小学奥数培训资料一-六

【小学奥数培训资料一：整数问题】整数问题的概念网络想一想：〔1〕分解质因数有怎样的本质作用？〔2〕从质因数的角度来看，最大公因数是怎样构成的？〔3〕从质因数的角度来看，最小公倍数是怎样构成的？〔4〕两个数属于哪些情形时一定互质？2、整除的数字特征及应用〔一、二〕〔一〕知识与技能1、整除的数字特征：=1\*GB3①能否被2、5整除——看末位；能被2整除的末位有5种情形：末位是0，2，4，6，8.能被5整除的末位有2种情形：末位是0，5.理由：对任意多位数a＋，而是一个整十数，必能被2、5整除，因此只要看末尾数a能否被2、5整除。推广：能否被4、25整除——看末两位；能否被8、125整除——看末三位；你能够仿照以上局部说明具体情形及相应理由吗？=2\*GB3②能否被3、9整除——看码和——去“三〞法/去“九〞法；理由：对任意多位数〔a＋b＋c＋d〕＋(999a＋99b＋9c)=〔a＋b＋c＋d〕＋(111a＋11b＋c)×9，而(111a＋11b＋c)×9必能被3、9整除，因此只要看码和〔a＋b＋c＋d〕能否被3、9整除。=3\*GB3③能否被7、11、13整除——看末三位与前数之差；理由：对任意多位数〔－a〕＋1001a,而1001=7×11×13,必能被7、11、13整除，因此只要看末三位与前数之差〔－a〕能否被7、11、13整除。=4\*GB3④能否被11整除的另一手段——看奇偶码差；理由：对任意多位数[〔d＋b〕－〔c＋a〕]＋(1001a＋99b＋11c)而(1001a＋99b＋11c)必能被11整除，因此只要看奇偶码差[〔d＋b〕－〔c＋a〕]能否被11整除。应用及技能：=1\*GB3①直接应用：判别；分析推算。注意思考问题的有序性和完备性；并能够拓展到用字母表示数的应用领域；=2\*GB3②综合分拆应用：分析推算；解决问题。先分拆，坚持直接、简易的原那么；后推算，坚持从大到小、从简到难的原那么。特别注意：在解决问题的过程中，一定要先将条件研究透彻！〔二〕例题例1、在□内分别填上适宜的数字，分别可以组成哪一些符合条件的数？〔1〕4的倍数：307□，9□4，7985□0；〔2〕9的倍数：78□9，□459，□37□98；〔3〕11的倍数：175□，4□5□，□8985；例2、将1，2，3，4，……，30从左至右依次排成一个多位数123456……282930，这个多位数除以11所得的余数是多少？例3、11∣,那么a=？例4、有一个六位数能被11整除，它的首位是7，其余各位数字各不相同。这样的六位数中最小的一个是多少？例5、11∣5，那么n最小是几？例6、72∣五位数，求所有满足条件的五位数。例7、中队辅导员买来28枝价格相同的钢笔准备用来奖励进步了的学生，一共付款9□.2□元。□内为同一数字，求钢笔的单价。例8、15∣整数A，而且数A的各个数位上的数字只有0，8两种，那么A最小是多少？例9、商店一共有6箱货物，分别重15，16，18，19，20，31㎏，两位顾客买走其中五箱，且其中一位所买重量是另一位的2倍。那么剩下的是哪一箱？〔三〕习题1、在□内分别填上适宜的数字，分别可以组成哪一些符合条件的数？〔1〕4的倍数：405□，9□8，8985□6；〔2〕9的倍数：78□3，□453，□98□73；〔3〕11的倍数：465□，5□7□，□9789；2、45∣五位数，求所有满足条件的五位数。有一个六位数能被60整除，且它的前三位分别是8、6、5。这样的六位数中最小的一个是多少？4、45∣整数A，而且数A的各个数位上的数字只有0，3两种，那么A最小是多少？5、有一个六位数能被11整除，它的首位是2，其余各位数字各不相同。这样的六位数中最大的一个是多少？6、11∣08，那么n最小是几？7、将100个小朋友从左往右排成一排并依次编成1～100号。然后从左往右“一、二〞报数，报“一〞的退下；再从左往右“一、二〞报数，报“一〞的退下；……；这样循环到剩下最后一个人为止。那么最后留下的这个小朋友是多少号？如果是200个小朋友呢？3、质数、合数与分解质因数〔一、二、三〕〔一〕知识与技能1、质数、合数的概念及其本质特征：=1\*GB3①质数：只有1和它本身两个因数的数——从整除的角度，不能进一步地进行分拆；因此常被看成构成整数的最小“零部件〞。合数：除了1和它本身还有别的因数的数——从整除的角度，还能进一步地进行分拆；因此常被看成整数中的“综合型大机器〞。=2\*GB3②判别一个数A是否是质数得到方法：用试除的方法，从小到大依次用质数2、3、5、7、……试除，一直到质数n满足n2〉A且还不能整除为止。想一想：这是为什么？你还能说出质数的哪一些特性？2、分解质因数的概念及其本质作用：=1\*GB3①分解质因数：将任意一个合数分解为假设干个质数相乘的形式。=2\*GB3②分解质因数常根据整除的数字特征从大入手逐级分解，直至分解彻底。一般借用乘方的写法按质因数从小到大依次排列。如：55440=11×10×9×56=24×32×5×7×11=3\*GB3③对于任意一个合数，将其分解质因数以后即可发现，其所有的约数不仅可以用试除的方法一对一对地找出来，还可以依次用0个～全部质因数一一组合而成。如：54=2×33用试除方法找54的约数有：1和54，2和27，3和18，6和9；用质因数组合找54的约数有：1〔用0个〕，2和3〔用1个〕，4和9〔用2个〕，18和27〔用3个〕，54〔用4个即用全部〕。根据分步搭配相乘的乘法原理有如下结论：对于合数A=ax×by×cz×……,那么A的约数个数为〔x＋1〕×〔y＋1〕×〔z＋1〕×……而且A的所有约数和为〔1＋a＋a2＋…＋ax〕×〔1＋b＋b2＋…＋by〕×〔1＋c＋c2＋…＋cz〕×……你能快速说出55440一共有多少个约数吗？=4\*GB3④分解质因数能够看出任意一个合数的本质构成，从而便于进一步的进行特质分析、条件构造和重新组合推断。3、应用技能：能够运用分解、估计、有序推理〔从大入手〕等手段结合质因数的分解来解决数的构造推断、重新组合等实际问题。〔二〕例题例1、将以下各数分解质因数〔口头分解后直接写出结果〕，然后说一说它们各有多少个约数？=1\*GB3①240=2\*GB3②42560=3\*GB3③11112222例2、=1\*GB3①三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。=2\*GB3②五个连续自然数的乘积是55440，求这五个数的平均数。例3、以下连等算式中□内数字正好由1～9组成，试在□中填上适当数字。□×□□=□□×□□□=3634例4、自然数360一共有多少个约数？它的全部约数之和是多少？例5、将下面8个自然数平均分成两组，使这两组数各自的乘积相等。14，33，35，30，75，39，143，169.例6、小明的姐姐参加了今年的中学数学竞赛，赛后小明问姐姐：“这次竞赛你得了多少分？获得了第几名？〞姐姐告诉他：“我得的名次和我的岁数以及我的得分乘起来是2910，你看我的得分和名次各是多少？〞你能够帮助推算出来吗？例7、正好是8个约数的自然数中，最小的一个是多少？例8、一个整数A与1080的乘积正好等于另一个不为0的整数的平方。求A的最小值是多少？例9、有一个自然数，它有3个不同的质因数，共有16个约数，而且其中一个质因数是数字和为11的尽可能大的两位数。那么这样的自然数最小一个是多少？※例10、一个自然数能够分解为3个质因数之积，而且这三个质因数的平方和为1710。求这个自然数。例11、分别多年的两位老友相遇于一路碑前，其中一人说：“我有3个孩子，年龄之积为36，年龄之和为路碑上里程数。〞另一人看了里程数后说：“我还是不能确定他们的年龄。〞于是第一人又补充说：“我两个小一点的孩子是双胞胎。〞第二人立刻说出了3个孩子的年龄。你能说出来吗？〔三〕习题1、将以下各数分解质因数〔口头分解后直接写出结果〕，然后说一说它们各有多少个约数？