福建省福州市屏东中学2024届数学高一下期末统考模拟试题含解析

福建省福州市屏东中学2024届数学高一下期末统考模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量若为实数，则＝（）A．2 B．1 C． D．2．《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）（结果精确到0.1．参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.2．）A．2.6天 B．2.2天 C．2.4天 D．2.8天3．已知是奇函数，且.若，则（）A．1 B．2 C．3 D．44．若，则下列不等式不成立的是()A． B． C． D．5．已知点，为坐标原点，分别在线段上运动，则的周长的最小值为()A． B． C． D．6．已知平面四边形满足，，，则的长为（）A．2 B． C． D．7．已知，且，把底数相同的指数函数与对数函数图象的公共点称为（或）的“亮点”．当时，在下列四点，，，中，能成为的“亮点”有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个8．已知a,,若关于x的不等式的解集为,则()A． B． C． D．9．已知圆：关于直线对称的圆为圆：，则直线的方程为A． B． C． D．10．在中，角的对边分别为，已知，则的大小是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．________.12．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，则x的值为_________.13．函数，的值域为________14．明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”则尖头共有__________盏灯．15．中，，，，则______.16．无穷等比数列的首项是某个正整数，公比为单位分数（即形如：的分数，为正整数），若该数列的各项和为3，则________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知扇形的半径为3，面积为9，则该扇形的弧长为___________.18．在中，角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，求的面积19．已知函数，设其最小值为（1）求；（2）若，求a以及此时的最大值.20．（1）已知，，且、都是第二象限角，求的值.（2）求证：.21．已知函数.（1）用五点法作出函数在区间上的大致图象（列表、描点、连线）；（2）若，，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

求出向量的坐标，然后根据向量的平行得到所求值．【题目详解】∵，∴．又，∴，解得．故选D．【题目点拨】本题考查向量的运算和向量共线的坐标表示，属于基础题．2、A【解题分析】

设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为，其前n项和为An．莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出．．【题目详解】设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为，其前n项和为An．莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn．则An，Bn，由题意可得：，化为：2n7，解得2n＝3，2n＝1（舍去）．∴n12.3．∴估计2.3日蒲、莞长度相等，故选：A．【题目点拨】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式在实际中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3、C【解题分析】

根据题意，由奇函数的性质可得，变形可得：，结合题意计算可得的值，进而计算可得答案．【题目详解】根据题意，是奇函数，则，变形可得：，则有，即，又由，则，，故选：．【题目点拨】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及诱导公式的应用，属于基础题．4、A【解题分析】

由题得a＜b＜0，再利用作差比较法判断每一个选项的正误得解.【题目详解】由题得a＜b＜0，对于选项A,=，所以选项A错误.对于选项B,显然正确.对于选项C,，所以，所以选项C正确.对于选项D,，所以选项D正确.故答案为A【题目点拨】(1)本题主要考查不等式的基本性质和实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.5、C【解题分析】

分别求出设关于直线对称的点，关于对称的点，当共线时，的周长取得最小值，为，利用两点间的距离公式，求出答案.【题目详解】过两点的直线方程为设关于直线对称的点，则，解得即，同理可求关于对称的点，当共线时的周长取得最小值为.故选C．【题目点拨】本题主要考查了点关于直线的对称性的简单应用，试题的技巧性较强，属于中档题.6、B【解题分析】

先建系，再结合两点的距离公式、向量的数量积及模的运算，求解即可得解.【题目详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则,设，由，则，所以，又，所以，，即，故选：B.【题目点拨】本题考查了两点的距离公式，重点考查了向量的数量积运算及模的运算，属中档题.7、C【解题分析】

利用“亮点”的定义对每一个点逐一分析得解.【题目详解】由题得，，由于，所以点不在函数f(x)的图像上，所以点不是“亮点”；由于，所以点不在函数f(x)的图像上，所以点不是“亮点”；由于，所以点在函数f(x)和g(x)的图像上，所以点是“亮点”；由于，所以点在函数f(x)和g(x)的图像上，所以点是“亮点”.故选C【题目点拨】本题主要考查指数和对数的运算，考查指数和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.8、D【解题分析】

