信号 基础知识

现代信号处理何继爱上课要求遵守课堂纪律对是否做笔记不做硬性规定有事可以随时离开教室尽量关掉手机铃声如果铃声真的响了，请不要在课上接电话如果实在想接，goto

3前言数字信号处理（DSP，DigitalSignalProcessing）：用数字计算机或其它专用数字设备，以数值计算的方式对离散时间信号进行分析、处理。传统数字信号处理:

主要针对线性时不变离散时间系统，用卷积、离散时间傅里叶变换、z变换等理论对确定信号进行处理。现代数字信号处理:

在传统数字信号处理理论基础之上，基于概率统计的思想，用数理统计、优化估计、线性代数和矩阵计算等理论进行研究，处理的信号通常是离散时间随机过程，且系统可能是时变、非线性的。前言－数字信号处理理论与算法数字信号处理理论（theory）：

根据从工程实际中抽象出的信号模型和系统模型，用数学理论进行严格证明得到的定理等结论。数字信号处理算法(algorithm)：

为高速或高效实现某种数字信号处理理论，所采用的计算方法或计算技巧。例：DFT是理论；FFT是实现DFT的计算技巧，属算法。前言－数字信号处理的实现非实时实现（notreal-timeimplementation）：

用高级计算机语言，在通用计算机上实现的信号处理理论和算法；通常是对信号事后分析与仿真；如对采集的接收数据进行特征分析，参数提取与估计等。实时实现（

real-timeimplementation）：

用数字信号处理器或专用数字器件对信号进行实时处理，如：DSPprocessor(TI,AD)；FPGA/CPLD；专用器件；或通用计算机等。前言－现代信号处理主要内容前言教材：张贤达.《现代信号处理》,清华大学出版社.参考资料：SimonHaykin.“AdaptiveFilteringTheory”；现代数字信号处理及其应用；何子述，夏威等；清华大学出版社现代信号处理教程；胡广书编著；清华大学出版社现代数字信号处理；姚天任主编；数字信号处理-时域离散随机信号处理；丁玉美现代数字信号处理；杨绿溪；科学出版社习题：解答题；仿真题考试：开卷笔试；考查：完成习题；本课程教学内容基础知识（离散时间信号与系统；离散时间随机过程）功率谱估计维纳滤波和卡尔曼滤波自适应滤波阵列信号处理与空域滤波盲信号处理理论现代信号处理第一章 基础知识信号与信号空间的基本概念离散时间系统确定性信号的相关函数信号的傅里叶变换随机信号的功率谱信号的参数模型1.1 信号与信号空间的基本概念信号及其分类噪声信号空间一、信号及其分类

在信号处理学科中，一般用数学函数x(t)来表述实际的物理信号。

当函数的自变量是连续变量时，例如x(t)，称之为连续时间信号；当自变量是离散变量，例如x(n)，称之为离散时间信号，又称为序列。本书主要讨论离散时间信号。

1.序列及其表示序列及其表示时域离散信号是指那些在离散时间变量时才有定义的信号。若它是从时域连续信号均匀抽样得到的，则将时刻的信号值定义为离散信号值，即

而在时刻就没有定义。表示连续信号。1.序列及其表示序列可以用来表示，为简便计算也可用表示。例如

其中箭头所指的值表示n=0时x(n)的值

序列的另一种表示方法是用图形表示。2.几种常用信号单位采样序列单位冲激信号2.几种常用信号单位阶跃序列单位阶跃信号与的关系为2.几种常用信号正弦序列式中，A为幅度，ω为数字域频率，为初相，的单位为弧度。若把模拟信号中的角频率记为Ω，且正弦序列是由模拟正弦信号经取样后得到的，则有，其中为取样周期。由于，为取样频率()，所以ω又被称为归一化频率。复正弦序列3.任意信号的表示信号直流分量+交流分量偶分量+奇分量实部分量+虚部分量脉冲分量正交分量分解结果是唯一的3.任意信号的表示——任意信号都可用单位取样序列的移位加权和来表示

信号的脉冲分量分解3.任意信号的表示正交函数：如果在区间(t1,t2)上,函数f1(t)和f2(t)互不含有对方的分量，则称f1(t)与f2(t)在(t1,t2)上正交函数正交的充要条件是它们的内积为0函数f1(t)和f2(t)在(t1,t2)上的内积：如果一个函数可以用一组相互正交的函数的线性组合来表示，我们就称某个正交函数与相应的线性系数的乘积为该正交函数上的正交分量。3.任意信号的表示{gn(t):1nN}是区间(t1,t2)上的正交函数集的条件：任一函数f(t)在(t1,t2)上可表示为正交函数集内函数的线性组合。正交分量的系数4.信号的分类周期信号与非周期信号对于序列，若有，k为整数，N为正整数，则称为周期信号，并将满足此式的最小正整数N，称为该周期信号的周期；否则，为非周期信号。4.信号的分类确定性信号与随机信号

