安徽省芜湖一中2024届高一数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

安徽省芜湖一中2024届高一数学第二学期期末学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量，若，则的最小值为（）.A．12 B． C．16 D．2．已知向量，，若，则实数a的值为A． B．2或 C．或1 D．3．若向量的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（）A． B． C． D．4．同时抛掷两个骰子，则向上的点数之和是的概率是（）A． B． C． D．5．在△ABC中，如果，那么cosC等于（）A． B． C． D．6．已知变量x，y满足约束条件x+y-2≥0,y≤2,x-y≤0,则A．2 B．3 C．4 D．67．已知为定义在上的函数，其图象关于轴对称，当时，有，且当时，，若方程（）恰有5个不同的实数解，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．若满足条件的三角形ABC有两个，那么a的取值范围是（）A． B． C． D．9．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（）A． B． C． D．10．函数y=tan（–2x）的定义域是()A．{x|x≠+，k∈Z} B．{x|x≠kπ+，k∈Z}C．{x|x≠+，k∈Z} D．{x|x≠kπ+，k∈Z}二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知实数满足约束条件，若目标函数仅在点处取得最小值，则的取值范围是__________.12．如图，在等腰直角三角形ABC中，，，以AB为直径在外作半圆O，P是半圆弧AB上的动点，点Q在斜边BC上，若，则的取值范围是________.13．已知，，那么的值是________．14．已知，，，则的最小值为__________．15．若实数满足，则取值范围是____________。16．若实数满足，，则__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图扇形的圆心角，半径为2，E为弧AB的中点C､D为弧AB上的动点，且，记，四边形ABCD的面积为.（1）求函数的表达式及定义域；（2）求的最大值及此时的值18．爱心超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温单位：有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份每天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温天数216362574（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的频率；（2）当六月份有一天这种酸奶的进货量为450瓶时，求这一天销售这种酸奶的平均利润（单位：元）19．在一次人才招聘会上，有、两家公司分别开出了他们的工资标准：公司允诺第一个月工资为8000元，以后每年月工资比上一年月工资增加500元；公司允诺第一年月工资也为8000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增，设某人年初被、两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在公司或公司连续工作年，则他在第年的月工资分别是多少；（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？20．已知，.（1）求；（2）求.21．已知数列满足：.（1）求证：数列为等差数列，并求；（2）记，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

根据向量的平行关系，得到间的等量关系，再根据“”的妙用结合基本不等式即可求解出的最小值.【题目详解】因为，所以，所以，又因为，取等号时即，所以.故选：B.【题目点拨】本题考查利用基本不等式求解最小值，难度一般.本题是基本不等式中的常见类型问题：已知，则，取等号时.2、C【解题分析】

根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得，解可得a的值，即可得答案．【题目详解】根据题意，向量，，若，则有，解可得或1；故选C．【题目点拨】本题考查向量平行的坐标表示方法，熟记平行的坐标表示公式得到关于a的方程是关键，是基础题3、B【解题分析】

结合数量积公式可求得、、的值，代入向量夹角公式即可求解．【题目详解】设向量与的夹角为，因为的夹角为，且，，所以，，所以，又因为所以，故选B【题目点拨】本题考查向量的数量积公式，向量模、夹角的求法，考查化简计算的能力，属基础题．4、C【解题分析】

由题意可知，基本事件总数为，然后列举出事件“同时抛掷两个骰子，向上的点数之和是”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【题目详解】同时抛掷两个骰子，共有个基本事件，事件“同时抛掷两个骰子，向上的点数之和是”所包含的基本事件有：、、、、，共个基本事件.因此，所求事件的概率为.故选：C.【题目点拨】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.5、D【解题分析】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）由余弦定理可得，CosC=,选D6、D【解题分析】

试题分析：把函数转化为表示斜率为截距为平行直线系，当截距最大时，最大，由题意知当直线过和两条直线交点时考点：线性规划的应用.【题目详解】请在此输入详解！7、C【解题分析】当时，有，所以，所以函数在上是周期为的函数，从而当时，，有，又，即，有易知为定义在上的偶函数，所以可作出函数的图象与直线有个不同的交点，所以，解得，故选C.点睛：本题主要考查了函数的奇偶性、周期性、对称性，函数与方程等知识的综合应用，着重考查了数形结合思想研究直线与函数图象的交点问题，解答时现讨论得到分段函数的解析式，然后做出函数的图象，将方程恰有5个不同的实数解转化为直线与函数的图象由5个不同的交点，由数形结合法列出不等式组是解答的关键.8、C【解题分析】

利用正弦定理，用a表示出sinA，结合C的取值范围，可知；根据存在两个三角形的条件，即可求得a的取值范围。【题目详解】根据正弦定理可知，代入可求得因为，所以若满足有两个三角形ABC则所以所以选C【题目点拨】本题考查了正弦定理在解三角形中的简单应用，判断三角形的个数情况，属于基础题。9、B【解题分析】

