人教版九年级数学上册 21.12 一元二次方程解法-因式分解法（基础篇）

专题21.12一元二次方程解法-因式分解法（基础篇）（专项练习）一、单选题1．方程的根是（

）A． B． C．， D．，2．方程的解是（

）A． B． C． D．3．关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（）ABCD两边同时除以（x﹣1）得，x＝3整理得，x2﹣4x＝﹣3∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，b2﹣4ac＝28∴x＝＝2±整理得，x2﹣4x＝﹣3配方得，x2﹣4x+2＝﹣1∴（x﹣2）2＝﹣1∴x﹣2＝±1∴x1＝1，x2＝3移项得，（x﹣3）（x﹣1）＝0∴x﹣3＝0或x﹣1＝0∴x1＝1，x2＝3A．A B．B C．C D．D4．如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，如果输出的值为5，那么输入x的值为（

）A．－8 B．－2 C．1 D．85．若实数x，y满足，则的值为（

）A．－1 B．2 C．－1或2 D．－2或16．已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值为（）A．0 B．4 C．4或﹣2 D．﹣27．方程的解是，现给出另一个方程，它的解是（

）A． B． C． D．8．当使用换元法解方程时，若设，则原方程可变形为（

）A． B． C． D．9．如图，已知平面直角坐标系中的，点，，坐标系内存在直线：将分成面积相等的两部分，且这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．或10．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF//DE且交AG于点F，若3AB=5EF，则的值为（

）A．5:9 B．3:5 C．17:25 D．16:2511．如图，在边长为4的正方形中，点、点分别是、上的点，连接、、，满足．若，则的长为（

）．A．2.4 B．3.4 C． D．12．如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从图中取一列数1，3，6，10，…，记，，，…，那么，则的值是（