=1\*GB3①280=2\*GB3②104055=3\*GB3③216722、从360到630之间共有多少个数的约数为奇数个？3、A=25×33×52×7，那么A的所有约数中最大的两位数是多少？自然数280一共有多少个约数？它的全部约数之和是多少？5、有10个数：21，22，34，39，44，45，65，76，133，153。将它们平均分成两组，并使得每组的5个数乘积相等。6、有9个数：20，26，33，35，39，42，44，55，91。将他们分成三组，使得每组数的乘积相等。7、有4个连续奇数的乘积是326025，那么这4个数的和是多少？8、如右图，竖式中四个□内的数字和是多少？□□×□□17679、边长是整数厘米且面积为105平方厘米的形状不同的长方形一共有多少种？10、河岸边有867名学生准备乘船过河。来了一批小船，每条小船载人人数相等。同学们分3次过河。求一共有多少条小船？11、有3个自然数，其中最大数比最小数多6，而另一个是它们的平均数，且这3个数的乘积为42560。求这3个数。12、自然数675一共有多少个约数？它的全部约数之和是多少？13、正好是12个约数的自然数中，最小的一个是多少？14、张爷爷今年84岁，他告诉人家：“我有3个孙子，他们的年龄之积正好是我的岁数这么大，而且这3个孙子中，有两个孙子的年龄之和正好是另一个孙子的年龄。〞你知道他的3个孙子各是几岁吗？15、自然数对于a、b、c有:ab=132，bc=156，ca=143。那么a＋b＋c=？16、求小于1000而且正好只有15个约数的最大自然数是多少？4、最大公约数与最小公倍数〔一、二、三〕〔一〕知识与技能1、最大公约数、最小公倍数的概念。=1\*GB3①最大公约数：几个数公有的约数中最大的一个称为它们的最大公约数。如A、B的最大公约数记为〔A，B〕。=2\*GB3②最小公倍数：几个数公有的倍数中最小的一个称为它们的最小公倍数。如A、B的最小公倍数记为[A，B]。其概念运用主要表达在解决实际问题时理解条件的环节中。2、最大公约数、最小公倍数的构本钱质及求法：=1\*GB3①从质因数角度看它们的构本钱质。〔1〕几个数的最大公约数——由它们全部公有的质因数相乘组成。因此在根底数学课本中这样用短除法求几个数的最大公约数：每次用这几个数公有的质因数去除，除到不再有公有的质因数为止，其目的是在于找出这些数所有公有的质因数；然后将所有除数连乘即得它们的最大公约数。〔2〕几个数的最小公倍数——由每一个数所有的质因数剔除重复之后相乘组成。因此在根底数学课本中这样用短除法求几个数的最小公倍数：先每次用这几个数公有的质因数去除；然后每次用这几个数中某几个公有的质因数去除，除到两两互质为止，其目的都是在于剔除重复的质因数〔重复一次或几次都只以除数算一次〕；然后将所有除数和商连乘即得它们的最小公倍数。特别地：对于任意两个数A、B，有A×B=〔A，B〕×[A，B]。=2\*GB3②求法：〔1〕对于较小的几个数——用小数依次分拆法求它们的最大公约数、用大数依次扩倍法求它们的最小公倍数。〔2〕对于较大的几个数——用辗转相除法求它们的最大公约数。辗转相除法：其本质就是逐次用差替换掉其中的大数。〔二〕例题例1、直接写出得数：〔27，36〕=；〔54，72〕=；〔50，15，75〕=；[27，36]=；[54，72]=；[50，15，75]=；例2、：A=2×32×53，B=22×3×53×7，C=2×5×72那么〔A，B,C〕=？[A，B,C]=？例3、有3根铁丝，分别长120㎝、180㎝和300㎝，现在要将它们截成长度为整数厘米且相等的小段并要求每段尽可能长。那么一共可以截成多少小段？例4、有一批奖金分给甲、乙两个小组，平均每人可得60元；如果只分给甲组，那么平均每人可得100元。那么如果只分给乙组，平均每人可得多少元？例5、某机器加工一种零件要经过3道工序，第一道每人每小时可以完成3个，第二道每人每小时可以完成15个，第三道每人每小时可以完成12个。现在要使生产均衡，3道工序应各自至少配置多少人？例6、一张长方形硬纸，长2703㎝、宽1113㎝.现在要将它截成假设干个一样大小的正方形纸板，同时正方形边长为整数厘米而且尽可能大并硬纸没有剩余。那么正方形纸板的边长是多少？〔图示引入辗转相除法求最大公约数〕例7、〔4811，1981〕=？〔1008，1260，882，1134〕=？例8、甲、乙两数的最大公约数是4，而它们的最小公倍数是252。那么甲、乙两数分别是多少？例9、[21672，11352]=？例10、〔A，B〕=12，且A共有8个约数、B共有9个约数。那么A＋B=？例11、A×B=5766，且〔A，B〕=31。那么A、B分别是多少？例12、A＋B=612，且〔A，B〕=51。那么A、B分别是多少？〔三〕习题1、A、B、C三人定期去图书馆：A每6天去一次，B每8天去一次，C每9天去一次。如果他们在10月1日那一天三人同时去了图书馆，那么下一次三人同时去图书馆是在什么日期？2、有36枝钢笔、40个练习本平均奖给几个优秀学生，结果多出了1枝钢笔，但少了2个练习本。那么优秀学生有几人？※3、爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，够几年后就只是你的6倍了，再过一些年分别会变成你的5倍、4倍、3倍。〞听了你这段话，你能求出爷爷和小明今年各自的岁数吗？※4、公路上有一排电线杆共有25根，每相邻两根之间的间隔距离为45米，现在要改造成每相邻两根之间的间隔距离为60米。那么共有有多少根无需移动？5、甲、乙、丙三人沿一环形跑道跑步，甲跑一圈需要1分12秒、乙跑一圈需要1分20秒，丙跑一圈需要1分30秒。三人同时从起点出发后，最少经过多少时间三人又同时相遇于起点？6、求小于2000而且正好只有21个约数的最大自然数是多少？7、某数除以3余2，除以5余4，除以7余6。那么这个数最小是多少？8、两个数的最大公约数是6而最小公倍数是108、和是66。这两个数各是多少？9、甲、乙两数的最大公约数是12，而它们的最小公倍数是576。那么甲、乙两数分别是多少？10、〔A，B〕=20，且A共有8个约数、B共有9个约数。那么A＋B=？11、A×B=12250，且〔A，B〕=35。那么A、B分别是多少？12、A＋B=630，且〔A，B〕=42。那么A、B分别是多少？※13、某人每连续上8天班后连休2天，他本周周六、周日休息，那么要再过几个星期后他又会在周日休息？※14、现在3个不同自然数的和为385。那么这样的3个不同自然数的最大公约数可以到达的最大值是多少？15、四个连续奇数的最小公倍数为9009，那么这四个数之和是多少？16、自然数A有2个约数，那么自然数5A有多少个约数？5、余数问题〔一、二〕〔一〕知识与技能1、根据带余除法的结构掌握余数的本质含义及性质，并能应用其解决相关实际问题。=1\*GB3①被除数÷除数=商……余数〔0≤余数＜除数〕商和余数说明了被除数是除数的几倍多几。除数和商∣〔被除数－余数〕=2\*GB3②余数的含义在实际生活中常被应用于周期现象的对应推算。=3\*GB3③余数的性质常用于转化整除的分析。2、同余：整数a，b除以n时所得余数相同，那么称a，b对于n同余。记为a≡b〔modn〕=1\*GB3①根据整除的相关知识，相应可得同余的有关性质。〔1〕反身性、对称性、传递性。〔2〕和、差、积、倍、幂运算的封闭性。假设a≡b〔modn〕，c≡d〔modn〕,那么：a＋c≡b＋d〔modn〕,a－c≡b－d〔modn〕.ac≡bd〔modn〕,ka≡kb〔modn〕，am≡bm〔modn〕说明：运用同余的性质可以将整数在只关注余数角度的情况下不断化简，直到求出小于除数的余数为止。=2\*GB3②根据同余的性质可以递推出中国剩余定理巧解“韩信点兵〞。=3\*GB3③某些求幂的个位数字的问题既一方面可归为对于10的同余问题，另一方面可以更加简单地归为具有循环现象的周期问题。〔二〕例题例1、一个两位数去除251，得到的余数是41，求这个两位数。