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文档简介

2.2.4均值不等式及其应用新授课2.2

不等式第2课时1.掌握均值不等式的变形2.能利用均值不等式及其变形证明不等式知识点：均值不等式的变形

思考：我们利用均值不等式可以证明不等式，可以直接利用

（a，b都是正数），也可使用还能写出哪些变形？例1

已知ab＞0，求证：

，并推导出等号成立的条件．证明：因为ab＞0，所以

，根据均值不等式，得

，即

，因为ab＞0，所以等号成立的条件是a＝b．当且仅当

，即a2＝b2时，等号成立．例2

已知a，b是实数，求证：a2＋b2≥2ab．并说明等号成立的条件．证明：因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以a2＋b2－2ab≥0，即a2＋b2≥2ab．等号成立时，当且仅当(a－b)2＝0，即a＝b．思考：均值不等式与a2＋b2≥2ab有何区别与联系？区别：a2＋b2≥2ab去掉了a，b是正数的条件；联系：均值不等式可以看成a2＋b2≥2ab的一种特殊情况.

假设图中直角三角形的直角边分别为a，b，abS大正方形=a2＋b2a＝bS大正方形=S三角形当且仅当小正方形的面积为0即a＝b时取等号．S三角形=2ab大正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和，即a2＋b2≥2ab，例3

已知a，b∈R，求证：（1）(a＋b)2≥4ab；（2）2(a2＋b2)≥(a＋b)2．证明：（1）因为a2＋b2≥2ab，两边同时加上2ab，得a2＋b2＋2ab≥4ab，即（a＋b）2≥4ab；例3

已知a，b∈R，求证：（1）(a＋b)2≥4ab；（2）2(a2＋b2)≥(a＋b)2．（2）因为a2＋b2≥2ab，两边同时加上a2＋b2，得2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，即2（a2＋b2）≥（a＋b）2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证:练一练解：因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，当且仅当

时，等号成立．所以所以同理归纳总结1.无附加条件：观察待证不等式的结构形式，若不能直接使用均值不等式，则结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑等，使之达到使用均值不等式的条件．利用均值不等式证明不等式：2.有附加条件：观察已知条件与待证不等式之间的关系

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