）A．13 B．10 C．8 D．7二、填空题13．若，则________．14．已知x＝﹣2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4，当x＝_____时，这个二次三项式的值等于﹣1．15．已知是一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根为______．16．若直角三角形两边长x，y满足，则其第三条边长为______．17．若（x2+y2﹣1）2＝9，则x2+y2的值为___．18．已知实数满足方程，则____________．19．已知关于的方程（a，b，m均为常数，且，）的两个解是和，则方程的解是_________．20．已知实数，则的值为__________．21．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2－8x＋15＝0的一个根，则该菱形的面积为________．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，BD＝AC，CD＝2，连接AD，若，则AC的长为___．23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC>AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，DE=10，则AD的长为______________．24．已知中，，，，则的面积是________．三、解答题25．解方程：(1)；(2)．26．解方程：(1)x2–4x+3＝0；(2)x（x–1）＝2（x–1）27．解关于x、y的方程组时，小明发现方程组的解和方程组的解相同．(1)求方程组的解；(2)求关于t的方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0的解．28．阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．解方程：提示：可以用“换元法”解方程．解；设，则有．原方程可化为：续解：29．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的BC边与x轴重合，顶点A在y轴的正半轴上，线段OB，OC（）的长是关于x的方程的两个根，且满足CO＝2AO．(1)求直线AC的解析式；(2)若P为直线AC上一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD与直线AB交于点Q，设△CPQ的面积为S（），点P的横坐标为a，求S与a的函数关系式；(3)点M的坐标为，当△MAB为直角三角形时，直接写出m的值．参考答案1．C【分析】利用因式分解法求解即可．解：∵，移项，得，因式分解，得，解方程，得，，故选C．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，正确选择适当的方法是解题的关键．2．B【分析】将方程移项后，再运用因式分解法求解即可．解：∴故选：B【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用一元二次方程的解法是解答本题的关键．3．D【分析】A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根；B.化为一般式，利用公式法解答；C.利用配方法解答；D.利用因式分解法解答解：A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根，故A错误；B.化为一般式，a＝l，b＝﹣4，c＝3，故B错误；C.利用配方法解答，整理得，x2﹣4x＝﹣3，配方得，x2﹣4x+22＝1，故C错误；D.利用因式分解法解答，完全正确，故选：D【点拨】本题考查解一元二次方程，涉及公式法、配方法、因式分解法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．4．A【分析】利用程序框图的算法列方程，求出x，然后比较大小即可得出答案．解：如图所示：设；输出的值为5，∴，解得，解得，∵不合题舍去，设；输出的值为5，∴，∴，∴解得，∵舍去，∴当输入x=-8时，输出的值为5．故选择A．【点拨】本题主要考查了程序框图，一元一次特征方程，一元二次方程，比较大小，正确理解计算程序是解题关键．5．C【分析】设：，则变为，进而解含a的一元二次方程，即可求出x+y的值．解：设：，则变为，变形可得：，则，则，解得：，即的值为2或﹣1，故选：C．【点拨】本题考查解一元二次方程，整体思想，能够将等式转化为一元二次方程是解决本题的关键．6．B【分析】设x2+y2＝z，则原方程换元为z2﹣2z﹣8＝0，可得z1＝4，z2＝﹣2，由此即可求解．解：设x2+y2＝z，则原方程换元为（z+1）（z﹣3）＝5，整理得：z2﹣2z﹣8＝0，∴（z﹣4）（z+2）＝0，解得：z1＝4，z2＝﹣2，即x2+y2＝4或x2+y2＝﹣2，∵x2+y2≥0，∴x2+y2＝﹣2不合题意，舍去，∴x2+y2＝4．故选：B．【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键，注意代数式x2+y2本身的取值范围不能忘．7．B【分析】结合已知方程的解，利用换元法解一元二次方程即可得．解：，令，则方程可转化为，由题意得：，即，解得，故选：B．【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．8．D【分析】方程的两个分式具备平方关系，若设，则原方程化为y2-2y-3=0．用换元法转化为关于y的一元二次方程．解：把代入原方程得：．故选：．【点拨】用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．9．C【分析】连接AC、BD，交于点E，然后由题意易得点E为AC的中点，然后根据中点坐标公式可得，进而可得直线必过点E，则有，然后求出直线与x、y轴的交点坐标，最后根据三角形面积公式可求解．解：连接AC、BD，交于点E，如图所示：∵四边形是平行四边形，∴点E为AC的中点，∵点，，∴由中点坐标公式可得，即，∵直线：将分成面积相等的两部分，∴直线必过点E，把点代入直线解析式得：2k+b=2，解得：b=2-2k，∴，∴当x=0时，则y=2k-2，当y=0时，则有，∴直线与x、y轴的交点坐标分别为，∵直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，∴，解得：，故选C．【点拨】本题主要考查平行四边形的性质、一次函数与几何的综合及一元二次方程的解法，熟练掌握平行四边形的性质、一次函数与几何的综合及一元二次方程的解法是解题的关键．10．C【分析】根据四边形为正方形，利用易证，可得，，设，，则，，，根据勾股定理可得，整理得，，根据，，可得．解：四边形为正方形，，，，，，，，，在和中，，，设，，则，，，在中，∴整理得，，，∴，∴，故选：C．【点拨】本题考查三角形全等的判定和性质和正方形的性质，三角形的面积公式，熟悉相关性质是解题的关键．11．B【分析】过点作的垂线交于，设，则，根据勾股定理得，由角平分线的性质得：，建立等式求解即可．解：过点作的垂线交于，如下图：设，则，，则，，，为的角平分线，根据角平分线的性质得：，，，，，，解得：（舍去），，故选：B．【点拨】本题考查了正方形的性质、角平分线、勾股定理，解题的关键是利用面积之间的关系建立等式．12．D【分析】由已知数列得出an＝1+2+3+…+n，再求出a9、ai、a11的值，代入计算可得．解：由a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，知an＝1+2+3+…+n，∴a945、ai、a1166，则a9+a11﹣ai＝83，可得：45+6683，解得：i＝7，（负根舍去）故选：D．【点拨】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知数列得出an＝1+2+3+…+n，13．0，±1【分析】先移项，再提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可求解．解：x3=x，x3-x=0，x（x2-1）=0，x（x-1）（x+1）=0，解得x=0，±1．故答案为：0，±1．