四川省泸州市泸县第四中学2024届数学高一第二学期期末质量检测模拟试题含解析

四川省泸州市泸县第四中学2024届数学高一第二学期期末质量检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．给出函数为常数，且，，无论a取何值，函数恒过定点P，则P的坐标是A． B． C． D．2．某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人a人,为调查身体健康状况,需要从中抽取一个容量为m的样本，用分层抽样方法抽取进行调查，样本中的中年人为6人,则a和m的值不可以是下列四个选项中的哪组（）A．a=810,m=17 B．a=450,m=14C．a=720,m=16 D．a=360,m=123．已知，的线性回归直线方程为，且，之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的为A．变量，之间呈现正相关关系 B．可以预测，当时，C． D．由表格数据可知，该回归直线必过点4．已知直线，平面，且，下列条件中能推出的是（）A． B． C． D．与相交5．已知直线，直线，若，则直线与的距离为（）A． B． C． D．6．函数（，）的部分图象如图所示，则的值分别是（）A． B． C． D．7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（）.A．24里 B．12里 C．6里. D．3里8．某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为（）A． B． C． D．9．设等比数列的公比为,其前项的积为,并且满足条件：；给出下列论:①；②；③值是中最大值；④使成立的最大自然数等于198.其中正确的结论是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④10．若直线的倾斜角为，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的反函数的图象经过点，那么实数的值等于____________.12．已知则sin2x的值为________.13．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是______.14．已知直线和，若，则a等于________.15．三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则____________16．等差数列，的前项和分别为，，且，则______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在等差数列中，为其前项和()，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项为，证明：18．已知扇形的面积为，弧长为，设其圆心角为（1）求的弧度；（2）求的值.19．已知是圆的直径，垂直圆所在的平面,是圆上任一点．求证:平面⊥平面.20．已知向量.（I）当实数为何值时，向量与共线？（II）若向量，且三点共线，求实数的值.21．某校高二年级共有800名学生参加2019年全国高中数学联赛江苏赛区初赛，为了解学生成绩，现随机抽取40名学生的成绩（单位：分），并列成如下表所示的频数分布表：分组频数⑴试估计该年级成绩不低于90分的学生人数；⑵成绩在的5名学生中有3名男生，2名女生，现从中选出2名学生参加访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】试题分析：因为恒过定点，所以函数恒过定点.故选D.考点：指数函数的性质.2、B【解题分析】

根据分层抽样的规律，计算a和m的关系为：8+a【题目详解】某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人a人,样本中的中年人为6人，则老年人为：180×6540=22+6+代入选项计算，B不符合故答案为B【题目点拨】本题考查了分层抽样，意在考查学生的计算能力.3、C【解题分析】

A中，根据线性回归直线方程中回归系数0.82＞0，判断x，y之间呈正相关关系；B中，利用回归方程计算x＝5时的值即可预测结果；C中，计算、，代入回归直线方程求得m的值；D中，由题意知m＝1.8时求出、，可得回归直线方程过点（，）．【题目详解】已知线性回归直线方程为0.82x+1.27，0.82＞0，所以变量x，y之间呈正相关关系，A正确；计算x＝5时，0.82×5+1.27＝5.37，即预测当x＝5时y＝5.37，B正确；（0+1+2+3）＝1.5，（0.8+m+3.1+4.3），代入回归直线方程得0.82×1.5+1.27，解得m＝1.8，∴C错误；由题意知m＝1.8时，1.5，2.5，所以回归直线方程过点（1.5，2.5），D正确．故选C．【题目点拨】本题考查了线性回归方程的概念与应用问题，是基础题．4、C【解题分析】

根据线面垂直的性质，逐项判断即可得出结果.【题目详解】A中，若，由，可得；故A不满足题意；B中，若，由，可得；故B不满足题意；C中，若，由，可得；故C正确；D中，若与相交，由，可得异面或平，故D不满足题意.故选C【题目点拨】本题主要考查线面垂直的性质，熟记线面垂直的性质定理即可，属于常考题型.5、A【解题分析】

利用直线平行的性质解得，再由两平行线间的距离求解即可【题目详解】∵直线l1：ax+2y﹣1＝0，直线l2：8x+ay+2﹣a＝0，l1∥l2，∴，且解得a＝﹣1．所以直线l1：1x-2y+1＝0，直线l2：1x-2y+3＝0，故与的距离为故选A．【题目点拨】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的灵活运用．6、A【解题分析】

利用，求出，再利用，求出即可【题目详解】，，，则有，代入得，则有，，，又，故答案选A【题目点拨】本题考查三角函数的图像问题，依次求出和即可，属于简单题7、C【解题分析】

由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．【题目详解】解：记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解得：，，故选C．【题目点拨】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前项和，是基础的计算题．8、B【解题分析】

