九年级数学（第23章 解直角三角形）23.1 锐角的三角函数（沪科版 学习、上课课件）

23.1锐角的三角函数第23章解直角三角形23.1.1锐角的三角函数逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2正切坡度与坡角正弦、余弦锐角三角函数知识点正切知1－讲1

知1－讲特别提醒1.tanA不表示“tan”乘“A”.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.2.tanA＞0且没有单位，它表示一个比值，tanA的大小只与∠A的大小有关.知1－练例1如图23.1-2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD＝_______.

知1－练解题秘方：紧扣正切的定义，找出在该锐角所在的直角三角形中，该锐角的对边与邻边的比，或在与之相等的锐角所在的直角三角形中，该锐角的对边与邻边的比.

知1－练方法点拨直接求某个锐角的正切值有困难时，可以考虑将相等的角作为中间量进行转化.知2－讲知识点坡度与坡角2名称定义表示方法关系距离坡度坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i坡度是坡角的正切值，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角)，记作α知2－讲特别提醒1.坡度是一个比值，没有单位；坡角是一个角.2.坡度一般写成1∶m的形式，比的前项为1，后项m可以是小数，也可以是带根号的数.知2－练如图23.1-3，拦水坝的横断面为梯形ABCD，BC∥AD，斜坡AB的坡度为1∶3，坝顶宽BC＝3m，坝高为4m，斜坡CD＝5m.例2解题秘方：紧扣坡度与坡面的倾斜程度之间的关系解决问题.知2－练(1)试比较斜坡AB和CD哪个更陡；

知2－练(2)求坝底宽AD的值.

知2－练解法提醒1.解有关坡度的问题时，往往要添加适当的辅助线，构造直角三角形.2.比较哪个斜坡更陡，也就是比较哪个斜坡的坡度更大.知3－讲知识点正弦、余弦3正弦、余弦的定义名称定义数学语言图示正弦知3－讲知识点续表名称定义数学语言图示正弦知3－讲特别提醒1.sinA，cos

A都是一个完整的符号，注意事项与正切类似.2.sinA，cos

A都没有单位，其值与锐角A的大小有关.知3－练

例3解题秘方：根据勾股定理求出直角三角形的第三边的长，再根据正弦、余弦的定义解答．

知3－练(2)若a∶b＝5∶12，则∠B的余弦值是_____．解题秘方：根据勾股定理求出直角三角形的第三边的长，再根据正弦、余弦的定义解答．

知3－练解法提醒求角的正弦、余弦、正切的值时，常先用勾股定理求出未知边的长，再求正弦、余弦、正切的值.在这里，勾股定理起到了桥梁和纽带的作用.知4－讲知识点锐角三角函数41.

锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦和正切都叫做锐角A的三角函数.锐角三角函数sinA(或cosA、tanA)是以锐角A为自变量的函数.对于锐角A的每一个确定的值，sinA(或cosA、tanA)都有唯一确定的值与其对应.知4－讲

知4－讲深度理解1.锐角三角函数之间的关系都可用定义推导得出.

2.锐角三角函数定义速记口诀：正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻，函数特点要牢记.知4－练在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知a＝6，b＝8，求∠A的三个三角函数值.例4解题秘方：紧扣锐角三角函数的定义求解.知4－练

知4－练解法提醒已知直角三角形的任意两边长求某个锐角的三角函数值时，运用数形结合思想，首先画出符合题意的直角三角形，然后根据勾股定理求出未知边长，最后结合锐角三角函数的定义求该锐角的三角函数值.知4－练

解题秘方：当出现三角形两边长的比时，可引入参数(辅助元)，用这个参数表示三角形的三边长，再用定义求解.例5知4－练答案：B

知4－练技巧点拨在直角三角形中，给出某个锐角的三角函数值，求另一个锐角的三角函数值时，可以用设辅助元，即引入参数的方法来解决，注意在最后计算时约去辅助元.知4－练如图23.1-5，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，如果2AB＝3BC，求∠B的三个三角函数值.例6解题秘方：紧扣锐角三角函数的定义的前提是“在直角三角形中”这一特征，用构造直角三角形法求解.知4－练

知4－练特别提醒求锐角三角函数值的方法：三角函数是在直角三角形的条件下定义的，因此当求某一个锐角的三角函数值时，先观察该锐角是否在某一个直角三角形中，当题目中没有直角三角形时，就需要我们作辅助线构造与该锐角有关的直角三角形.知4－练

例7知4－练解题秘方：紧扣“角相等则其三角函数值也相等”这一特征，用等角转换法将所要求的锐角的三角函数值转化为直角三角形中与它相等的锐角的三角函数值.知4－练答案：A

知4－练教你一招求锐角三角函数值时，若用定义法、参数法、构造法等还是不能求出所要求的锐角的三角函数值，我们需转换思维方式，将角进行转化，改求某直角三角形中与所求锐角相等的角的三角函数值，即用等角转换法求解.知4－练方法点拨找相等的角的方法有很多种，可以借助平行线、三角形外角、等腰三角形、三角形全等、三角形相似等知识来寻找，要根据题目中的条件灵活选用方法.锐角的三角函数锐角三角函数正切正弦余弦坡度与坡角23.1锐角的三角函数第23章解直角三角形23.1.230°，45°，60°角的三角函数值逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程230°，45°，60°角的三角函数值互余两角的正弦、余弦特殊角的三角函数值的实际应用知识点30°，45°，60°角的三角函数值知1－讲11.30°，45°，60°角的三角函数值三角函三角数值

函数αsinαcosαtanα30°45°160°知1－讲特别提醒由右表可以清楚地知道特殊角的三角函数值，也可由特殊角的三角函数值求出相应的锐角度数.知1－讲2.30°，45°，60°角的三角函数值的记忆法巧记特殊角的三角函数值：三十、四十五、六十度，三角函数要记住，分母弦二切是三，分子要把根号添，一二三来三二一，切值三、九、二十七，正弦正切递增值，余弦递减恰相反.知1－讲

知1－练例1

解题秘方：用代入法求值.