若在任意n时刻的值皆能被精确地确定，则称此信号为确定性信号；若在n时刻的值需要按某种分布律随机确定，则此信号称为随机信号。4.信号的分类能量信号与功率信号序列的能量定义为若，称为能量有限信号，简称为能量信号。若，则称之为能量无限信号。对这类号，我们转而用功率来描述它们。信号的功率定义为若，则称为功率有限信号，简称为功率信号。4.信号的分类多维信号与多通道信号若信号是k个自变量的函数，则称它k维信号。例如，一维语音信号x(n)，n是时间变量。二维图象信号x(n,m)，n、m为坐标变量。若信号是一个m维矢量，即则称为m通道信号，每个分量代表一个信号源。4.信号的分类采样信号若一个序列是由一个模拟信号采样而成，即

则称为抽样信号，为抽样周期。二、噪声在信号处理时，对于所采集的信号，可以将其分为两个部分，一是我们感兴趣的部分，称之为有用信号；而其余部分则称之为噪声

若观测信号可表示为，则称中含有加性噪声；若，则称中含有乘性噪声；若，则称中含有褶积性噪声。三、信号空间信号空间的定义把信号（或）设想为空间X中的一个元素，即。此处X为线性空间（在线性代数中，线性空间即是向量空间）。我们可以用某些范数来测量给定信号的某个特征量，而对每一类范数，我们可以定义一个信号空间如下：1. 信号空间定义信号的上述范数具有下列性质：，若，则为全零信号；，λ为实数；（三角不等式）。1. 信号空间定义对任意两个信号，定义信号间的距离为

具有下述性质：若，则称信号在均方意义下收敛于信号。。（三角不等式）。2.内积空间若与是信号空间中的两个信号，其内积定义为：式中，*表示对信号求共轭运算。若，则称信号与是正交的。1.2 离散时间系统基本概念

LTI系统的描述全通系统和最小相位系统一、基本概念 离散时间系统可以定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一变换或运算，并用表示，即一个离散时间系统，既可以是一个硬件装置，也可以是一个数学表达式。并用下图来表示其输入、输出关系。1. 基本性质离散系统的几个重要性质线性性是指系统的运算或变换满足齐次性和叠加性。设

则系统的线性可表示为式中α，β是任意常数。1. 基本性质移(时)不变性

同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移（时）不变离散时间系统，简称LTI系统。因果性如果系统输出响应的变化不会发生在输入变化之前，则此系统是因果的。1. 基本性质稳定性是指系统对有界输入产生有界输出。若则对稳定系统有式中，和都是有限常量。这类稳定性通常称为有界输入有界输出(BIBO)稳定性。1. 基本性质可逆性如果系统对每一互不相同的输入激励，产生各不相同的惟一的一个输出响应，则称此系统是可逆的。或者说根据系统响应可以惟一地确定输入激励。如果系统是可逆的，则可以构造一个逆系统与之对应，两者串联的结果能恢复出原输入激励，如图所示，图中表示的逆系统。二、线性时不变系统的描述LTI系统的单位采样响应系统在零状态条件下，由单位采样信号作用系统所产生的输出，即

任意信号都可用单位取样序列的移位加权和来表示，即用作为LTI系统的输入激励，则有1.LTI系统的单位采样描述卷积和满足交换律

1.LTI系统的单位采样描述卷积和满足结合律，即在上式中，若记，这表示系统级联后，总的单位抽样响应等于各级联子系统单位抽样响应的卷积和，如图所示。1.LTI系统的单位采样描述卷积和满足分配律，即在上式中，若记，这表示系统并联后，总的单位抽样响应等于各并联子系统单位抽样响应之和，如图所示。1.LTI系统的单位采样描述LTI系统稳定性判据Ⅰ一个LTI系统是稳定的充分必要条件是，即式中，S为有限值。证明：充分性：设输入x(n)是有界的，且对所有n满足，则1.LTI系统的单位采样描述这表明，若系统的单位抽样响应绝对可和，则有界输入一定对应有界的输出，系统是稳定的。

