次方根与分数指数幂 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.1.1n次方根与分数指数幂1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质2.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化3.掌握有理数指数幂的运算性质

回顾：

我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等都与现实世界有紧密联系．它们的解析式分别是什么？能举例说明与此有关的生活实例吗？如果x2=a，那么x叫做a的平方根．例如，±2就是4的平方根．如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如，2就是8的立方根．类似地，由于(±2)4=16，我们把±2叫做16的4次方根；由于(±2)5=32，2叫做32的5次方根．

一般地，如果xn=a那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.知识点1：n次方根与根式①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，a的n次方根用符号表示.例如②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示.两者也可以合并写成.例如③负数没有偶次方根

④0的任何次方根都是0.记作：

思考：为什么负数没有偶次方根？

因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意实数的偶次方是非负数.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

根指数被开方数根据n次方根的定义，可得：，如：思考：1.

表示的n次方根，一定成立吗？①当n为奇数时，②当n为偶数时，2.

与有何不同？

中的a不受n的限制，a∈R.中的a受到n的限制，当n为奇数时，a∈R，当n为偶数时，a≥0.另外，当a<0时，n为奇数时，n为偶数时.而例1

求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）总结归纳(1)化简时,首先明确根指数n是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进行化简;化简时,关键是明确是否有意义,只要有意义,则(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.根式求值观察以下式子,试总结出规律(a＞0):知识点2：分数指数幂当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.思考：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为分数指数幂的形式呢？

为了使整数指数幂的运算性质，如(ak)n=akn仍然成立，根式可表示为分数指数幂的形式，如

因此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式．例如，我们规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．

正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，思考：1.

可以理解为个a相乘吗？2.

分数指数能约分吗？不可以.显然不是半个a相乘，它的实质是根式的另一种写法，如.在这样的规定下，根式与分数指数幂就是表示相同意义的量，只是形式不同.不能随意约分.因为约分之后可能会改变根式有意义的条件，如约分后变成了

，而在实数范围内无意义.

回顾正数指数幂的运算法则，观察下列式子，你能得出什么结论？知识点3：有理数指数幂的运算性质

整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r,s均有下面的运算性质：例2

求值(1)(2)解：（1）（2）分数指数幂的运算技巧1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.总结归纳例3

用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a＞0):解：（1）（2）(1)(2)根式与分数指数幂互化的规律：1.根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子．2.在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.总结归纳例4

计算下列各式（式中字母均是正数）：解：（1）（2）(1)(2)例4

计算下列各式（式中字母均是正数）：（3）(3)利用指数幂的运算性质化简求值的方法：1.进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．2.在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．3.对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．总结归