由不等式的解集为R，得的图象要开口向上，且判别式，即可得到本题答案.【题目详解】由不等式的解集为R，得函数的图象要满足开口向上，且与x轴至多有一个交点，即判别式.故选：D【题目点拨】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题.9、A【解题分析】

根据对称性，求得，求得圆的圆心坐标，再根据直线l为线段C1C2的垂直平分线，求得直线的斜率，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意，圆的方程，可化为，根据对称性，可得：，解得：或（舍去，此时半径的平方小于0，不符合题意），此时C1(0，0)，C2(－1，2)，直线C1C2的斜率为：，由圆C1和圆C2关于直线l对称可知：直线l为线段C1C2的垂直平分线，所以，解得，直线l又经过线段C1C2的中点(，1)，所以直线l的方程为：，化简得：，故选A【题目点拨】本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的位置关系，合理应用圆对称性是解答本题的关键，其中着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10、C【解题分析】∵，∴，又，∴，又为三角形的内角，所以，故。选C。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

直接利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可得到结果．【题目详解】．故答案为：.【题目点拨】本题考查两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．12、【解题分析】

根据茎叶图中数据和中位数的定义可构造方程求得.【题目详解】甲组数据的中位数为，解得：故答案为：【题目点拨】本题考查茎叶图中中位数相关问题的求解，属于基础题.13、【解题分析】

先求的值域,再求的值域即可.【题目详解】因为,故,故.故答案为：【题目点拨】本题主要考查了余弦函数的值域与反三角函数的值域等,属于基础题型.14、1【解题分析】

依题意，这是一个等比数列，公比为2，前7项和为181，由此能求出结果．【题目详解】依题意，这是一个等比数列，公比为2，前7项和为181，∴181，解得a1＝1．故答案为：1．【题目点拨】本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的前n项和公式，是基础题．15、【解题分析】

根据，得到的值，再由余弦定理，得到的值.【题目详解】因为，所以，在中，，，由余弦定理得.所以.故答案为：【题目点拨】本题考查二倍角的余弦公式，余弦定理解三角形，属于简单题.16、【解题分析】

利用无穷等比数列的各项和，可求得，从而，利用首项是某个自然数，可求，进而可求出.【题目详解】无穷等比数列各项和为3，，是个自然数，则，.故答案为：【题目点拨】本题主要考查了等比数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、6【解题分析】

直接利用扇形的面积公式，即可得到本题答案.【题目详解】因为扇形的半径，扇形的面积，由，得，所以该扇形的弧长为6.故答案为：6【题目点拨】本题主要考查扇形的面积公式的应用.18、（1）；（2）.【解题分析】

(1)根据正弦定理把题设等式中的边换成相应角的正弦,化简整理可求得,进而求得;(2)根据余弦定理得,结合求得的值,进而由三角形的面积公式求得面积.【题目详解】（1）根据正弦定理,又,．（2）由余弦定理得:,代入得,故面积为【题目点拨】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.19、（1）（2），【解题分析】

（1）利用同角三角函数间的基本关系化简函数解析式后，分三种情况、和讨论，根据二次函数求最小值的方法求出的最小值的值即可；（2）把代入到第一问的的第二和第三个解析式中，求出的值，代入中得到的解析式，利用配方可得的最大值．【题目详解】（1）由题意，函数∵，∴，若，即，则当时，取得最小值，.若，即，则当时，取得最小值，.若即，则当时，取得最小值，，∴．（2）由（1）及题意，得当时，令，解得或（舍去）；当时，令，解得（舍去），综上，，此时，则时，取得最大值.【题目点拨】本题主要考查了利用二次函数的方法求三角函数的最值，要求熟练掌握余弦函数图象与性质，其中解答中合理转化为二次函数的图象与性质进行求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．20、（1）；（2）见解析【解题分析】

（1）利用同角三角函数间的关系式的应用，可求得cosα，sinβ，再利用两角差的正弦、余弦与正切公式即可求得cos（α﹣β）的值．（2）利用切化弦结合二倍角公式化简即可证明【题目详解】（1）∵sinα，cosβ，且α、β都是第二象限的角，∴cosα，sinβ，∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）