2024届吉林市长春汽车经济开发区第六中学高一数学第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2024届吉林市长春汽车经济开发区第六中学高一数学第二学期期末学业质量监测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如下图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，则异面直线PA与BC所成角的余弦值为（）A． B． C． D．2．已知满足，则（）A．1 B．3 C．5 D．73．已知向量，且，则m=()A．−8 B．−6C．6 D．84．要得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝cos2的图象()A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度5．执行如下的程序框图，则输出的是（）A． B．C． D．6．己知x与y之间的几组数据如下表：x0134y1469则y与x的线性回归直线y=A．(2,5) B．(5,9) C．(0,1) D．(1,4)7．将函数的图像先向右平移个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，得到的图像，则的可能取值为（）A． B． C． D．8．如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A． B． C． D．9．从装有红球和绿球的口袋内任取2个球(其中红球和绿球都多于2个)，那么互斥而不对立的两个事件是()A．至少有一个红球，至少有一个绿球B．恰有一个红球，恰有两个绿球C．至少有一个红球，都是红球D．至少有一个红球，都是绿球10．已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则可能的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，则的最小值为__________．12．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，则这时容器中水的深度为___________．13．设a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），那么sinα+2cosα的值等于．14．已知，，若，则______15．若，则______（用表示）.16．已知，为单位向量，且，若向量满足，则的最小值为_____.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某电视台有一档益智答题类综艺节日，每期节目从现场编号为01～80的80名观众中随机抽取10人答题.答题选手要从“科技”和“文艺”两类题目中选一类作答，一共回答10个问题，答对1题得1分.（1）若采用随机数表法抽取答题选手，按照以下随机数表，从下方带点的数字2开始向右读，每次读取两位数，一行用完接下一行左端，求抽取的第6个观众的编号.162277943949544354821737932378873509643842634916484421753315724550688770474476721763350258392120676（2）若采用等距系统抽样法抽取答题选手，且抽取的最小编号为06，求抽取的最大编号.（3）某期节目的10名答题选手中6人选科技类题目，4人选文艺类题目.其中选择科技类的6人得分的平均数为7，方差为；选择文艺类的4人得分的平均数为8，方差为.求这期节目的10名答题选手得分的平均数和方差.18．16种食品所含的热量值如下：111123123164430190175236430320250280160150210123（1）求数据的中位数与平均数；（2）用这两种数字特征中的哪一种来描述这个数据集更合适？19．数列an，n∈N*各项均为正数，其前n项和为S（1）求证数列Sn2为等差数列，并求数列（2）设bn=24Sn4-1，求数列bn的前n20．（1）已知，，且、都是第二象限角，求的值.（2）求证：.21．某高中非毕业班学生人数分布情况如下表，为了了解这2000个学生的体重情况，从中随机抽取160个学生并测量其体重数据，根据测量数据制作了下图所示的频率分布直方图.（1）为了使抽取的160个样品更具代表性，宜采取分层抽样，请你给出一个你认为合适的分层抽样方案，并确定每层应抽取的样品个数；（2）根据频率分布直方图，求的值，并估计全体非毕业班学生中体重在内的人数；（3）已知高一全体学生的平均体重为，高二全体学生的平均体重为，试估计全体非毕业班学生的平均体重.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

作出异面直线PA与BC所成角，结合三角形的知识可求.【题目详解】取的中点，连接，如图，因为，，所以四边形是平行四边形，所以；所以或其补角是异面直线PA与BC所成角；设，则,；因为，所以；因为平面ABCD，所以,在三角形中，.故选：B.【题目点拨】本题主要考查异面直线所成角的求解，作出异面直线所成角，结合三角形知识可求.侧重考查直观想象的核心素养.2、B【解题分析】

已知两个边和一个角，由余弦定理，可得。【题目详解】由题得，，，代入，化简得，解得（舍）或.故选：B【题目点拨】本题考查用余弦定理求三角形的边，是基础题。3、D【解题分析】

由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【题目详解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝1．故选D．【题目点拨】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．4、B【解题分析】∵，∴要得到函数的图像，只需将函数的图像向左平移个单位．选B．5、A【解题分析】

列出每一步算法循环，可得出输出结果的值.【题目详解】满足，执行第一次循环，，；成立，执行第二次循环，，；成立，执行第三次循环，，；成立，执行第四次循环，，；成立，执行第五次循环，，；成立，执行第六次循环，，；成立，执行第七次循环，，；成立，执行第八次循环，，；不成立，跳出循环体，输出的值为，故选：A.【题目点拨】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.6、A【解题分析】

分别求出x,y均值即得．【题目详解】x=0+1+3+44=2，故选A．【题目点拨】本题考查线性回归直线方程，线性回归直线一定过点(x7、D【解题分析】由题意结合辅助角公式有：，将函数的图像先向右平移个单位，所得函数的解析式为：，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，所得函数的解析式为：，而，据此可得：，据此可得：.本题选择D选项.8、C【解题分析】

根据三视图还原直观图，根据长度关系计算表面积得到答案.【题目详解】根据三视图还原直观图，如图所示：几何体的表面积为：故答案选C【题目点拨】本题考查了三视图，将三视图转化为直观图是解题的关键.9、B【解题分析】由于从口袋中任取2个球有三个事件，恰有一个红球，恰有两个绿球,一红球和一绿球.所以恰有一个红球，恰有两个绿球是互斥而不对立的两个事件.因而应选B.10、C【解题分析】