例2、A÷B=8……16，且A＋B=439,那么A=？B=？例3、2023年8月5日是星期三，那么2023年元旦是星期几？2023年六一儿童节呢？例4、如图，从数字行算起，2023在从上往下第几行？从左往右第几列？ABCDEFG23293541475359777165838995101107113119137131125………………例5、〔1〕求15×38×412×541除以13所得的余数。〔2〕求4327×3275＋3983－19×876除以17所得的余数。例6、如果今天是星期六，那么过20002000天是星期几？例7、〔1〕求20232023的个位数字。〔2〕求72023的末两位数字。例8、某数除以3余1，除以5余3，除以7余5.满足这个条件的最小自然数是多少？※例9、传说汉朝大将韩信点兵时，只要让他看看士兵进行操练时的队形变换情况就可以知道有多少士兵。有一次他检阅一支一千多人的队伍，看见成四路纵队时多出2人，成五路纵队时多出1人，成七路纵队时多出两人，成十一路纵队时多出3人。至此他已经知道了士兵总数，你能够求出吗？例10、一个数除以5余1，除以6余3，除以7余6。这个数最小是多少？〔三〕习题1、有一个整数，用它去除300，262，205所得的余数相同且不为0，那么这个整数是多少？2、在一个有余数的除法算式里，被除数、除数、商和余数之和为933，而商是40、余数是16。那么被除数是多少？3、有一列数：3，5，8，8，5，3，3，5，8，8，5，3，……这个数列的第2023项是几？它的前2023项之和是多少？4、2009年8月18日是2023年六一儿童节呢？5、如图，从数字行算起，2007在从上往下第几行？从左往右第几列？ABCDEFG333945516963577581879311110599………………6、〔1〕求47×67×567×741除以13所得的余数。〔2〕求4589×3475＋3897－23×896除以17所得的余数。7、如果今天是星期六，那么过328天是星期几？8、〔1〕求19872898的个位数字。〔2〕求72000的末两位数字。9、某数除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，除以7余6，除以8余7，除以9余8.满足这个条件的最小自然数是多少？10、一个数除以5余3，除以7余2，除以8余5。这个数最小是多少？11、某年的10月份有5个星期六、4个星期天。那么这一年的10月1日星期几？12、求14＋24＋34＋44＋54＋……＋1984＋1994的和得个位数字。6、整数的奇偶性〔一〕知识与技能1、对于整数问题，我们除了常从整除的角度进行思考以外，还有另一常用的思考和分析工具——奇偶性。=1\*GB3①排列方面奇数的个位依次为1，3，5，7，9；偶数的个位依次为0，2，4，6，8。这一方面说明了相邻的奇数或相邻的偶数依次相差2，另一方面还说明了按照自然数的顺序奇、偶数交替排列。这一性质常被借用于染色说理。=2\*GB3②运算方面加减法中，两数相加减，同性得偶，异性得奇；推广即有：假设干个数相加减，只有当其中共奇数个奇数时结果才为奇数。乘法中那么只要有一个因数为偶数那么积为偶数。2、解题要求：=1\*GB3①能够根据奇偶性进行简单的数的推断及结果的性质判别。=2\*GB3②能够借用奇偶数的排列性质，结合染色手段，解决有关实际问题的推断和说理。〔二〕例题例1、将1999拆为两个质数之和。那么这两个质数的积是多少？例2、〔1〕算式1＋2＋3＋4＋5＋……＋2023的结果为奇数还是偶数？为什么？〔2〕算式1×2＋3×4＋5×6＋……＋2023×2023的结果为奇数还是偶数？为什么？例3、〔1〕将2023个小球任意分堆，那么个数为奇数的堆数是奇数还是偶数？为什么？〔2〕有101个盒子排成一排，依次放入1，2，3，4，……，101个小球；然后任意打乱顺序，再依次放入1，2，3，4，……，101个小球。这时将每个盒子里球数相乘，积是奇数还是偶数？为什么？例4、三个连续的偶数之积是一个六位数8※※※※2，求这三个偶数。例5、某月内有3个星期天的日期为偶数，那么这个月的12号是星期几？例6、如图，你能用3个“田〞和1个“T〞覆盖住4×4的网格吗？为什么？例7、如图是中国象棋棋盘的一局部，按照规那么，“马〞走“日〞，那么棋盘上的“马〞能否经过2023步跳到A点处？为什么？〔三〕习题1、三个连续的偶数之积是一个五位数8※※※8，求这三个偶数。2、三个连续的奇数之积是一个六位数3※※※※3，求这三个奇数。3、将4018张卡片分为两组，每组的2023张上面分别写有数1，2，3，4，……，2023。每次从两组中各自抽出一张并将卡片上两数相加，共得2023个和。那么这2023个和得积是奇数还是偶数？为什么？4、有一批文章共19篇，页数分别为1，2，3，4，……，19。如果将这批文章按照某种次序装订成册并统一编上页码，那么每篇文章的第一页是奇数的文章最多能有多少篇？A、B、C是三个连续的自然数，且其中只有一个偶数。那么〔A－1〕×〔B－2〕×〔C－3〕的结果是奇数还是偶数？为什么？6、有11只杯子，杯口全部朝上。每次将其中的4只翻转称为一次运动。那么能否经过假设干次运动使得杯口全部朝下？为什么？7、证明：不存在这样的整数A、B、C使得下面3个算式同时成立？ABC＋A=2023……………=1\*GB3①ABC＋B=2023……………=2\*GB3②ABC＋C=2023……………=3\*GB3③8、任意交换某个三位数的三个数字得到一个新的三位数。某位同学将这两个三位数相加后得到和为999。证明：该同学的计算一定有错误。9、某个展览会有25个展厅分布如图呈一个5×5网格，且相邻两室均有门相通。有人希望能够从入口进、从出口出、每个展室去一次且只去一次。他能够办到吗？为什么？【小学奥数培训资料二：计数】1、枚举法一、内容概述1、计数即统计数目，计数的关键在于既不重复、也不遗漏。要做到这一点，关键是要在确定范围以后先按照一定的标准分类，再按一定的顺序进行计数。枚举就是将要计数的物体分类有序地一一列举、再进行总数统计的方法。2、枚举无疑是最原始、最简单的计数方法，但是它同时也是计数最可靠的方法，也是发现规律、找到技巧的最正确方法。枚举是解决计数的过程中的根本方法，不是最终目的。因此，如果能够在列举过程中及时发现规律并加以应用和推广，将更有利于问题的尽快、尽简解决。3、对于多步枚举，借助树形图列举是是解决这一问题的常用技巧。二、枚举法的运用举例1、分类枚举例1、分子小于6而分母小于60的最简真分数共有多少个？例2、一本书共356页，那么编它的页码时一共用多少个数字？例3、一个长方形被一条直线分为2个局部，那么8条直线最多可以将长方形分为多少个局部？如果是2002条呢？例4、各位数字之和等于10的三位数一共有多少个？2、多步枚举——借助树形图例5、某人在A、B、C三个城市游览，他今天在这个城市，明天就要到另一个城市。那么，他从A城出发，4天后仍然回到A城，共有多少种不同游览路线？例6、甲、乙两人进行象棋比赛，双方约定先胜四局者最终胜。现在三局过后，甲为二胜一负。那么要决出最后胜负为止，一共有多少种不同的可能情形？其中甲胜的不同情形共有多少种？〔假设没有和局〕3、标数枚举〔求最短路径〕例7、如图，要从A点走到B点，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方，那么共有多少种不同走法？例8、如下各图，由A点沿最短路线到达B点各有多少种不同走法？三、习题1、分子小于5而分母小于30的最简真分数共有多少个？2、用4、5、6、7、8这五个数能够组成多少组互质数？3、现有1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个，称东西时，砝码只能放在天平的一边，用这些砝码可以称出多少种不同的重量？4、各位数字之和等于15的三位数一共有多少个？