直线与圆锥曲线的位置关系第2课时 高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

2.8直线与圆锥曲线的位置关系第2课时新授课1.会求直线与圆锥曲线相交所得弦长、弦的中点问题以及直线与圆锥曲线的综合问题.知识点一：圆锥曲线的弦长计算

思考：如图所示，直线y=2x-2与椭圆相交于A、B两点，求线段AB的长？解：联立方程组得：则A、B坐标分别为：或解得：AB因此圆锥曲线的弦：连接圆锥曲线上任意两点所得的线段.AB弦一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长.

例1已知直线l的方程：y=x-2与抛物线C：x2=-6y相交于A，B两点，且O为坐标原点.(1)求弦长|AB|；(2)判断是否成立，并说明理由.分析：(1)弦长——两交点间距离弦长|AB|等于线段AB的长度.解：(方法一)“设而不求”

(1)则因为

，所以

则设

例1已知直线l的方程：y=x-2与抛物线C：x2=-6y相交于A，B两点，且O为坐标原点.(1)求弦长|AB|；其中

，所以即由

∴

(2)∵

∴

不成立.

(2)判断是否成立，并说明理由.分析：

解方程，可得：例1已知直线l的方程：y=x-2与抛物线C：x2=-6y相交于A，B两点，且O为坐标原点.(1)求弦长|AB|；(方法二)(1)联立直线与抛物线的方程，可得方程组①②代入①，则有：或即直线与抛物线两交点的坐标为

所以，弦长

例1已知直线l的方程：y=x-2与抛物线C：x2=-6y相交于A，B两点，且O为坐标原点.(1)求弦长|AB|；

例1已知直线l的方程：y=x-2与抛物线C：x2=-6y相交于A，B两点，且O为坐标原点.(2)判断是否成立，并说明理由.(2)由(1)得l与C交点坐标：不妨设

则

所以

不成立.

归纳总结圆锥曲线的弦长公式根据根与系数关系：

若直线与曲线有两个交点，则有：设曲线C：f(x，y)=0，联立直线与曲线方程：则

例2已知斜率为3的直线l与双曲线C：4x2-y2=60相交于A，B两点，若线段AB的长等于.求直线l的方程

分析：已知弦长，那么可设直线方程，根据弦长公式求得弦长表达式，求出参数，从而求出直线方程.解：设直线方程为设交点坐标为：根据根与系数的关系，有

例2已知斜率为3的直线l与双曲线C：4x2-y2=60相交于A，B两点，若线段AB的长等于.求直线l的方程.∵

k

=3，∴联立直线与双曲线的方程，可得方程组求解上式，可得：经检验：∆>0，所以，符合题意.直线方程为：将代入，

例3已知：椭圆，弦AB的中点是M(2，1).求：弦AB所在直线的方程.知识点二：弦中点问题.分析：中点坐标公式“设而不求”利用根与系数关系.解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)若直线AB斜率不存在，则AB方程为：x=2，

例3已知：椭圆，弦AB的中点是M(2，1).求：弦AB所在直线的方程.易求交点为：不可能以M(2，1)为中点，舍去.(2)若直线AB斜率存在，可设AB方程为：y-1=k(x-2)由y-1=k(x-2)有：y=kx-(2k-1)(*)联立方程组则因为AB的中点坐标为：代回(*)检验，方程为：x2-4x=0，有两个不同的实数根.所求直线方程为：则根据根与系数的关系，有可得：(*)方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式作差可得：即∵M(2，1)是弦AB的中点，∴弦AB所在直线的方程为即

例4如图，椭圆的左、右焦点为F1，F2，一条直线l经过F1且与椭圆相交于A，B两点.知识点三：直线与圆锥曲线的综合问题(1)求△ABF2的周长;(2)若l的倾斜角是45°，求△ABF2的面积.解:(1)由，知a=4，△ABF2的周长=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a=16.(2)由椭圆方程，可得F1(-3，0)，F2(3，0)，∴

例4如图，椭圆的左、右焦点为F1，F2，一条直线l经过F1且与椭圆相交于A，B两点.(2)若l的倾斜角是45°，求△ABF2的面积.又l