与储能元件进行能量交换。(1)瞬时功率设(2)平均功率P(有功功率)单位:W总电压总电流u与i的夹角cos

称为功率因数，用来衡量对电源的利用程度。(3)无功功率Q单位：var总电压总电流u与i的夹角根据电压三角形可得电阻消耗的电能根据电压三角形可得：电感和电容与电源之间的能量互换(4)视在功率S电路中总电压与总电流有效值的乘积。单位：V·A注：SN＝UNIN

称为发电机、变压器等供电设备的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有功功率。

P、Q、S都不是正弦量，不能用相量表示。阻抗三角形、电压三角形、功率三角形。SQP将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形。将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形。R例1：求:(1)电流的有效值I与瞬时值i;(2)各局部电压的有效值与瞬时值；(3)作相量图；(4)有功功率P、无功功率Q。在RLC串联交流电路中，解：(1)(2)方法1：方法1：通过计算可看出而是(3)相量图(4)或(4)(电容性)方法2：复数运算解：例2：在RC串联交流电路中，输入电压(1)求输出电压U2，并讨论输入和输出电压之间的大小和相位关系；(2)当将电容C改为时,求(1)中各项；(3)当将频率改为4000Hz时,再求(1)中各项。方法1(1)大小和相位关系比超前方法2：复数运算解：设方法3：相量图设(2)〔3〕大小和相位关系比超前从本例中可了解两个实际问题：(1)串联电容C可起到隔直通交的作用(只要选择合适的C，使

)。(2)RC串联电路也是一种移相电路,改变C、R或f都可到达移相的目的。正误判断？？？？在RLC串联电路中

？？？？

？？？？？

？设4.5阻抗的串联与并联4.5.1阻抗的串联分压公式：对于阻抗模一般注意：通式:解：同理有两个阻抗求:,并作相量图。它们串联接在的电源上。例:或利用分压公式相量图注意：以下各图中给定的电路电压、阻抗是否正确？思考U=14V?U=70V?U=70V两个阻抗串联时,在什么情况下成立?4.5.2阻抗并联分流公式：通式对于阻抗模，一般注意：解:同理例:有两个阻抗,,它们并联接在的电源上。求:和并作相量图。相量图或注意：以下各图中给定的电路电流、阻抗是否正确？两个阻抗并联,在什么情况下成立?I=8A?I=8A?I=8A思考正弦交流电路的分析和计算若正弦量用相量表示，电路参数用复数阻抗（

)表示，则直流电路中介绍的基本定律、定理及各种分析方法在正弦交流电路中都能使用。相量形式的基尔霍夫定律相量(复数)形式的欧姆定律

电阻电路纯电感电路纯电容电路一般电路有功功率P有功功率等于电路中各电阻有功功率之和，或各支路有功功率之和。无功功率等于电路中各电感、电容无功功率之和，或各支路无功功率之和。无功功率Q或或一般正弦交流电路的解题步骤1.根据原电路图画出相量模型图(电路结构不变)。2.根据相量模型列出相量方程式或画相量图。3.用相量法或相量图求解。4.将结果变换成要求的形式。例1：电源电压和电路参数，电路结构为串并联。求电流的瞬时值表达式。一般用相量式计算:分析题目：已知解：用相量式计算解：求各表读数(1)相量法计算分析方法:(1)用相量法计算;(2)相量图求解。试求:各表读数及参数R、L和C。例2:图示电路中，(2)相量图根据相量图可得求参数R、L、C方法1：方法2：45

即

XC=20

例3：以下图电路中I1=10A、UAB=100V，求：总电压表和总电流表

的读数。解题方法有两种：(1)用相量(复数)计算;(2)利用相量图分析求解。分析：电容支路的电流、电压和局部参数,求总电流和电压。解法1:

用相量计算即为参考相量，设则所以A读数为10AV读数为141V所以解法2:利用相量图分析求解画相量图如下：设为参考相量由相量图可求得I=10A求：A、V的读数。：I1=10A、UAB=100V，超前UL=IXL

=100VV

=141V由相量图可求得：I1=10A、UAB=100V，设为参考相量求：A、V的读数。V读数为141V所以解:例4:已知I=1845A，求:UAB。··VA=20I1=92.8120V

··=4.64120AI2=·30+j8———×1845A30=17.430AVB=j6I2=104.4120V

··=–

11.6

120V=11.6

–

60VI1=·30+j8———×1845Aj8·UAB=VA–

VB=(92.8120–

104.4120)V··4.8功率因数的提高1.功率因数X

的意义：电压与电流的相位差，阻抗的辐角时,电路中发生能量互换,出现无功当功率这样引起两个问题。对电源利用程度的衡量。(1)电源设备的容量不能充分利用若用户，则电源可发出的有功功率为若用户，则电源可发出的有功功率为而需提供的无功功率为:所以提高可使发电设备的容量得以充分利用。无需提供无功功率。(2)增加线路和发电机绕组的功率损耗(费电)可见提高电网的功率因数对国民经济的开展有重要的意义。设输电线和发电机绕组的电阻为。要求(Ｐ、Ｕ定值)时所以提高可减小线路和发电机绕组的损耗。2.功率因数cos

低的原因日常生活中多为感性负载，如电动机、日光灯，其等效电路及相量关系如以下图。(导线截面积)相量图感性等效电路40W、220V白炽灯

例:40W、220V日光灯

供电局一般要求用户的，否则受处罚。常用电路的功率因数(2)提高功率因数的措施3.功率因数的提高

必须保证原负载的工作状态不变。即：加至原负载上的电压和负载的有功功率不变。

在感性负载两端并电容(1)提高功率因数的原那么I结论并联电容C后(2)原感性支路的工作状态不变。(3)