5、在1～200的自然数中，不含数字“7〞的数有多少个？6、如以下图，由A点沿最短路线到达B点各有多少种不同走法？7、从1、2、3、4、6、8这六个数字中任意取出两个作为被除数和除数，那么比1大的不同的商一共有多少个？8、甲、乙两人进行乒乓球比赛，双方约定先胜五局者最终胜。现在四局过后，甲为三胜一负。那么要决出最后胜负为止，一共有多少种不同的可能情形？其中甲胜的情形共有多少种？2、加法，乘法原理〔一〕一、内容概述1、加法原理和乘法原理来源于枚举法中分类枚举和多步枚举，是枚举中对于规律的一种概括。加法原理：完成一件事情，有k类不同的方法，而各类方法中显然分别有m1、m2、m3、……、mk种不同的做法，那么完成这一件事情的方法总数为：m1+m2+……+mk乘法原理：完成一件事情，有k个必经的步骤，而各个步骤中分别有m1、m2、m3、……、mk种不同的做法且搭配一致，那么完成这一件事情的方法总数为：m1×m2×……×mk2、可以用以下图表示加法原理和乘法原理：二、运用例1、书架上有1～4册的语文书各一本、1～3册的外语书各一本、1～6册的数学书各一本。那么：〔1〕从书架上取书一本，共有多少种取法？〔2〕从书架上取语文、外语、数学书各一本，共有多少种取法？例2、有5分币，2分币，1分币各假设干，现要组成1角钱，共有多少种不同的组合方式？例3、用10把钥匙开10把锁，但是不知道哪把钥匙开哪把锁，那么最多试多少次就能够将所有的钥匙和所有的锁一一配好？例4、由数字0、1、3、5、7可以组成多少个没有重复数字的四位数？能被5整除的四位数〔没有重复数字〕有多少个？例5、在以下图中共有16个方格，现在要将A、B、C、D四枚棋子放到方格中，而且要求每一行、每一列都只能出现一枚棋子，那么一共有多少种不同的放法？例6、红日小学的乒乓球代表队由10名男队员和8名女队员组成：〔1〕在乡乒乓球对抗赛上，红日小学要从这些队员中挑选1名男队员，1名女队员配成一组去参加男女混合双打比赛，问有多少种不同的搭配方式？〔2〕红日小学荣获乡乒乓球比赛团体总分第一，校领导要从男队员或女队员中任选一人去登台领奖，问有多少种不同的选法？三、习题1、玩具商店有玩具枪5种、玩具飞机3种、玩具汽车6种。小明的爸爸只许他选买一种。小明有多少种选择方法？2、有1枚5分硬币、4枚2分硬币、8枚1分硬币。现在要取出8分钱，有多少种取法？3、有20名乒乓球选手进行单循环赛〔每两人都要赛一场〕，共要进行多少场比赛？4、在1000～1999的自然数中，个位数字大于百位数字的数一共有多少个？5、有5件不同的上衣、3条不同的裤子、4顶不同的帽子，从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束，最多有多少种不同的搭配方式？6、用数字0～4这五个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？7、上海到南京的快车，除起点、终点外还要停靠6个站。那么该路快车要准备多少种车票？8、一支篮球队有A、B、C、D、E五名队员，由于某种原因，C不能做中锋，其余四名队员可以分配到五个位置中的任意一个上。那么该支篮球队一共有多少种不同的站位方式？9、有4只小鸟飞入4个不同的笼子里，而每只小鸟都有自己的一个笼子，且每个笼子里只能进一只小鸟。如果要求都不飞入自己的笼子里，那么一共有多少种不同的飞法？3、加法，乘法原理〔二、三〕一、知识要点：1、加法原理和乘法原理的区别首先在于是对所完成的“事情〞能够一步到位而进行分类还是必须分步。2、生活中进行加法原理与乘法原理的实际应用时，常常应该先考虑分类，再考虑在每一类中进行分步。但要注意：有时并不能直接发现分类，而是在按照所分的步骤前进几步以后才发现某一步中方法数不确定，这时就需要找到不确定的原因并作为分类的标准重来，先分类、再分步进行计数。3、在乘法原理的运用中，常用到以下技巧：〔1〕特殊位置先排或特殊对象优先考虑；〔2〕相邻站位时的整体捆住法；〔3〕不相邻站位时的选空插入法。二、加法与乘法原理的综合运用例1、如图是连接城市A、B、C的公路网，汽车从A点出发经过B到C选择不绕远路的不同路线共有多少种？例2、在1-500的自然数中，不含有数字“4”的数共有多少个？例3、用4种颜色染以下图中编号为1，2，3，4的4个矩形，使任二相邻的矩形所染的颜色都不相同的染色方法有多少种？例4、用红、黄、绿三面旗子挂在旗杆上，可以挂一面、两面、三面，不同的顺序，算不同的挂法。问有多少种不同的挂法？例5、有10级台阶，小明每步只能跨一级或者二级，那么小明要从底层上楼到第十级有多少种不同的走法？例6、育才小学有语文、数学、音乐、图画、体育5个课外活动小组，每个学生必须参加且只能参加其中任何一个小组，冬冬和明明不在同一课外活动小组的情况有多少种？例7、如以下图，从A处穿过房间到达B处，如果要求只能够从小号房间走向大号房间，而且相邻的房间都有门相通，那么一共有多少种不同走法？例8、有A、B、C、D、E五人站成一排照相：〔1〕A、B只能站两端，一共有多少种不同的站法？〔2〕A、B不能站两端，一共有多少种不同的站法？〔3〕A、B只能站相邻位置，一共有多少种不同的站法？〔4〕A、B不能站相邻位置，一共有多少种不同的站法？三、习题1、如图，从A城到B城一共有多少种不同的走法？2、安排甲、乙、丙、丁四人坐在一条长椅上，一共有多少种不同的方法？3、一本书有376页，那么编排这本书的页码共用多少个数字？其中数字“2〞用了多少次？4、用两个3、一个1、一个2可以组成多少个不同的四位数？5、如图是连接城市A、B、C的公路网，汽车从A点出发经过B到C选择不绕远路的不同路线共有多少种？6、有10级台阶，小明每一步只能跨一级或者两级或者三级，那么小明要从地面跨上第10级台阶一共有多少种不同的走法？7、用数字0～5可以组成多少个：〔1〕没有重复数字的四位数？〔2〕没有重复数字的能被5整除的四位数？※〔3〕没有重复数字的能被4整除的四位数？8、有A、B、C、D、E、F、G、H八人站成一排照相，其中A、B、C三人只能站在一起，那么一共有多少种不同的站法？9、如图，分别用4种颜色中的某一种对图中A～E五个区域染色，要求相邻区域不同颜色，那么各图中各有多少种不同的染色方法？4、容斥原理一、内容概述1、前面所学的枚举计数以及加法原理与乘法原理的运用都要求各类独立。然而实际生活中的计数还常常遇到不可防止的各类中互有重复的情形，这时就要用到容斥原理。2、容斥原理〔又称包含与排除〕是计数中的一个根本原理，也是一个常用的计数方法：在计数过程中，常常先将所计数的对象分为几个局部，在对所有的局部分别计数后再进行相加，然后减去重复计数的那些局部。3、应用容斥原理进行三类互相重复的实际计数时，为了能够清楚直观地看到计数的各个局部以及所有重复的那些局部，常常通过作出“韦恩图〞——相交的圆圈集合覆盖图予以展示。〔如以下图〕从图示可以看出：要计数第一、二、三局部一起覆盖面的大小，一方面可以将图分为7个互不相交的局部直接相加；〔这样即分类枚举〕另一方面也可以先将一、二、三局部相加，再减去重复的局部。想一想：怎样减去？3、对于容斥原理还要能够灵活地正反运用于计数中解决实际问题。二、运用〔一〕，这一公式可计算出两个集合圈的有关问题。例1、四·一班的全体同学都参加了音乐、美术这样两个课外活动小组。其中参加音乐组的有29人，参加美术组的有32人，而两个组都参加的同学有12人。那么四·一班一共有多少名同学？例2、在1-50的自然数中，是6的倍数或者9的倍数的数一共有多少个？〔二〕，这一公式可计算三个集合圈的有关问题。例3、六年级的160名学生参加期末考试，其中：数学得总分值的有58人，语文得总分值的有53人，外语得总分值的有59人；而语文、数学都得总分值的有17人，数学、外语都得总分值的有22人，语文、外语都得总分值的有20人；语文、数学、外语都得总分值的有10人。那么六年级学生中语、数、外一门总分值都没得的有多少人？