直接利用三角函数性质的应用和函数的奇偶性的应用求出结果.【题目详解】解：由函数，存在常数，使得为偶函数，则，由于函数为偶函数，故，所以，当时，.故选：C.【题目点拨】本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

根据均值不等式即可求出的最小值.【题目详解】因为所以，根据均值不等式可得：当且仅当，即时等号成立.【题目点拨】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.12、15【解题分析】

根据球的半径，先求得球的体积；根据圆与等边三角形关系，设出的边长为，由面积关系表示出圆锥的体积；设拿出铁球后水面高度为，用表示出水的体积，由即可求得液面高度.【题目详解】因为铁球半径为，所以由球的体积公式可得，设的边长为，则由面积公式与内切圆关系可得，解得，则圆锥的高为.则圆锥的体积为，设拿出铁球后的水面为，且到的距离为，如下图所示：则由，可得,所以拿出铁球后水的体积为，由，可知，解得，即将铁球取出后容器中水的深度为15.故答案为：15.【题目点拨】本题考查了圆锥内切球性质的应用，球的体积公式及圆锥体积公式的求法，属于中档题.13、﹣【解题分析】试题分析:利用任意角三角函数定义求解．解：∵a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），∴x=﹣3a，y=4a，r==5a，∴sinα+2cosα==﹣．故答案为﹣．考点：任意角的三角函数的定义．14、【解题分析】

根据向量垂直的坐标表示列出等式，求出，再利用二倍角公式、平方关系即可求出．【题目详解】由得，，解得，．【题目点拨】本题主要考查了向量垂直的坐标表示以及二倍角公式、平方关系的应用．15、【解题分析】

直接利用诱导公式化简求解即可．【题目详解】解：，则，故答案为：．【题目点拨】本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力，属于基础题．16、.【解题分析】

由题意设，，，由得出，它表示圆，由，利用向量的模的几何意义从而得到最小值.【题目详解】由题意设，，，因，即，所以，它表示圆心为，半径的圆，又，所以，而表示圆上的点与点的距离的平方，由，所以，故的最小值为.故答案为：.【题目点拨】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，也考查了圆的方程与应用问题，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）42；（2）78；（3）平均数为7.4，方差为2.24【解题分析】

（1）根据随机数表依次读取数据即可，取01～80之间的数据；（2）根据系统抽样，确定组矩，计算可得；（3）根据平均数和方差得出数据的整体关系，整体代入求解10名选手的平均数和方差.【题目详解】（1）根据题意读取的编号依次是：20,96（超界），43,84（超界），26,34,91（超界），64,84（超界），42,17，所以抽取的第6个观众的编号为42；（2）若采用系统抽样，组矩为8，最小编号为06，则最大编号为6+9×8=78；（3）记选择科技类的6人成绩分别为：，选择文艺类的4人成绩分别为：，由题：，，，，所以这10名选手的平均数为方差为【题目点拨】此题考查统计相关知识，涉及随机数表读数，系统抽样和平均数与方差的计算，对计算公式的变形处理要求较高.18、（1）中位数为：，平均数为：；（2）用平均数描述这个数据更合适.【解题分析】

（1）根据中位数和平均数的定义计算即可；（2）根据平均数和平均数的优缺点进行选择即可.【题目详解】（1）将数据从小到大排列得：111，123，123，123，150，160，164，175，190，210，236，250，280，320，430，430.所以中位数为：，平均数为：；（2）用平均数描述这个数据更合适，理由如下：平均数反映的是总体的一个情况，中位数只是数列从小到大排列得到的最中间的一个数或两个数，所以平均数更能反映总体的一个整体情况.【题目点拨】本题考查数据的数字特征的计算及应用，考查基础知识和基本技能，属于常考题.19、（1）证明见解析，an【解题分析】

（1）由题得Sn2-Sn-12=1(n≥2)，即得数列Sn2为首项和公差都是1【题目详解】（1）证明：∵2anSn-an整理得，Sn又S1∴数列Sn2为首项和公差都是∴S又Sn>0∴n≥2时，an=S∴数列an的通项公式为a（2）解：∵bn∴Tn=1-1∵n∈N*依题意有23>1故所求最大正整数m的值为3.【题目点拨】本题主要考查等差数列性质的证明，考查项和公式求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20、（1）；（2）见解析【解题分析】

（1）利用同角三角函数间的关系式的应用，可求得cosα，sinβ，再利用两角差的正弦、余弦与正切公式即可求得cos（α﹣β）的值．（2）利用切化弦结合二倍角公式化简即可证明【题目详解】（1）∵sinα，cosβ，且α、β都是第二象限的角，∴cosα，sinβ，∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）得证【题目点拨】本题考查两角和与差的正弦、余弦与正切，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题．21、(1)见解析；(2)；1350人；(3)平均体重为.【解题分析】

（1）考虑到体重应与年级及性别均有关，最合理的分层应分为以下四层：高一男生，高一女生，高二男生，高二女生，高一男44人，高一女52人，高二男34人，高二女30人，由此能求出结果．（2）体重在之间的学生人数的率，从而，体重在，内人数的频率为0.675，由此能求出估计全体非毕业班学生体重在，内的人数．（3）设高一全体学生的平均体重为：，频率为，高二全体学生的平均体重为，频率为，由此能估计全体非毕业班学生的平均体重．【题目详解】（1）考虑到体重应与年级及性别均有关，最合理的分层应分