电路总的有功功率不变。因为电路中电阻没有变，所以消耗的功率也不变。(1)电路的总电流，电路总功率因数I感性支路的功率因数不变。感性支路的电流

I1不变。4.并联电容值的计算相量图:由相量图可得即思考题:1.电感性负载采用串联电容的方法是否可提高功率因数？为什么?2.原负载所需的无功功率是否有变化？为什么?3.电源提供的无功功率是否有变化？为什么?解：例1:一感性负载,其功率P=10kW,，接在电压U=220V,ƒ=50Hz的电源上。(1)如将功率因数提高到,需要并多大的电容C？求并C前后的线路的电流。(2)如将从0.95提高到1，试问还需并多大的电容C？(1)求并C前后的线路电流并C前:可见cos1时再继续提高，那么所需电容值很大(不经济)，所以一般不必提高到1。并C后:(2)从0.95提高到1时所需增加的电容值解：(1)电源提供的电流为电源的额定电流为(1)该电源供出的电流是否超过其额定电流？例2:已知电源UN=220V,ƒ=50Hz，SN=10kV·A，向PN=6kW,UN=220V，的感性负载供电，(2)如并联电容将提高到0.9，电源是否还有富裕的容量？例2:该电源供出的电流超过其额定电流。（2）如将提高到0.9，电源提供的电流为该电源还有富裕的容量，即还有能力再带负载。所以提高电网功率因数后，将提高电源的利用率。4.7交流电路的频率特性前面几节讨论电压与电流都是时间的函数,在时间领域内对电路进行分析,称为时域分析。本节主要讨论电压与电流是频率的函数，在频率领域内对电路进行分析,称为频域分析。相频特性:电压或电流的相位与频率的关系。幅频特性:电压或电流的大小与频率的关系。当电源电压或电流〔鼓励〕的频率改变时，容抗和感抗随之改变，从而使电路中产生的电压和电流〔响应〕的大小和相位也随之改变。频率特性或频率响应：研究响应与频率的关系。4.7.2谐振电路在同时含有L和C的交流电路中，如果总电压和总电流同相，称电路处于谐振状态。此时电路与电源之间不再有能量的交换，电路呈电阻性。串联谐振：L

与C

串联时u、i同相并联谐振：L

与C

并联时u、i同相研究谐振的目的,一方面在生产上充分利用谐振的特点(如在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用)。另一方面又要预防它所产生的危害。谐振的概念：或同相，由定义，谐振时：即谐振条件谐振时的角频率串联谐振电路(1)谐振条件1.串联谐振(2)谐振频率根据谐振条件：或电路发生谐振的方法：①电源频率f一定，调参数L、C，使f0=f，(2)谐振频率②电路参数L、C一定，调电源频率f，使f=f0。(3)谐振特怔①

阻抗最小可得谐振频率为或当电源电压一定时②电流最大电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗，和相互补偿。即电源与电路之间不发生能量互换。③

同相④电压关系电阻电压：UR=I0R=U大小相等、相位相差180

电容、电感电压：UC、UL将大于电源电压U当时有

由于,可能会击穿线圈或电容的绝缘,因此在电力系统中一般应避免发生串联谐振,但在无线电工程上,又可利用这一特点达到选择信号的目的。令表征串联谐振电路的谐振质量。品质因数Q所以串联谐振又称为电压谐振。注意谐振时相互抵消，但其本身不为零，而是电源电压的Q倍。与相量图：如Q=100,U=220V,则在谐振时所以电力系统应防止发生串联谐振。O(4)谐振曲线①串联电路的阻抗频率特性

阻抗随频率变化的关系。容性感性2)谐振曲线电流随频率变化的关系曲线。Q值越大，曲线越锋利，选择性越好。分析：谐振电流电路具有选择最接近谐振频率附近的电流的能力——称为选择性。R

Q大Q小通频带：谐振频率。上限截止频率。下限截止频率。通频带宽度越小(Q值越大)，选择性越好，抗干扰能力越强。当电流下降到0.707I0时所对应的上下限频率之差，称通频带。即∆ƒ=ƒ2－ƒ1。Q大Q小(5)串联谐振应用举例接收机的输入电路：接收天线：组成谐振电路为来自3个不同电台(不同频率)的电动势信号。调C,对所需信号频率产生串联谐振等效电路最大则例1：将一线圈(L=4mH,R=50Ω)与电容器

(C=160pF)串联，接在U=25V的电源上。

(1)当f0

=200kHz时发生谐振，求电流与电容器上的电压。

(2)当频率增加10%时，求电流与电容器上的电压。解：(1)当f0

=200kHz电路发生谐振时例1：将一线圈(L=4mH,R=50Ω)与电容器

(C=160pF)串联，接在U=25V的电源上。

(1)f0

=200kHz时发生谐振，求电流与电容器上的电压。

(2)当频率增加10%时，求电流与电容器上的电压。解：(2)当频率增加10%时可见,偏离谐振频率10%时，I和UC就大大减小。例2：某收音机的输入电路如下图。线圈L的电感L=0.3mH，电阻R=16Ω。今欲收听640kHz某电台的播送，应将可变电容器调到多少皮法？如果调谐回路中感应出电压U=2μV，试求这时回路中的该信号的电流多大，并在