例4、在1-500的自然数中，既不能被2整除、又不能被3整除、且不能被5整除的数一共有多少个？〔三〕图像法综合运用 不是利用容斥原理的公式计算，而是根据题意画图，并借助图形帮助分析，逐个地计算出各个局部，从而解答问题。例5、某班有学生48人，其中21人参加数学竞赛，13人参加作文竞赛，有7人既参加数学竞赛又参加作文竞赛，那么只参加数学竞赛的有多少人？参加竞赛的一共有多少人？没有参加竞赛的一共有多少人？例6、在不超过100的自然数中：〔1〕被2、3、5三个数都能整除的数有多少个？〔2〕能被2、3、5中一数整除，但不能被另两数整除的数分别有多少个？〔3〕能被2、3、5中两数整除，但不能被另一个整除的数分别有多少个？不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少个？例7、有6个边长10厘米的正方形纸片都在中央被挖了一个正方形洞而形成了6个宽1厘米的正方形方框放在桌面上，如图。求它们一共盖住桌面的面积。三、习题1、在1～100的自然数中，既不是3的倍数、也不是5的倍数的数一共有多少个？2、六年级有语文、数学、英语三个课外活动小组。参加了语文小组的有27人，参加了数学小组的有23人，参加了英语小组的有18人；而同时参加了语文、数学小组的有4人，同时参加了数学、英语小组的有7人，同时参加了英语、语文小组的有5人；三个小组都参加的有2人。那么六年级参加了课外小组的一共有多少人？3、如图：A、B、C三个圆的面积分别为9、8、11平方厘米，而A与B、B与C、C与A每两个圆的公共局部面积分别为5、4、3平方厘米。现在三个圆共盖住桌面18平方厘米。那么三个圆都重合的局部有多大？4、在1～500的自然数中，既不是3的倍数、也不是5的倍数、且不是7的倍数的数一共有多少个？5、抽屉原理〔一〕一、知识要点：1、抽屉原那么是应用生活实例得出的一种描述整体状态的“数学模型〞。〔1〕简单的抽屉原那么：将n＋1个“苹果〞放入n个“抽屉〞中，那么必然有一个“抽屉〞中至少放入了2个“苹果〞。〔2〕加强的抽屉原那么：将mn＋1个“苹果〞放入n个“抽屉〞中，那么必然有一个“抽屉〞中至少放入了m＋1个“苹果〞。抽屉原那么的结论可以用反证法进行证明。2、理解抽屉原那么时需要注意：〔1〕“苹果〞只是所考察的不同事物或者事物组的一个形象代称；〔2〕“抽屉〞也只是在某种给定形式之下的一个个相互独立的“单位〞。〔3〕抽屉原那么所关注只是所有事物的一个整体状态的最小值，因此不关注也不需要求出具体是哪一个“抽屉〞的状态，也不管其具体的准确值。二、运用〔一〕“苹果〞和“抽屉〞而借助抽屉原理说理或证明例1、试证：任何13人中至少有2人在同一月份过生日。例2、某奥林匹克数学班有52名同学，他们分别来自10所小学，请你证明，至少有一所小学来的人数超过5人。例3、有黑色、白色、黄色的筷子各8根混杂在一起，黑暗中想要从这些筷子中取出不同颜色的两双筷子。那么至少要取多少根才能保证到达要求？〔二〕求“苹果〞或“抽屉〞例4、一个口袋中装有500粒珠子，共有5种颜色，每种颜色各100粒，如果你闭上眼睛，至少取出多少粒珠子才能保证其中有5粒颜色相同？例5、体育器材里有一批篮球、排球、足球和实心球，每人任意搬3个，那么在61位搬运者中，至少有几人搬运的球完全相同？为什么？例6、 用1、2、3这三个数字任意写出一个2003位数，从这个2003位数中任意截取相邻的3位数字，可以组成许多三位数，这些三位数中至少有多少个是相同的？三、习题1、在一副扑克牌中去掉大王和小王以后，任取多少张那么至少有两张为同一花色？为什么？2、六一班共55名学生，那么该班中至少有多少名学生同在一个月生日？为什么？3、有黑色、白色、黄色的筷子各12根混杂在一起，黑暗中想要从这些筷子中取出不同颜色的两双筷子。那么至少要取多少根才能保证到达要求？4、一个口袋中装有600粒珠子，共有6种颜色，每种颜色各100粒，如果你闭上眼睛，至少取出多少粒珠子才能保证其中有6粒颜色相同？5、六一班有43名学生报名参加数学、美术、书法这三个课外小组每人可以报名参加一个、两个或者三个小组。那么这些学生中至少有多少人的报名方式完全相同？6、用1、2、3这三个数字任意写出一个2023位数，从这个2023位数中任意截取相邻的3位数字，可以组成许多三位数，这些三位数中至少有多少个是相同的？7、有N支队伍参赛的足球比赛中，已经赛过了N＋1场。证明：必定有一支队伍至少赛过了3场。6、抽屉原理〔二〕一、知识要点：1、需要注意的几个地方：〔1〕抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系，要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多，至于多多少，这倒无妨。〔2〕“任意放〞的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法，不规定每个抽屉中都要放物品，即有些抽屉可以是空的，也不限制每个抽屉放物品的个数。〔3〕抽屉原理只能用来解决存在性问题，“至少有一个〞的意思就是存在，满足要求的抽屉可能有多个，但这里只需要保证存在一个到达要求的抽屉就够了。〔4〕将件物品放入个抽屉中，如果，其中是自然数，那么由抽屉原理二就可得到，至少有一个抽屉中的物品数不少于件。〔5〕把所有整数按照除以某个自然数的余数分为类，叫做的剩余类或同余类，用[0]，[1]，…，[-1]表示，每一个类含有无穷多个数。在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉，根据抽屉原理，可以证明：任意个自然数中，总有两个自然数的差是的倍数。2、构造抽屉的方法：使用抽屉原理解决有关的数学问题，关键是构造抽屉，常见的构造抽屉的方法有：“数的分组〞、“图形的分割〞、染色分类“、剩余类〞等。二、抽屉的构造1、剩余类例1、任取多少个自然数，必有两个数的差是7的倍数？2、数的分组例2、从2、4、6、…、30、32这16个偶数中，任取几个数，其中一定有两个数之和是34？例3、从1、2、3、……、10这十个数中，任取六个数，试证：这六个数中总可找到两个数，其中一个数是另一个的倍数。3、图形的分割例4、一平行四边形，其较长对角线长为12米，随意放进假设干个点，至少要放多少个点，才能保证其中必有两点之间的距离不超过3米？例5、在边长为1的正三角形内〔或其边上〕任意放入10个点，试证：其中至少有两个点的距离不超过。4、染色分类例6、如图在同一个3×9的方格棋盘内，任意用红色或蓝色涂每个方格，试证：至少有两列的涂色方式是相同的。※例7、在一个3×7的方格棋盘的每一个小方格内放上一粒白棋子或一粒黑棋子，试证：不管怎样放，必然存在一个长方形，其四个角上小方格内的棋子同色。解：如下图，每列3粒棋子摆放共有8种情况，考虑最糟糕情况，先将2至7号放入3×7的方格棋盘中，此时还没有这样的长方形。〔1〕假设剩下的1列放2至7号中的某1列，那么同号的两列必存在四个角上小方格内的棋子同色；〔2〕假设剩下的1列放1号，那么2、3、4号与1号存在四个角上小方格内的棋子同色；〔3〕假设剩下的1列放8号，那么5、6、7号与8号存在四个角上小方格内的棋子同色。 所以不管怎样放，必然存在一个长方形，其四个角上小方格内的棋子同色。三、习题1、任取多少个自然数，必有两个数的差是9的倍数？2、从2、4、6、…、60这30个偶数中，任取几个数，其中一定有两个数之和是62？3、一个口袋里有红球3个、黄球5个、蓝球8个、黑球9个。从袋子里任意取球，一次至少取出多少个球才能保证必有4个同颜色的球？4、有红、黄、绿、白四种颜色的小球各假设干个，每个人可以从中任取2个。那么当有多少人取球时才能保证至少有4人所取得球完全相同？5、某旅游团一行50人，随意游览甲、乙、丙三地。那么至少有多少人游览的地方完全相同？6、在边长2厘米的正三角形内有5个点。