必要性：利用反证法。如果系统是稳定的，但是有，则系统对有界输入信号对应的输出响应在n=0时的值

这与假设是矛盾的，因而若系统稳定，必须有1.LTI系统的单位采样描述LTI系统因果性判据Ⅰ一个LSI系统是因果系统的充分必要条件是

证明：由系统的样值响应式可得式中第2个等号右边的第一求和项表示与x(n)将来值有关的项，第二求和项表示与x(n)的当前输入及以前输入有关的项。1.LTI系统的单位采样描述充分性：若h(n)=0,n<0，则上式第一求和项恒为零，系统的响应只和第二求和项有关，因而系统是因果的。必要性：如果系统是因果的，则y(n)只与x(n)的当前输入值及以前的输入值有关，与x(n)的将来值无关，因而第一求和项必须等于零。要保证这一点，只有当h(n)=0,n<0条件成立。必要性得证。2.LTI系统的差分方程描述LTI系统的差分方程式中，是方程的系数。

3.LTI系统的系统函数描述LTI系统的系统函数通常称分子多项式的根(即)为系统的零点，称分母多项式的根(即)为系统的极点。1.2.173.LTI系统的系统函数描述LTI系统稳定性判据ⅡLTI系统是稳定系统的充分必要条件是的收敛域包含单位圆。LTI系统因果性判据ⅡLTI系统是因果系统的充分必要条件是的收敛域为圆外区域，即4.系统的频率特性系统的频率特性系统的频率特性可以根据系统函数的零、极点分布由几何方法直观地确定。在式(1.2.17)中，令，则有4.系统的频率特性幅频响应：相频响应：式中，表示求角度或相位。三、线性相位系统与系统的群时延1、非线性相位系统的概念

LTI离散时间系统的频率响应可用幅频特性和相频特性表示为如果

其中是常数，则称该LTI离散时间系统是线性相位系统，否则称为非线性相位系统。设系统输入信号的傅里叶变换为，则系统响应的傅里叶变换可表示为线性相位非线性相位1、非线性相位系统的概念非线性相位系统的实质，是输入信号的不同频率成份通过系统后，具有不同的延时，这种现象常称为信号的色散。2、群时延的概念

LTI离散时间系统的群时延定义为

群时延是频率的函数，反映了LTI离散时间系统相位随频率的变化率！2、群时延的概念

对于线性相位系统，群时延为可见，线性相位系统对不同频率的输入信号具有相同的群时延，即系统响应的相位按频率线性变化。对于相频特性为的非线性相位系统，群时延为频率的函数2、群时延的概念四、全通系统和最小相位系统全通系统系统的幅频响应对所有频率ω都等于1或一个常数的因果系统称为全通系统(all-passsystem)。即全通系统的零点分布是极点分布的共轭反演，如图所示。1. 全通系统一般而言，一个高阶的全通系统可表示为若是一有理函数，而且是实系数的，则其系统函数还可表示为1. 全通系统式中，是的特征多项式，的全部极点位于单位圆内，系统是稳定的。全通系统的一些特点：全通系统通常是IIR系统；全通系统的极点数和零点数相等；极点和零点是以单位圆镜像对称的；为保证系统稳定，所有极点都应在单位圆内，因此，所有零点都在单位圆外。2.最小相位系统最小相位系统系统零极点都在单位圆内因果系统称为最小相位系统(minimum-phasesystem)，记为最小相位系统具有下列几个重要的性质：性质1

在一组具有相同幅频响应的因果稳定系统中，最小相位系统对于ω轴(即零相位)具有最小的相位偏移。2.最小相位系统性质2令h(n)为所有具有相同幅频响应的离散时间系统的单位取样响应，是其中的最小相位系统的单位取样响应，并定义单位取样响应的累积能量则2.最小相位系统性质3任一实系数因果稳定系统的H(z)都可表示为一个最小相位系统和一个全通系统的级联。即性质4最小相位系统的逆系统仍是最小相位系统。1.3 确定性信号的相关函数相关函数的定义与性质相关函数与线性卷积1. 相关函数的定义与性质能量信号的相关函数定义信号和之间的互相关函数为式中，上标*表示对信号求共轭运算，参数m称为时延，表示这一对信号间的时移，下标xy的顺序表明是参考信号。1. 相关函数的定义与性质如果，则上面定义的互相关函数变成自相关函数，即自相关函数反映了信号和其自身作了一段延迟之后的的相似程度。

即等于信号自身的能量。1. 相关函数的定义与性质功率和周期信号的相关函数一对功率信号和，其相关函数定义为同样，若信号和是两个周期为N的周期信号，则它们的相关函数为，和也是周期为N的周期序列。1. 相关函数的定义与性质自相关函数有如下性质性质1性质2