知1－练解题秘方：用代入法求值.

知1－练解法提醒有关特殊角的三角函数值的计算方法：先直接写出三角函数值，将运算转化为实数的混合运算，然后根据实数的运算法则计算.知1－练

解题秘方：先根据题意结合特殊角的三角函数值求出两个内角的度数，再判断三角形的形状.例2知1－练

知1－练特别提醒已知特殊角的三角函数值求特殊角的度数时，要注意两点：1.要求的角是锐角；2.看准三角函数的类别，同样的函数值，不同类别，对应角的度数不一样.知1－练例3求tan15°的值.解题秘方：构造与15°角有关联的含特殊角的直角三角形进行计算.解：如图23.1-14，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB到点D，使BD＝AB，连接AD.知1－练

知1－练方法点拨构造特殊角的方法：1.利用特殊角的组合进行转化，如30°＋45°＝75°；2.借助外角构造含特殊锐角的直角三角形.知2－讲知识点互余两角的正弦、余弦2

知2－讲用语言可表述为：任意一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.由此可进行互余两角的正弦值与余弦值的相互转化.知2－讲特别解读运用此关系的前提是两角互余，目的是将正弦值与余弦值相互转化.知2－练计算：sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°例4解题秘方：紧扣sinα＝cos(90°－α)将原式变形，再根据sin2α＋cos2α＝1求解.知2－练

知2－练

知3－讲知识点特殊角的三角函数值的实际应用3利用特殊角的三角函数值解决实际问题的一般步骤(1)根据题意构造出含有特殊角的直角三角形，建立三角函数模型；(2)利用三角函数的定义或定义的变形表示题目中的相关量；(3)找出各个量之间的关系；知3－讲(4)利用已知量与未知量的关系求解未知量；(5)得出结论.注意：在构造直角三角形时，要注意角度拆分的应用.知3－讲特别提醒利用特殊角的三角函数值解决实际问题时，要找到与已知量和未知量相关联的直角三角形.当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形.知3－练如图23.1-16，在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离，现测得AC＝30m，BC＝70m，∠CAB＝120°，请计算A，B两个凉亭之间的距离.例5知3－练解题秘方：紧扣利用特殊角的三角函数值解决实际问题的一般步骤，建立三角函数模型解决问题.知3－练

知3－练方法点拨本题是利用构造法求解无法直接测量的距离问题，具体操作时，先构造出含有特殊角(30°，45°或60°角)的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值来计算所要求的距离.30°，45°，60°角的三角函数值特殊角互余两角的正、余弦关系30°角45°角60°角三角函数值解决实际问题23.1锐角的三角函数第23章解直角三角形23.1.3一般锐角的三角函数值逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2用科学计算器求任意一个锐角的三角函数值用科学计算器由锐角三角函数值求锐角知识点用科学计算器求任意一个锐角的三角函数值知1－讲11.

求整数度数的锐角的三角函数值在科学计算器的面板上涉及三角函数的键有sin、cos和tan等，当我们计算某整数度数的锐角的三角函数值时，可先按相应的三角函数键，然后从高位向低位按出表示度数的整数，最后按=

键，屏幕上就会显示出结果.知1－讲2.求非整数度数的锐角的三角函数值(1)若度数的单位是用度表示的，则按整数度数的按键步骤操作即可.(2)若度数的单位是用度、分、秒表示的，在用科学计算器计算三角函数值时，同样先按sin、cos或tan键，然后依次按数字键、(度)键、数字键、

(分)键、数字键、

(秒)键，最后按=

键，屏幕上就会显示出结果.若锐角中只有度、秒，则应在(分)键前补上0.知1－讲特别提醒1.有些科学计算器在求锐角的三角函数值时，要先把科学计算器设置在“角度”状态.2.用计算器求锐角三角函数值时，一般先按ON/C键，目的是清除前一次的运算结果.3.用计算器求锐角三角函数值时，如果没有特别说明，计算结果一般精确到万分位.知1－练例1用计算器求sin26°、cos42°、tan75°、sin72°38′25″的值.(精确到0.0001)解题秘方：按计算器的使用说明求值.知1－练解：求值过程如下表所示.三角函数按键顺序显示结果sin26°0.438371146cos42°0.743144825tan75°3.732050808sin72°38′25″0.954450312所以sin26°≈0.4384，cos42°≈0.7431，tan75°≈3.7321，sin72°38'25″≈0.9545.知1－练特别提醒要注意不同型号的计算器的操作步骤可能有所不同，使用前要仔细阅读计算器的使用说明书.知2－讲知识点用科学计算器由锐角三角函数值求锐角2已知锐角三角函数值求锐角的度数如果是特殊角(30°，45°或60°角)的三角函数值，可直接写出其相应的角的度数；若不是特殊角的三角函数值，应利用计算器求角的度数.求角的度数要先按2ndF键，再按sin-1

、cos-1

或tan-1

键.当三角函数值为分数时，应先化成小数.知2－讲特别提醒用计算器直接计算出的角的单位是度，若需用度、分、秒表示，则要在