那么必有两个点，它们之间的距离不超过1厘米。为什么？【小学奥数培训资料三：计算】1、分数的意义和性质一、内容概述1、分数的意义——把单位“1”分数各局部名称——在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数叫做分母，表示单位“1〞平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份。和除法相对应，分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号，因此0不能作为分母。对于分数，要自觉联想到关于它的平均分的整体〔即单位“1〞〕和相应的份数。对于除法计算，要自觉运用分数表示其结果。2、分数的分类真分数——分子比分母小的分数，或者说分数值小于1的分数，如、。假分数——分子不小于分母的分数，或者说分数值不小于1的分数，如、。一个假分数可以化为整数或带分数〔由整数和真分数合成的数如，〕。3、分数的性质——分数的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数〔不为0〕，分数值保持不变。将一个分数的分子、分母缩小相同倍数的过程叫约分；将几个分数的分母化为相同的过程叫通分。4、分数的大小比拟常用方法：统一分母；统一分子；都和1比；求差或求商比拟法；倒数比拟法，……二、应用例1、甲数是乙、丙平均数的，那么甲数是甲、乙、丙平均数的几分之几？例2、某人从甲地到乙地，用时30分钟；他返回时速度提高，那么他回来用时多久？例3、要把9块完全相同的巧克力平均分给4个孩子，每块巧克力最多只能切成两局部。怎么分？例4、分数的分子加上6，要使分数值不变，那么分母应加上多少？例5、计算：〔1〕 〔2〕例6、比拟大小：〔1〕把以下各数用“〞连接起来：，，，，，。〔2〕比拟与的大小。〔3〕比拟分数和的大小。〔4〕比拟〔1＋＋＋〕×〔＋＋＋〕与〔1＋＋＋＋〕×〔＋＋〕的大小。三、习题1、甲数是乙、丙平均数的，那么甲数是甲、乙、丙平均数的几分之几？2、某人从甲地到乙地，用时40分钟；他返回时速度提高，那么他回来用时多久？3、要把7块完全相同的巧克力平均分给4个孩子，每块巧克力最多只能切成两局部。怎么分？4、把的分子、分母加上同一个数，使得它的结果成为，那么同时加上的那一个数是多少？5、把的分子加上、分母减去同一个数，使得它的结果成为，那么同时加、减的那一个数是多少？6、把以下各数用“〞连接起来：，，，，。7、比拟与的大小。8、比拟〔＋＋＋〕×〔＋＋＋〕与〔＋＋＋＋〕×〔＋＋〕的大小。9、有一列分数：，，，，，，，，，，，……〔1〕是第几个数？〔2〕第423个分数是几分之几？2、循环小数与分数的互化一、知识要点1、循环小数——从小数点后某一位开始，一个数字或几个数字不断重复出现的小数，叫做循环小数。依次不断重复出现的数字叫做循环小数的循环节。纯循环小数：从小数点后第一位开始循环的小数叫做纯循环小数，反之那么是混循环小数。2、分数与小数互化分数化小数——用分子除以分母。化为小数时，要么是有限小数，要么是循环小数。最简分数化为小数有三种情况：假设分母只含有质因数2或5，那么化为有限小数，小数局部位数为质因数2和5个数最多的那个数的个数。例如：，，假设分母只含有除2和5以外的质因数，那么化为纯循环小数。例如：，，假设分母既含有2和5以外的质因数，又含有质因数2或5，那么化为混循环小数，不循环局部的小数位数为质因数2和5个数最多的那个数的个数。例如：，，小数化分数——对于有限小数，根据其意义写成分数形式后再约分化简；对于循环小数，那么根据转化的数学思想，先构造其同“尾〞不同“整〞的小数，再借助相减运算转化为整数或有限小数后按相应步骤进行。3、通过实例可以总结出将纯循环小数化成分数的方法：分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9，9的个数与循环节的位数相同。例如：，，，……还可以总结出将混循化小数化为分数的方法：分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数所组成的数减去不循环数字所组成的数所得的差；分母头几位数字是9，末几位数字都是0，其中9的个数与循化节的位数相同，0的个数与不循环局部的位数相同。例如：，，二、应用例1、判断以下分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数局部有几位？能化成混循环小数的，不循环局部有几位？例2、把化为分数。令：，那么两者相减得化简得：因此，即=。例3、将化成分数。例4、把化成分数。例5、把化成分数。例6、计算以下各式：〔1〕；〔2〕三、习题1、判断以下分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数局部有几位？能化成混循环小数的，不循环局部有几位？2、〔1〕把化为分数。〔2〕将化成分数。〔3〕把化成分数。〔4〕把化成分数。3、计算以下各式：〔1〕；〔2〕3、分数的计算〔一、二〕一、知识要点：1、分数的计算同整数计算一样，既有知识要求又有能力要求。法那么、性质是进行计算的依据；而要使计算快速、准确，关键在于掌握运算技巧。2、对于复杂的分数运算，常用的方法和技巧有：通分、约分、凑整、分拆、分解、……3、主要公式有：〔1〕在等差数列中：求和公式：通项公式：求项公式：〔2〕平方差公式：〔3〕拆项公式：，二、应用例1、计算：19＋＋＋＋＋例2、计算例3、计算：例4、计算：〔1〕〔2〕例5、计算：例6、计算：〔1〕 〔2〕例7、计算：〔1〕 〔2〕例8、计算×〔4.85÷-3.6＋6.15×〕＋[5.5－1.75×〔＋〕]例9、计算例10、计算〔＋＋〕÷〔＋＋〕三、习题1、计算：＋＋＋＋＋＋2、计算：〔1＋〕＋〔1＋×2〕＋〔1＋×3〕＋……＋〔1＋×10〕3、计算：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕4、计算：〔1〕1――――――〔2〕＋＋29＋399＋15、计算：6、计算：1＋7、计算：〔＋＋＋＋＋＋＋〕×1288、计算：〔1＋〕×〔1＋〕×〔1＋〕×〔1＋〕×〔1＋〕×〔1―〕×〔1―〕×〔1―〕×〔1―〕9、计算：〔1〕〔＋＋……＋〕×〔1＋＋＋……＋〕－〔1＋＋＋……＋〕×〔＋＋……＋〕〔2〕1949×〔-〕＋47×〔-〕-1996×〔＋〕＋1003〔3〕〔4〕4、整、小、分数的速算〔一、二、三〕一、知识要点：1、对于计算，要随时具有速算意识。2、速算意识的强化：3、〔1〕加减速算目标：凑整抵消化为乘法〔2〕乘除速算目标：因数凑整约分公式及规律二、应用例1、=1\*GB3①＋＋＋……＋=2\*GB3②＋＋＋……＋=3\*GB3③＋＋＋＋＋……＋=4\*GB3④＋＋＋……＋=5\*GB3⑤＋＋＋＋……＋=6\*GB3⑥＋＋＋＋……＋=7\*GB3⑦1－－－－……－=8\*GB3⑧－＋－＋－＋=9\*GB3⑨＋＋＋＋＋＋例2、=1\*GB3①×2023=2\*GB3②2007÷=3\*GB3③3.5×＋125%＋÷=4\*GB3④9999×7778＋3333×6666=5\*GB3⑤×0.375＋38÷80＋÷=6\*GB3⑥4.4×57.8＋45.3×5.6=7\*GB3⑦〔＋＋＋〕×〔＋＋＋〕－〔＋＋＋＋〕×〔＋＋〕=8\*GB3⑧×＋÷－÷25=9\*GB3⑨2023×20072007－2006×20232023=10\*GB3⑩例3、=1\*GB3①＋＋＋＋＋……＋＋1=2\*GB3②1.1＋1.3＋1.5＋1.7＋1.9＋1.11＋1.13＋1.15＋1.17＋1.19＋1.21＋……＋1.99=3\*GB3③＋＋＋＋＋……＋＋1=4\*GB3④＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋……＋＋＋…＋=5\*GB3⑤2007＋2006－2005－2004＋2003＋2002－2001－2000＋……＋3＋2－1=6\*GB3⑥1＋2＋3＋4＋……＋199＋200＋199＋198＋……＋4＋3＋2＋1例4、=1\*GB3①〔1＋〕×〔1－〕×〔1＋〕×〔1－〕×〔1＋〕×〔1－〕×……×〔1＋〕×〔1－〕=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥例5、=1\*GB3①＋＋＋＋＋……＋=2\*GB3②20072－20052＋20032－20012＋……＋32－12=3\*GB3③13＋23＋33＋43＋53＋……＋393＋4031186个0812个0=4\*GB3④0.000…0111×0.000…0181186个0812个0例6、=1\*GB3①9.6＋99.6＋999.6＋9999.6＋99999.6＋999999.6=2\*GB3②1200000－78－798－7998－79998－799998例7、=1\*GB3①=2\*GB3②2004减去它的，再减去剩下的，再减去剩下的，……，最后减去剩下的。