幂函数 高一上学期数学人教A版2019必修第一册

3.3

幂函数1.理解幂函数的概念，会求幂函数的解析式2.结合函数图象理解幂函数的性质

观察：下列函数解析式有什么共同特征？知识点1：幂函数的概念(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜wkg，那么她需要支付p=w元，这里p是w的函数；(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么正方形的边长c=，这里c是S的函数；(5)如果某人t

s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v=km/s，即v=t-1，这里v是t的函数.把自变量全部用x来表示,函数值用y来表示,则它们的函数关系式是:y=x上述问题中涉及的函数，都是形如y=xα的函数.y=x2y=x3y=x-1y=

一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.例1

在函数①;②y=3x3；③y=2x+1;④;⑤y=x3；⑥中，是幂函数的是_________.①⑤⑥幂函数的特征:（1）xα的底数为自变量为；（2）xα的系数为1；（3）xα指数为常数.只有同时满足这三个条件的，才是幂函数.例2

已知幂函数的图象过点,试求出此函数的解析式.解:设f(x)=xα,将代入,得3α=∴该函数的解析式为.利用待定系数法.幂函数只有一个系数，只需要一个点的坐标即可求写出幂函数的表达式.对于幂函数，我们只研究α=1,2,3，，-1时图象的性质.知识点2：幂函数的性质思考：结合以往学习函数的经验，我们应该如何研究这些函数？通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题．试在同一坐标系中画出函数y=x，y=x2，y=x3，，y=x-1的图象.

观察这五个函数图象，它们有哪些性质？

xyO①只有α=1时图象才是直线；②图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限；③图象一定经过(1,1)这个定点；④第一象限内α由上到下递减.⑤α＞0时，图象在定义域内上升；⑥α＜0时，图象在第一象限下降；⑦只有α＞0时，图象才与坐标轴相交，且交点一定为原点；

xyO

y=xy=x2y=x3y=x-1定义域值域奇偶性单调性公共点(1,1)

奇函数增函数RR奇函数增函数RR非奇非偶函数增函数[0,+∞)

[0,+∞)

偶函数R[0,+∞)

(-∞,0]递减

[0,+∞)递增

奇函数{x|x≠0}

{y|y≠0}

(-∞,0)递减

(0,+∞)递减

思考：你能总结幂函数的一般性质吗？幂函数的一般性质：(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数，特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；α<0时，幂函数的图象不过原点，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数.(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)；总结归纳例3

证明幂函数

f(x)=是增函数.证明：函数的定义域是[0,+∞）.且有因为则所以即幂函数是增函数.

练一练1.利用幂函数的性质，比较(-1.2)3与(-1.1)3的大小.解：由y=x3的定义域为R，且在R上单调递增.因为-1.2＜-1.1，所以，(-1.2)3＜(-1.1)3.α相同时，先判断函数的单调性，然后根据自变量的大小，比较函数值的大小2.已知函数

y=f(x)的图象经过点(2,)，试判断此函数的奇偶性、单调性.所以因为函数的定义域(0,+∞),所以f(x)为非奇非偶函数；解：设

f(x)=xα，则，解得

.∀x1，x2∈(0,+∞),且x1＜x2，则因为