【点拨】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解题的关键是得到x（x2-1）=0．14．﹣1或﹣5解：由时，代数式的值等于，可得，求解m的值，可得二次三项式，然后令二次三项式的值等于，得到关于x的一元二次方程，解一元二次方程即可．【解答】解：由时，代数式的值等于，可得，解得：∴二次三项式为令二次三项式的值为得：移项得：∴解得，故答案为：或．【点拨】本题考查了解一元一次方程，解一元二次方程．解题的关键在于求出的值，熟练运用因式分解解一元二次方程．15．【分析】把x=1代入，得到关于a的一元一次方程，解出a的值，然后将a代入原方程中，求解后即可得出结果．解：把x=1代入得，，解得，a=1，即原方程为：，即，解得，x1=1，x2=-2，即方程的另一个根为：x=-2，故答案为：-2．【点拨】本题主要考查了解一元一次方程及解一元二次方程，正确掌握代入法求得a的值并进一步正确解方程是解题的关键．16．或##或【分析】先根据非负数的性质求出x和y的值，然后分两种情况求解即可．解：∵，∴x2-x=0，y-2=0，解得x1=0（舍去），x2=1，y=2，设第三条边为x，当x为斜边时，x=，当2为斜边时，x=，故答案为：或．【点拨】本题考查了非负数的性质，解一元二次方程，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．17．4【分析】令x2+y2＝a，则原式化为（a-1）2＝9，然后利用直接开平方法即可求得．解：令x2+y2＝a，则原式化为（a-1）2＝9，∴a-1＝±3，∴a＝-2或a＝4，∵x2+y2≥0，∴x2+y2＝4，故答案为4．【点拨】本题主要考查了换元法解方程，即把某个式子看做一个整体，用一个字母去代替它，实行等量代换．18．【分析】设，将原式整理为含的方程即可得出答案解：设，则原方程为：，则：，解得：，当时，无实数解，故舍去，经检验是的解，故答案为：．【点拨】本题考查了换元法解方程，解一元二次方程，熟练掌握解方程的一般步骤是解本题的关键．19．或##或【分析】首先根据一元二次方程解的定义求出和的值，然后代入所求方程整理求解即可．解：∵方程的解为：和，∴，解得：，∵，∴，∴，∴或，故答案为：或．【点拨】本题考查解一元二次方程的拓展应用，掌握解一元二次方程的基本方法是解题关键．20．3【分析】设y＝x2＋x，则原方程转化为关于y的一元二次方程y2＋4y-12＝0，利用因式分解法解该方程，然后再解关于y的一元二次方程即可．解：设，则，即．解得或．则的值为或，当=-6时△=1-24=-23＜0=-6不成立当=2时△=1+8=9＞0∴故答案为：．【点拨】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．21．24【分析】利用因式分解法解方程得到x1=3，x2=5，再根据菱形的性质得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线长，然后根据菱形的面积公式计算．解：x2-8x+15=0，（x-3）（x-5）=0，x-3=0或x-5=0，∴x1=3，x2=5，∵菱形一条对角线长为8，∴菱形的边长为5，∵菱形的另一条对角线长=2×=6，∴菱形的面积=×6×8=24．故答案为：24．【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了菱形的性质．22．4【分析】根据等腰三角形的“三线合一”性质，想到过点A作AE⊥BC，垂足为E，设AB=AC=BD=x，然后在Rt△AED和Rt△AEC中，分别利用勾股定理表示出AE2，建立等量关系即可解答．解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，∵AB=AC，BD=AC，∴设AB=AC=BD=x，∵CD=2，∴BC=BD+CD=x+2，∵AB=AC，AE⊥BC，∴BE=EC=1+x，∴DE=BD-BE=x-1，在Rt△AED中，AE2=AD2-DE2=（2）2-（x-1）2=−x2+x+7，在Rt△AEC中，AE2=AC2-EC2=x2-（1+x）2=x2-x-1，∴−x2+x+7=x2-x-1，解得：x1=4，x2=-2（不符合题意，舍去），∴AC=4，故答案为：4．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两次利用勾股定理建立等量关系，列出方程是解题的关键．23．6或8【分析】过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，先证四边形ABCG是正方形．再设BE＝x，再用x表示出AE、AD,再利用勾股定理可求出x、最后求出AD即可．解：过C作CG⊥AD于G，并延长DG，使GF＝BE，在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCG为正方形，∴AG＝BC＝GC=12，∵∠DCE＝45°，∴∠ECB+∠GCD=45°，∵BE＝GF，∠B＝∠FGC=90°，BC＝GC，∴△EBC≌△FGC，∴∠ECB＝∠FCG，∴∠FCG+∠GCD=∠DCF=45°=∠DCE，∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC，∴△ECD≌△FCD，∴ED＝DF，∴DE＝GF＋DG＝BE＋GD，设BE=x，则AE=12-x，DG=10-x，AD=12-(10-x)=2+x在Rt△AED中，∵DE2＝AD2＋AE2，∴102＝（2+x）2＋（12-x）2，解得：x＝4或x=6，∴AD=6或AD=8．故答案为：6或8．【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识点，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解答本题的关键．24．或【分析】如图所示，过点C作CE⊥AB于E，先根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，设，则，，由，得到，由此求解即可．解：如图所示，过点C作CE⊥AB于E，∴∠CEB=∠CEA=90°，∵∠ABC=60°，∴∠BCE=30°，∴BC=2BE，∴，设，则，，∵，∴，解得或，∴或，∴或，故答案为：或．【点拨】本题主要考查了勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握含30度角的直角三角形的性质．25．(1)(2)【分析】（1）方程直接用开平方法求解即可；（2）方程移项后，运用因式分解法求解即可．解：(1)，，，∴；(2)，，，，∴．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法、结合方程的特点选择合适简捷的方法是解题的关键．26．(1)x1=1，x2=3；(2)x1=1，x2=2【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先移项得x（x–1）-2（x–1）=0，然后利用因式分解法解方程．(1)x2–4x+3＝0解：（x-1）（x-3）=0，x-1=0或x-3=0，所以x1=1，x2=3；(2)x（x–1）=2（x–1）解：x（x–1）-2（x–1）=0，（x-1）（x-2）=0，x-1=0或x-2=0，所以x1=1，x2=2．【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．27．(1)(2)t＝或【分析】（1）根据二元一次方程组的解相同，可得新方程组，根据解方程组，可得x、y的值；（2）根据方程组的解满足方程，把方程组的解代入，可得关于a、b的二元一次方程组，根据解方程组，可得a、b的值；然后利用换元法解该方程．解：(1)由方程组的解和方程组的解相同知，．由①×3+②，得5x＝15．则x＝3．将x＝3代入①，得3﹣y＝8，则y＝﹣5．∴方程组的解为：；(2)把分别代入ax+by＝2和5x+2y＝b可得方程组，解得：，设at﹣b＝n，则方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0可变为n2+2n﹣3＝0，∴（n+3）（n﹣1）＝0，∴n＝﹣3或1，∴at﹣b＝﹣3或1，把代入得：9t﹣5＝﹣3或1，解得：t＝或；【点拨】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的解法，