最后剩下的数是多少？【小学奥数培训资料四：方程与列方程解应用题】1、方程与解方程一、内容概述1、什么是方程？方程必须同时满足两个条件：一是含有未知数，二是“等式〞。含有未知数的等式叫方程。2、什么是方程的解？使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；如，〔注意：方程的解本身也是一个含有未知数的等式，而且是一个最简方程。〕3、求方程中的未知数,叫做解方程。显然：解方程的本质是化简。方程如天平，计算合并要先行；化简为目标，算理原那么要执行。根本训练1、解方程=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥=7\*GB3⑦=8\*GB3⑧=9\*GB3⑨习题=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥=7\*GB3⑦=8\*GB3⑧=9\*GB3⑨2、解二元一次方程组一、内容概述1、我们知道：含有未知数的等式叫方程。而方程中的未知数的个数可以是一个也可以是多个，假设一个方程中未知数的个数为，那么称这个方程为元方程，假设未知数的最高次数为，那么称该方程为元次方程。简而言之，“元〞表示方程中未知数的个数，“次〞表示未知数的最高次数。2、一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次的整式方程，叫做一元一次方程，如。一元一次方程一般有唯一的解。如对于，此方程的解惟一，即3、二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的最高次数是一次的整式方程，叫做二元一次方程，如3x＋4y=7。二元一次方程有无限多解，因为其中的一个未知数可以用含有另一个未知数的式子来表示。当其中一个未知数〔或〕每取一个值，另一个未知数〔或〕就有惟一的值与它相对应。如对于3x＋4y=7，此方程的解不惟一，，等都是原方程的解。4、二元一次方程组：含有同样两个未知数的两个不同的二元一次方程合起来即组成一个二元一次方程组。如。二元一次方程组有唯一确定的解。如对于，为该方程组的解。5、解一次方程组的根本思想是“消元〞。通过消元，把一次方程组转化为一个一元一次方程来求解。求解二元一次方程组的方法主要有：代入消元法与加减消元法。二、例题〔一〕代入消元法法解二元一次方程组例1、解方程组例2、解方程组说明：有时可根据方程的特点，整体代入，简化运算。当然，不是所有的题目都像例2一样，直接就可以整体代入，有时，通过仔细观察，抓住原方程组的特征，将它先作一些处理，然后再整体代入。〔二〕加减法消元法解二元一次方程组例3、解方程组例4、解方程组〔三〕其他方法解多元一次方程组举例例5、解方程组解：〔1〕+〔2〕+〔3〕得，即〔4〕-〔1〕得，〔4〕－〔2〕得，〔4〕－〔3〕得。所以原方程组的解为说明：此题的未知元以对称的形式出现，此时，将方程叠加后，一般可简化计算。例6、解方程组解：换元，令，，那么原方程组等价于〔3〕-〔4〕×6，得，故，将代入〔4〕，得即，，所以原方程组的解为说明：通过换元，将原方程组化为一次方程组。三、习题解方程组：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕〔9〕〔10〕3、不定方程〔一、二〕一、实际问题：不定方程的来历、概念及性质1、实例：小明买一把卷笔刀，价格4角9分，他手上有2分5分硬币各10枚。他可以怎样付钱？分析：设小明付x枚2分，y枚5分，即有2x+5y=49，且x、y都为不大于10的整数。问题：1个方程、2个未知数，且要求未知数均是整数。这样求整数解的方程具有哪些性质特点呢？2、根本概念及性质特征像这样，未知数个数多、方程个数少且求整数解的方程叫不定方程。性质特征：(1)形状aX+bY=m(2)数量关系，未知数多，方程少一些(3)解是不确定的，但整数解可确定二、不定方程的整数解求法〔一〕“整除分析+估计〞法例1、求2X+3Y=14的整数解。例2、求3X+2Y=15的整数解。例3、求4X+5Y=80的整数解。〔二〕“取余分析+估计〞法例4、求3X+4Y=25的整数解。例5、求5X+7Y=82的整数解。例6、求11X+13Y=167的整数解。三、用不定方程解应用问题例7、小明买一把卷笔刀，价格4角9分，他手上有2分5分硬币各10枚。他可以怎样付钱？解：设小明付x枚2分，y枚5分，即有2x+5y=49〔x、y都为不大于10的整数。〕例8、有99个弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完，大小盒子各用了几个？例9、缝纫小组一天能做6件上衣或9条裤子，现有一批订货，需做上衣或裤子各假设干件，结果他们一天正好完成任务，求订单上：上衣、裤子各多少件？四、习题1、对以下各方程求整数解：〔1〕5x+3y=15〔2〕2x+3y=12〔3〕4x+7y=56〔4〕5x+9y=90〔5〕3x+4y=23〔6〕13x+15y=236〔7〕＋=2〔8〕＋=32、A、B均为自然数，且满足＋=,那么A＋B=？3、解决问题〔1〕小聪要买一支49元的钢笔，他手里有贰元和伍元的纸币各10张，如果不用找钱，他一共有哪几种付钱的方法？〔2〕缝纫小组每天能做8件上衣或者12条裤子。现有一批订货，需要做上衣和裤子各假设干件，结果他们正好一天完成任务。那么该批订货的订单情况怎样？〔3〕要把一根1米长的优质铜管锯成长38毫米和90毫米两种规格的铜管。现在两种规格的都要有，且每锯一次都要损耗1毫米的铜管。那么这两种规格铜管各锯多少根时损耗最少？〔4〕一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是170，你知道他出生于何月何日吗？〔5〕某单位职工到郊外植树，其中的职工各带一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵，他们共种了216棵树，那么其中有女职工多少人？〔6〕一次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原方案发给一等奖每人6支，二等奖每人3支，三等奖每人2支，后来改为一等奖每人9支，二等奖每人4支，三等奖每人1支，问：获一、二、三等奖的学生各几人？4、列方程解应用题〔一、二〕一、知识要点：1、列方程解应用题与算术法解应用题的比照：实例：一架飞机所带燃料最多可以用6小时。飞机去时顺风，每小时可以飞行1500千米；回时逆风，每小时可以飞行1200千米。那么这架飞机最多飞出多远就要返航？用算术方法你会怎样解答？试一试并归纳相应的步骤！你会列方程解答吗？试一试并归纳相应的步骤！