性质3

若是能量信号，有。，1. 相关函数的定义与性质互相关函数有如下性质性质1性质2

性质3

若和都是能量信号，有，2 相关函数与线性卷积令是与的线性卷积，且均为实信号，即而与的互相关函数为比较上面两式，可得相关和卷积的时域关系为同理，对自相关函数，有，1.4 信号的傅里叶变换连续时间信号的傅里叶变换离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）连续时间信号的取样离散傅里叶变换(DFT)一 连续时间信号的傅里叶变换定义设，则的傅里叶变换，并且由下式定义

当时，因为不一定存在，可令使，则可由的傅里叶变换来定义，即一 连续时间信号的傅里叶变换此极限取二阶平均极限，即满足：引用上述定义后，傅里叶变换算子F，可以看作是映射的有界线性算子。

F存在逆算子F-1，即对某个，存在，由下式规定：2.性质性质卷积定理若令则Parsval公式若令则特别2.性质函数的傅里叶变换虽然不是一个通常意义上的函数，而是一个广义函数。但因为它满足，所以一般指定的傅里叶变换为由此，我们按傅里叶变换的求逆公式还有成立。3.相关函数的傅里叶变换相关函数令，则其自相关函数为：令则有因为所以并有成立。4.周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换令函数满足(为任意整数)。它可展开为傅里叶级数，即：并且为导出周期函数的傅里叶变换，可借助广义函数，即

4.周期信号的傅里叶变换从而得到所以周期函数的富氏变换为频域的冲激串函数。其冲激强度由其富氏级数系数所决定。二、离散时间信号的傅里叶变换现考虑序列，，可定义其傅里叶变换为其逆变换为因为，即是以为周期的函数，所以序列的傅里叶变换是将映射为的有界线性算子。三 连续时间信号的采样现考虑序列为连续时间函数通过取样而获得(为简便计令取样周期)。即令为的傅里叶变换。为的富里叶变换，则据取样定理有成立。即时域的取样将导致频谱的周期延拓，其延拓周期为。四离散傅里叶变换离散傅里叶变换

设是有限长时间序列，其离散傅里叶变换(DFT)定义为其逆变换式为式中，2.DFT与DTFT的关系DFT与DTFT的关系

对长度为N的有限长序列，根据DTFT式有

对比DFT式，可知即，N点序列的DFT值是其DTFT值在[0，2π]区间上的等间隔取样值。1.5 随机信号的功率谱随机变量及其特征描述随机信号及其特征描述平稳随机信号通过线性系统统计估计问题功率谱及其估计一、随机变量及其特征描述随机变量的概念：若某种试验A的随机结果用X表示，则称此X为一个随机变量，并设它的取值为x。例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。随机变量的分布函数：定义：FX(x)=P(X

x)

性质：∵P(a<X

b)+P(X

a)=P(X

b),

P(a<X

b)=P(X

b)–P(X

a)， ∴P(a<X

b)=FX(b)–FX(a)1.离散随机变量的分布函数设X的取值为：x1

，x2，...，

xi，...，xn，其取值的概率分别为p1，p2，…，pi，…，pn，则有

P(X<x1)=0,P(X

≤

xn)=1∵P(X

≤

xi)=P(X=x1)+P(X=x2)+…+P(X=xi), ∴2.连续随机变量的分布函数当x连续时，由分布函数定义，有

FX(x)=P(X

≤

x)

可知，FX(x)为一连续单调递增函数，表明X的取值概率沿

x

轴的累积分布情况。图

连续随机变量的分布函数3.随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度pX(x)1.

pX(x)的定义：

2.

pX(x)的意义：

①

pX(x)是FX(x)的导数，是FX(x)曲线的斜率

②能够从pX(x)求出P(a<X

≤

b)：

3.pX(x)的性质：

①②

pX(x)

0③3.随机变量的概率密度离散随机变量的概率密度离散随机变量的分布函数可以写为：式中，pi为

x=xi

的概率；u(x)为单位阶跃函数。 将上式两端求导，得到其概率密度：性质：

①当x

≠xi时，pX(x)=0， ②当x=xi

时，pX(x)=1数学期望定义：对于连续随机变量性质：若X和Y互相独立，且E(X)和E(Y)存在，则4.随机变量的数字特征4.随机变量的数字特征方差定义： 式中，对于离散随机变量，对于连续随机变量，性质：D(C)=0

D(X+C)=D(X)，D(CX)=C2D(X)