分别求出四个选项中函数的周期，排除选项后，再通过函数的单调减区间找出正确选项即可.【题目详解】由题意观察选项，C的周期不是，所以C不正确；对于A，，函数的周期为，但在区间上为增函数，故A不正确；对于B，，函数的周期为，且在区间上为减函数，故B正确；对于D，，函数的周期为，但在区间上为增函数，故D不正确；故选：B【题目点拨】本题主要考查三角函数的性质，需熟记正弦、余弦、正切、余切的性质，属于基础题.10、A【解题分析】

根据诱导公式化简解析式，由正切函数的定义域求出此函数的定义域．【题目详解】由题意得，y=tan（–2x）=–tan（2x–），由2x–（k∈Z）得，x≠+，k∈Z，所以函数的定义域是{x|x≠+，k∈Z}，故选:A．【题目点拨】本题考查正切函数的定义域，以及诱导公式的应用，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

利用数形结合，讨论的范围，比较斜率大小，可得结果.【题目详解】如图，当时，，则在点处取最小值，符合当时，令，要在点处取最小值，则当时，要在点处取最小值，则综上所述：故答案为：【题目点拨】本题考查目标函数中含参数的线性规划问题，难点在于寻找斜率之间的关系，属中档题.12、【解题分析】

建立直角坐标系，得出的坐标，利用数量积的坐标表示得出，结合正弦函数的单调性得出的取值范围.【题目详解】取中点为，建立如下图所示的直角坐标系则，设，，则，则设点，则，则当，即时，取最大值当，即时，取最小值则的取值范围是故答案为：【题目点拨】本题主要考查了利用数量积求参数以及求正弦型函数的最值，属于较难题.13、【解题分析】

首先根据题中条件求出角，然后代入即可.【题目详解】由题知，，所以，故.故答案为：.【题目点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题.14、8【解题分析】由题意可得：则的最小值为.当且仅当时等号成立.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．15、；【解题分析】

利用三角换元，设，；利用辅助角公式将化为，根据三角函数值域求得结果.【题目详解】可设，，本题正确结果：【题目点拨】本题考查利用三角换元法求解取值范围的问题，关键是能够将问题转化为三角函数值域的求解问题.16、【解题分析】

由反正弦函数的定义求解．【题目详解】∵，∴，，∴，∴．故答案为：．【题目点拨】本题考查反正弦函数，解题时注意反正弦函数的取值范围是，结合诱导公式求解．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）当时，取最大值.【解题分析】

（1）取OE与DC､AB的交点分别为M､N，在中，分别求出，，再利用梯形的面积公式求解即可；（2）令，则，，再求最值即可.【题目详解】解：（1），OE与DC､AB的交点分别为M､N，由已知可知，在中，.，，梯形ABCD的高，则.（2）设，则，，则，，则.，当时，，此时，即，，，，故.故的最大值为，此时.【题目点拨】本题考查了三角函数的应用，重点考查了运算能力，属中档题18、（1）；（2）460元.【解题分析】

（1）根据表中的数据，求得最高气温位于区间和最高气温低于20的天数，利用古典概型的概率计算公式，即可求得相应的概率；（2）分别求出温度不低于、温度在，以及温度低于时的利润及相应的概率，即可求解这一天销售这种酸奶的平均利润，得到答案．【题目详解】（1）根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，如果最高气温位于区间，需求量为300瓶，如果最高气温低于20，需求量为200瓶，得到最高气温位于区间和最高气温低于20的天数为，所以六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的频率．（2）当温度大于等于时，需求量为500瓶，利润为：元，当温度在时，需求量为300瓶，利润为：元，当温度低于时，需求量为200瓶，利润为：元，平均利润为【题目点拨】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及概率的实际应用，其中解答中认真审题，熟练应用古典概型及其概率的计算公式，以及平均利润的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．19、（1）公司：；公司：；（2）公司十年月工资总和为，公司十年月工资总和为，选公司；【解题分析】

(1)易得在两家公司每年的工资分别成等差和等比数列再求解即可.(2)根据(1)中的通项公式求解前10年的工资和比较大小即可.【题目详解】(1)易得在公司的工资成公差为500,首项为8000的等差数列,故在公司第年的月工资为.在公司的工资成公比为,首项为8000的等比数列.故在公司第年的月工资为.(2)由(1)得,在公司十年月工资总和在公司十年月工资总和.因为.故选公司.【题目点拨】本题主要考查了等差等比数列的实际应用题,需要根据题意找出首项公比公差再求和等.属于基础题型.20、（1），（2）【解题分析】

（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得和的值，可得的值（2）由题意利用二倍角公式，求得原式子的值．【题目详解】（1）∵已知，，，∴则（2）【题目点拨】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式、二