算出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，利用古典概型的概率的计算公式可求概率.【题目详解】设为“恰好抽到2幅不同种类”某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，基本事件总数，恰好抽到2幅不同种类包含的基本事件个数，则恰好抽到2幅不同种类的概率为．故选B．【题目点拨】计算出所有的基本事件的总数及随机事件中含有的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算即可.计数时应该利用排列组合的方法.9、B【解题分析】

利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断①正确；利用等比数列的性质及不等式的性质判断②错误；利用等比数列的性质判断③错误；利用等比数列的性质判断④正确，，从而得出结论.【题目详解】解：由可得又即由，即,结合，所以，，即，，即，即①正确；又，所以，即，即②错误；因为，即值是中最大值，即③错误；由，即，即，又，即，即④正确，综上可得正确的结论是①④，故选：B.【题目点拨】本题考查了等比数列的性质及不等式的性质，重点考查了运算能力，属中档题.10、B【解题分析】

根据题意可得：，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将代入计算即可求出值．【题目详解】由于直线的倾斜角为，所以，则故答案选B【题目点拨】本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

根据原函数与其反函数的图象关于直线对称，可得函数的图象经过点，由此列等式可得结果.【题目详解】因为函数的反函数的图象经过点，所以函数的图象经过点，所以，即，解得.故答案为：【题目点拨】本题考查了原函数与其反函数的图象的对称性，属于基础题.12、【解题分析】

利用二倍角的余弦函数公式求出的值，再利用诱导公式化简，将的值代入计算即可求出值．【题目详解】解：∵，，则sin2x＝=，故答案为.【题目点拨】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．13、4【解题分析】

模拟程序运行，观察变量值的变化，寻找到规律周期性，确定输出结果．【题目详解】第1次循环：，；第2次循环：，；第3次循环：，；第4次循环：，；…；S关于i以4为周期，最后跳出循环时，此时.故答案为：4.【题目点拨】本题考查程序框图，考查循环结构．解题关键是由程序确定变量变化的规律：周期性．14、【解题分析】

根据两直线互相垂直的性质可得，从而可求出的值.【题目详解】直线和垂直，.解得.故答案为：【题目点拨】本题考查了直线的一般式，根据两直线的位置关系求参数的值，熟记两直线垂直系数满足：是关键，属于基础题.15、【解题分析】

由已知设点到平面距离为，则点到平面距离为，所以，考点：几何体的体积.16、【解题分析】

取，代入计算得到答案.【题目详解】，当时故答案为【题目点拨】本题考查了前项和和通项的关系，取是解题的关键.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）见解析【解题分析】

（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程组，可得首项和公差，即可得到所求通项；（2）化简，再利用裂项相消求数列的和，化简整理，即可证得．【题目详解】（1）设等差数列的公差是，由，，得解得，，∴.（2）由（1）知，，∴，，因为，则成立.【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式的求法，也考查了裂项相消求和求数列的和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18、（1）（2）【解题分析】

（1）由弧长求出半径，再由面积求得圆心角；（2）先由诱导公式化简待求式为，利用两角差的正切公式可求．【题目详解】（1）设扇形的半径为r，则，所以.由可得，解得.（2）..【题目点拨】本题考查扇形的弧长与面积公式，考查诱导公式，同角间的三角函数关系，考查两角差的正切公式．求值时用诱导公式化简是解题关键．.19、证明见解析【解题分析】

先证直线平面，再证平面⊥平面.【题目详解】证明:∵是圆的直径，是圆上任一点，，，平面，平面，，又，平面，又平面，平面⊥平面.【题目点拨】本题考查圆周角及线面垂直判定定理、面面垂直判定定理的应用，考查垂直关系的简单证明.20、（1）（2）【解题分析】

（1）利用向量的运算法则、共线定理即可得出；（2）利用向量共线定理、平面向量基本定理即可得出．【题目详解】（1）kk（1，0）﹣（2，1）＝（k﹣2，﹣1）．2（1，0）+2（2，1）＝（5，2）．∵k与2共线∴2（k﹣2）﹣（﹣1）×5＝0，即2k﹣4+5＝0，得k．（2）∵A、B、C三点共线，∴．∴存在实数λ，使得，又与不共线，∴，解得．【题目点拨】本题考查了向量的运算法则、共线定理、平面向量基本定理，属于基础题．21、(1)300人；(2)【解题分析】

（1）由频数分布表可得40人中成绩不低于90分的学生人数为15人，由此可计算出该年级成绩不低于90分的学生人数；（2）根据题意写出所有的基本事件，确定基本事件的个数，即可计算出恰好选中一名男生一名女生的概率．【题目详解】⑴40名学生中成绩不低于90分的学生人数为