D(X+Y)=D(X)+D(Y)D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)

4.随机变量的数字特征矩

定义：随机变量X的k阶矩为

k阶原点矩：a=0时的矩：

k阶中心矩：时的矩：性质：一阶原点矩为数学期望：二阶中心矩为方差：4.随机变量的数字特征4.3

阶原点矩又称为斜度（Skewness)。它描述随机变量X分布的非对称特性。若随机信号具有对称概率密度函数，则其斜度为零，如：均匀分布正态分布三角分布斜度示范三种分布的斜度ModeMedianMeanMeanMedianModeModeMedianMean4.随机变量的数字特征5.4

阶原点矩LeptokurticMesokurticPlatykurtic或称为峰度(Kurtosis)，它描述随机变量X分布的尖瑞程度。归零化峰度归零化峰度定义为:曲线B

峰度＞0Leptokurtic(High&Peaked)曲线A

峰度=0Mesokurtic(Intermediate)曲线C峰度＜0Platykurtic(Broad&Flat)0ACB二、随机信号及其特征描述随机信号及其数字特征设为一离散随机信号，对的每一次实现，记为，代表时间，代表实现的序号，即样本数。则的均值、方差、均方等一、二阶数字特征为1.随机信号及其数字特征数学期望(统计平均值)

随机序列的数学期望定义为反映了随机过程各个时刻的数学期望随时间的变化情况；本质上就是随机过程所有样本函数的统计平均函数；它由随机过程的一维概率分布决定；表征了随机序列的直流分量。1.随机信号及其数字特征均方值随机序列均方值定义为1.随机信号及其数字特征方差可以证明，上式也可以写成下式:随机序列的方差定义为1.随机信号及其数字特征一般均方值和方差都是n的函数,但对于平稳随机序列，它们与n无关，是常数。方差反映了随机过程相对于均值的偏离程度。方差由随机过程的一维概率分布决定；方差表征了随机序列的交流平均功率。均方值表征了随机序列的平均功率。式表明，如果随机变量Xn代表电压或电流，则有

平均功率=交流功率+直流功率x

2=1

2

=5

2

=10m1=50方差描述随机变量相对于均值的偏离程度图

均值相同方差不同的高斯分布自相关函数自协方差函数

1.随机信号及其数字特征0图

自相关函数和自协方差函数曲线图随机序列自相关函数、协方差函数的重要性质可以用图所示曲线来表征。对两个随机信号

、

，还可定义互相关函数和互协方差函数如下：互相关函数互协方差函数1.随机信号及其数字特征 如果对所有，有则称信号是不相关的随机信号。 如果对所有，有则称信号和是不相关的。 如果对所有，有则称信号和是相互正交的。1.随机信号及其数字特征独立、相关、正交与相关系数X与Y统计独立当且仅当X与Y不相关。独立一定不相关，反之不然；对于正态随机变量独立与不相关等价。当且仅当X与Y正交。随机变量X和Y的相关系数定义为.若X=Y，则若X=-Y，则若X与Y独立，则2.平稳随机信号平稳随机信号若的概率函数满足则称是N阶平稳的。如果在上式中，则称是严平稳（strict-sensestationary），或狭义平稳的随机信号。2.平稳随机信号 宽平稳（wide-sensestationary，WWS）信号，又称广义平稳信号。是指满足下述三个条件的随机信号：狭义平稳随机信号的所有数字特征显然都与时刻n无关。但其定义无法在实际中加以应用，因此，研究和应用最多的还是宽平稳信号。2.平稳随机信号由宽平稳信号的定义，我们还可得到两个宽平稳随机信号和的互相关函数及互协方差可分别表示为3.平稳随机信号的相关函数平稳随机信号的相关函数的性质性质1

性质2

及性质3性质4

4.平稳随机过程的自相关矩阵自相关矩阵的定义对离散时间平稳随机过程，用

个时刻的随机变量

构造随机向量随机过程的自相关矩阵定义为考虑平稳条件，得到相关矩阵的展开形式为

其中，

是随机过程

的自相关函数，

根据相关函数共轭对称性，上式又可重写为因此，对于一个平稳随机过程，只需自相关函数的

个值就可以完全确定相关矩阵

。4.平稳随机过程的自相关矩阵自相关矩阵的基本性质4.平稳随机过程的自相关矩阵性质1

平稳离散时间随机过程的相关矩阵是Hermite矩阵，即有对于实随机过程，自相关矩阵是对称矩阵，即

性质2

平稳离散时间随机过程的相关矩阵是Toeplitz矩阵性质3平稳离散时间随机过程的相关矩阵R是非负定的，且几乎总是正定的。

证明：设

为任意非零向量，由于二次型

故相关矩阵R

总是非负定的。当且仅当观测向量的

每个随机变量间存在线性关系时，等式成立，这种情况仅出现在随机过程是由个纯复正弦信号之和组成。4.平稳随机过程的自相关矩阵性质4将观测向量

元素倒排，定义向量这里，下标B表示对向量

内各分量做反序排列。4.平稳随机过程的自相关矩阵性质5

平稳离散时间随机过程的自相关矩阵

从

维扩展为

维，有如下递推关系或等价地其中5.平稳随机信号的功率谱平稳随机信号的功率谱

对相关函数作z变换，有令，得到自功率谱（密度）：互功率谱（密度）：

4.平稳随机信号的功率谱对功率谱，有如下性质：性质1 是ω的实函数；性质2对所有的ω都是非负的；性质3若是实信号，则是关于ω的偶函数；性质4 5.平稳随机信号的各态遍历性平稳随机信号的各态遍历性

对平稳随机信号，如果它的所有样本函数在某一固定时刻的一阶和二阶统计特性和单一样本函数在长时间内的统计特性相同，则称为各态遍历信号。对各态遍历信号来说，用一阶和二阶的集平均等于相应的时间平均，即

5.平稳随机信号的各态遍历性式中，是的一个单一样本函数。5.平稳随机信号的各态遍历性对于各态遍历的平稳随机信号，其功率谱也可定义为式中，是的单一样本函数在时的DTFT。6.随机信号的采样定理对于平稳随机信号，如果其功率谱严格限制在某一有限频带内，该随机信号称为带限随机信号。如果平稳随机信号X(t)的功率谱Pxx(Ω)满足下式：则称X(t)为低通性带限随机信号，式中Ωc

表示功率谱的最高截止频率设以采样间隔T对平稳随机信号X(t)进行采样，采样后随机序列为X(n)，只要采样频率fs

满足：或者6.随机信号的采样定理则有以下采样插值公式:可以证明，在均方意义上，X(t)等于，

即7.典型的随机序列1.正态（高斯）随机序列

正态随机序列Xn

的任意

N维联合概率密度函数为式中正态随机序列上面公式表明，正态（高斯）随机序列仅决定于其均值矢量M以及方差阵varX。具有指数型自相关函数的平稳高斯过程称为高斯—马尔可夫过程。这种信号的自相关函数和谱密度函数为高斯—马尔可夫也是一种常见的随机信号，适合于大多数物理过程，具有较好的精确性，数学描述简单。因为当m→∞时，自相关函数趋近于0，所以均值为0，过程的自相关函数特性完全描述了过程的特性。7.典型的随机序列

2.白噪声序列

如果随机序列x(n)，其随机变量是两两不相关的，即式中m≠nm＝n则称该序列为白噪声序列；如果白噪声序列是平稳的，则cov(xn,xm)=σ2δmn

白噪声序列式中，σ2是常数。设均值，其功率谱Pxx(ejω)=σ2，在整个频带上功率谱是一个常数。如果白噪声序列服从正态分布，序列中随机变量的两两不相关性就是相互独立性，称为正态白噪声序列。显然，白噪声是随机性最强的随机序列，实际中不存在，是一种理想白噪声，一般只要信号的带宽大于系统的带宽，且在系统的带宽中信号的频谱基本恒定，便可以把信号看作白噪声。注意：正态和白色是两种不同的概念，前者是指信号取值的规律服从正态分布，后者指信号不同时刻取值的关联性。7.典型的随机序列3.谐波过程谐波过程用下式描述：(1)式中，Ai和ωi(i=1,2,3,…,N)是常数，θi(i=1,2,3,…,N)是服从均匀分布的独立随机变量，其概率密度为也可以将(1)式写成下式:式中谐波过程可以证明，这种谐波信号模型是平稳的，设N=1，计算它的统计平均值和自相关函数：谐波过程上式中第一项积分为0，因此由于谐波过程的统计平均值与时间n无关,自相关函数仅与时间差m有关,谐波过程是平稳的。当N大于1时，也有同样的结论，可以证明：7.典型的随机序列4.循环平稳随机序列许多人工和天然信号是一类特殊的非平稳随机序列，其相关函数虽然是时变的，但却随时间的变化呈现周期性变化，称为循环平稳（Cyclostationarity）随机序列。定义：对于随机序列Xn，若存在一个常数T，使得成立，则称随机序列Xn为循环平稳随机序列。三、平稳随机信号通过线性系统设LTI系统的单位抽样响应为，该系统的输入信号是平稳、遍历的随机过程（输入随机过程）的一个取样序列，系统产生的输出响应也是一个离散的随机信号，把它视为另一随机过程（输出随机过程）的一个取样序列。因此，输出和输入之间显然满足下式，即

1.系统响应均值、自相关函数平稳性分析

1).均值设所研究的线性系统是稳定非时变的，其单位脉冲响应为h(n)，输入是平稳随机序列x(n)，输出为因为输入是平稳随机序列，E［x(n-k)］=mx，故这样，mx与时间无关，my也与时间无关。(1.64)

先假定输出是非平稳的，那么，输出的自相关函数为因为x(n)是平稳的，因此所以2).自相关函数对于上式,令l=r-k,得到式中v(l)通常称为h(n)的自相关函数，也可以将v(l)写成卷积形式：v(l)=h*(l)﹡h(-l)=h*(-l)﹡

h(l)

上式表示v(l)是h*(l)与h(-l)离散卷积或者是h*(-l)和h(l)的离散卷积。这样线性系统输出的自相关函数等于输入自相关函数与线性系统单位脉冲响应的自相关函数的卷积。2.系统的输入、输出互相关函数

线性非时变系统输入与输出之间互相关函数为因此，输入、输出之间的互相关函数等于系统的单位脉冲响应与输入自相关函数的卷积。一般称式为输入、输出互相关定理。3.输出响应的功率谱密度函数为讨论方便起见，现假定x(n)是实信号，这样，y(n)也是实的。x(n)和y(n)之间的关系主要有：如下四个关系成立：由此可以看出：随机信号通过线性系统，使用的是输入、输出的自相关函数、自功率谱、互相关函数和互功率谱。解：例所以：由差分方程，有:方差为1的白噪声序列，即：也是平稳信号，已知求：系统辨识问题例解：由有又最小相位最大相位用“谱分解”法求4.相关卷积定理

将前面推导出相关函数式重写如下：该公式用语言叙述如下：x(n)与h(n)卷积的自相关函数等于x(n)的自相关函数和h(n)的自相关函数的卷积。或者简单地说,卷积的相关等于相关的卷积。用一般公式表示如下：如果e(n)=a(n)*b(n)f(n)=c(n)*d(n)那么

ref(m)=rac(m)*

rbd(m)假设系统的输入、输出和单位脉冲响应分别用x(n)、y(n)和h(n)表示，试求输入、输出互相关函数和输入自相关函数之间的关系。解按照相关卷积定理，得到x(n)=x(n)*δ(n)y(n)=x(n)*h(n)rxy(m)=rxx(m)*rδh(m)式中例将该式带入上式，得到rxy(m)=rxx(m)*h(m)这就是已经推导出的输入、输出互相关卷积定理。对于实、平稳随机信号相关函数的性质(1)，得到输出、输入互相关函数和输入自相关函数之间的关系：ryx(m)=rxy(-m)=rxx(-m)*h(-m)=rxx(m)*h(-m)Pyx(z)=Pxx(z)H(z-1)按照图推导两个系统的输出互相关函数与输入互相关函数之间的关系。解y1(n)=x1(n)*h1(n)y2(n)=x2(n)*h2(n)按照相关卷积定理，有例按照图还有下面关系式，作为练习，请自己证明。(1)(2)四、统计估计问题目标：用随机信号的一次样本实现的有限长数据估计其统计特征量（均值，方差，相关，谱等）四、统计估计问题根据观测数据来定量推断某个量的过程就称为统计估计问题。设随机信号的某个数字特征量的真值为估计值为，显然，是的函数，且是随机变量，即为了衡量对的近似程度，我们可以引入下列指标：f可为线性函数，亦可为其它函数

四、统计估计问题定义1.5.1

为估计的偏差。若，则称是的无偏估计；若，则称是的渐近无偏估计。

定义1.5.2

为估计的方差。它反映了的各次估计相对于估计均值的偏离程度。四、统计估计问题定义1.5.3

为估计的均方误差。若，则称是的一致估计；若，则称是的渐近一致估计。

随机信号均值，方差，相关的估值设x(n)为各态遍历的平稳随机信号均值：xN(n)，n=0,1,2,…,N-1为N点观测值方差：自相关：估计方法1：长2N+1,m:-(N-1)~(N-1);以m=0呈偶对称估计偏差：故为渐近无偏估计有偏估计例：令则w(m)N0-N1三角窗函数对x(n)截断：x(n)d(n)(矩形数据窗：0~N-1）对r(m)截断：r(m)w(m)(三角延迟窗：-N+1~N-1）w(m)正好是的d(n)自相关m估计的方差：为的渐近无偏一致估计即：估计质量与N（矩形数据窗）和m（三角延迟窗）有关估计方法2：可证：均值：方差：但当ImI

大时，方差性能不如方法1。为的无偏一致估计即：相关的快速算法（FFT）小结：相关函数的估值实际上是一种平均过程，参加平均的数据越多（N大，m小），估值越可靠。N有限，大滞后量m是产生相关函数估值误差的主要原因，也是造成功率谱估计误差的原因。又根据功率谱的定义，功率谱计算需要无穷多测量数据，实际上只能进行谱估计；经典谱估计是建立在傅立叶变换基础上的功率谱计算方法确定性信号一般为能量有限信号，其傅立叶变换即为信号的频谱（频域特征）；而随机信号一般为能量无限信号，其傅立叶变换不存在；但一般为功率信号，故其频域特征只能用功率谱来表示。五、功率谱及其估计功率谱的概念设X(n)为一(零均值）实平稳离散随机序列自相关函数为功率谱定义：（Wiener-Khinchine定理）（一对傅立叶变换）五、功率谱及其估计五、功率谱及其估计在功率谱估计中，常用的估计方法有两大类。

一类方法称之为经典谱估计，这类方法是直接根据观测的样本数据进行功率谱估计；另一类方法称为现代谱估计，这类方法是先根据观测的样本数据，设法建立能描述随机过程的数学模型，然后，再借此模型来求出信号的功率谱。五、功率谱及其估计功率谱的两个最基本的定义：功率谱及其估计经典谱估计的基本方法可以分为两大类一是根据式由观测数据直接计算功率谱，常称为直接法；另一方法是先由观测数据估计随机信号的自相关函数，然后，再由计算其功率谱，因此，这种方法常被称为间接法。经典功率谱估计直接法也称为周期图法。在只有随机信号的N个观测数据的情况下，一个最简单估计式为式中，是的DTFT。若将在单位圆上等间隔取样，则上式可写为

经典功率谱估计主要的性能特点：估计器的均值

式中，是三角窗(也称Bartlett窗)的DTFT。由窗函数的性质可得也就是说，周期图谱估计器是渐近无偏的。经典功率谱估计估计器的方差由此可见，其方差不随记录长度N增加而减小，而是趋于常数，因此它不是功率谱的一致估计。经典功率谱估计间接法也称为BT法，通过观测的N个数据，先估计出自相关函数，然后对加窗并求DTFT得到功率谱，记为，即式中，，是一窗函数。为确保估计的功率谱不出现负谱，要求此窗函数的DTFT必须是非负的。经典功率谱估计上式也可写为谱估计器的主要特性估计器的均值式中，是窗函数的DTFT。经典功率谱估计估计器的方差

研究上面两个公式可以发现，若要使偏差小，M就应选得足够大，因为这样才能使窗函数起到函数的作用。另一方面，若方差要小，则M就应选得尽量小。因此这种方法需要对偏差和方差进行折衷选择。周期图法与相关法关系讨论即即：周期图是M=N-1相关法的一个特例可表示为：当可认为是对最大长度为2N-1的用长度为2M+1的矩形窗函数v(m)进行截断处理第二次加窗的作用等效于对功率谱作卷积运算其作用是对周期图进行“平滑”处理，故可以认为相关法是对周期图法的平滑改进。经典谱估计计算流程：N点截断补零估计线性相关IDFTDFT经典谱估计法小结：优点：计算简单，可用FFT，物理概念清楚；缺点：（1）谱分辨率低（正比于）原因是不可避免的加窗处理（数据窗，延迟窗），造成谱的泄漏；（2）方差大（即谱的波动大）原因是缺少均值和极限运算。改进：但没有一种窗函数能使方差、偏差和分辨率同时得到改善。用适当的窗函数进行平均和平滑窗函数的作用：

1、主瓣决定谱的分辨力；

2、旁瓣决定谱的功率泄漏。平均周期图法是基于这样的思想：对一个随机变量进行观测，得到L组独立记录数据，用每一组数据求其均值，然后将L个均值加起来求平均。这样得到的均值，其方差将是用一组数据得到的均值的方差的1/L。假设随机信号x(n)的观测数据区间为：0≤n≤M-1，共进行了L次独立观测，得到L组记录数据，每一组记录数据用xi(n),i=1,2,3,…,L表示，第