总结：列方程解应用题的优点在于可以将未知数用字母表示以后当成条件而直接参与列式。列方程解应用题的关键在于能够从条件研究中找出等量关系，而后正确地设立未知数并建立方程。2、列方程解应用题的一般步骤：发现题目当中的等量关系：可以是同一数量却有着不同的表达；也可以是不同的几个数量通过运算而建立相等关系。确定要设的未知数：找出等量关系中涉及到的各个量中的关键量，这个量必须和其他量有着紧密的数量关系。这样即可设这个关键量为x，等量关系式中的其他量那么可用数或含有x的代数式来进行表示。列方程：根据等量关系式结合所设的未知数x将其“翻译〞即成方程。解答二、列方程解应用题的例题与习题1、一个畜牧场每天生产牛奶和羊奶共2346千克，生产的牛奶是羊奶的5倍，问每天生产羊奶和牛奶各多少千克？2、希望小学图书室一个书架有上下两层，一共有490本书，上层每天借出30本，下层每天借出20本，3天后，上下两层剩下的图书本数目同样多，问：上下两层原来有多少本书？3、哥哥放学回家，以80米/分的速度步行回家，12分钟后，弟弟骑自行车以200米/分的速度从学校往家中骑，经过几分钟弟弟可以追上哥哥？4、小刚买了2元和8角的两种邮票共24枚，用去了30元，这两种邮票各买了多少枚？甲乙两校参加数学竞赛的共有22人，甲校参加人数的20%比乙校参加人数的25%少1人。求甲乙两校参加的人数各是多少？某厂男女职工共有1450人，如果男职工增加30%而女职工减少20%，这时是女职工人数是男职工的50%，那么原来男职工有多少人？要从含盐16%的40千克盐水中蒸发水分而制成含盐20%的盐水，应该蒸发水分多少千克？将105升水注入甲乙两个容器内，可灌满甲容器和乙容器的，或可灌满乙容器和甲容器的。求两个容器的容积各是多少？一堆围棋棋子，其中黑子与白子的个数之比是4∶3，从中取出91枚棋子，且黑子与白子的个数之比是8∶5，这时剩下的棋子中黑子与白子的个数之比是3∶4。那么这堆围棋棋子原有多少枚？10、甲乙丙三人参加一次考试，共得分260分，甲得分的、乙得分的都与丙得分的一半减去22分相等。那么丙得分是多少？11、某人乘车从A市到B市，原方案上午多行100千米而到C市吃午饭，下午再行完全程。实际由于堵车只行原方案的到达D镇就到午饭时间了，过了D镇后又行了400千米到达E镇稍事休息，休息时司机说，如果再走从C到这里的一半就到达B市了。求A、B两市之间的距离。12、上午8点多钟有两辆汽车先后离开甲地向乙地驶去，时速都是60千米。8点32分时，第一辆车离开甲地的距离是第二辆车的3倍；到8点39分时，第一辆车离开甲地的距离是第二辆车的2倍。那么第一辆车时8点多少别离开甲地的？13、吃晚饭时突然停电了，妈妈点燃粗细不同但长度一样的两支蜡烛，过一会儿来电了，妈妈同时熄灭两支蜡烛。粗蜡烛全部点完要2小时而细蜡烛全部点完只要1小时，熄灭时发现：剩下的粗蜡烛的长正好时细蜡烛的2倍。那么停电了多少分钟？14、一辆车从甲地开往乙地，如果将车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达；如果以原速行驶100千米后再提速30%，也可比原定时间提前1小时到达。甲乙两地相距多少千米？思考题：某厂生产一种服装，每件本钱144元，售价200元。一位经销商订购了120件这种服装，并提出：如果每件售价每低2元，我就多订购6件。按经销商要求，这个服装厂出售多少件时可以获得最大利润？这个最大利润时多少元？5、方程组法解应用题一、知识要点1、在列方程解应用题中经常遇到这样的情况：题设条件中有两个或两个以上的未知量且有两个或两个以上的等量关系，并且这些未知量之间相互表达比拟繁琐，这时可以考虑用方程组法来解题。2、方程组法解应用题应该具备的前提条件：〔1〕题设条件中有两个或两个以上的等量关系；〔2〕题设条件中有两个或两个以上的未知量。此种情况下可建立方程组，通过对方程组的求解，直接或间接地找到所提问题的答案。二、方程组法解应用题例1、从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米。车从甲地到乙地需9小时，从乙地到甲地需7.5小时，问甲、乙两地间的公路有多少千米？例2、 甲、乙两书架各有假设干本书，如果从乙架拿5本书放到甲架上，那么甲架上的书就比乙架上剩余的书多4倍；如果从甲架拿5本书放到乙架上，那么甲架上剩余的书是乙架上的书的3倍，问原来甲架、乙架各有书多少本？例3、小强问叔叔多少岁了，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁；你到我这么大时，我就40岁了。〞问小强和叔叔今年各是多少岁？例4、有四个数，其中每三个数之和分别为17、21、25、30，求这四个数。三、总结列方程〔组〕是解应用题的一个常用的解题工具，很好的掌握它，对我们解应用题有很大的帮助，特别是在一些条件不太明显或比拟复杂的问题中，用算术法解应用题是比拟困难的，而通过设未知数，往往可以直接或比拟直接地把条件用等式表示出来，使数量关系更加清楚，思路更加清晰。大数学家牛顿讲过：要解答一个问题，里面含有数量间的抽象关系时，只要把题目由日常的语言译成代数的语言就行了。所以列方程〔组〕解题的一般步骤是：把日常语言翻译成代数关系式；寻找等量关系，列成一个等式或等式组；解方程〔组〕，求得解；验算检验实际意义。习题1、从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路而没有平路。一辆汽车上坡速度为30千米/小时而下坡速度为45千米/小时。该车从甲地到乙地需7小时而从乙地到甲地需8小时。求甲、乙两地之间的公路有多少千米？2、学校图书室新购进科技书和漫画书两种图书：科技书比漫画书的3倍多2本。每次借出15本科技书和7本漫画书，假设干次后，新购进的书中还剩下3本漫画书和53本科技书。求学校图书室新购进科技书和漫画书共多少本？3、甲对乙说：“我像你这么大时，你才5岁；你到我这么大时，我就65岁了。〞那么甲、乙今年各多少岁？4、甲、乙两书架各有假设干本书，如果从乙架拿5本书放到甲架上，那么甲架上的书就比乙架上剩余的书的3倍少10本；如果从甲架拿5本书放到乙架上，那么甲架上剩余的书和乙架上的书相等，问原来甲架、乙架各有书多少本？5、有四个数，其中每三个数之和分别为22、24、38、39，求这四个数。6、李叔叔开汽车匀速行驶到火车站敢乘火车。如果每小时行80千米，那么早到30分钟；如果每小时行60千米，那么吃到30分钟。他如果打算提前10分钟到达，那么汽车的速度应是多少？【小学奥数培训资料五：几何】1、平面图形的周长一、内容概述1、计算平面图形的周长：除了可以用长方形、正方形的周长公式来计算标准图形的周长外，更多时候还要仔细观察和分析，通过运用平移、分解等构造手段以及一些代数手段来求周长。2、计算组合图形的周长：还可以通过移、拼等多种手段，来丰富解题思路，积累解题经验。二、例题1、求右图的周长〔单位：㎝〕2、如图：4个相同的长方形和1个正方形拼成一个面积为100平方厘米的大正方形。那么每个长方形的周长是多少厘米？3、如图：将一个正方形划分为9个小长方形，这些小长方形周长的总和是96㎝.那么这个大正方形的面积是多少？4、如图：在长方形ABCD中，AB=120㎝，截去一个正方形EBCF后，剩下的长方形AEFD的周长是多少？5、如图，以C、D为圆心的两个半圆的直径都是2厘米，那么阴影局部的周长是多少？6、一个周长为20厘米的大圆内有许多小圆，这些小圆的圆心都在大圆的一个直径上．那么小圆的周长之和为______厘米。7、如图，直径AB为2厘米的半圆，绕A逆时针旋转60°，使AB到达AC位置。求图中阴影局部的周长。8、以下图中每个小圆的半径是1厘米，阴影局部的周长是多少厘米？三、习题1、如图，10个相同的小长方形拼接而成一个大长方形，大长方形的长和宽分别是6厘米和5厘米。求每个小长方形的周长。2、如图，平行四边形ABCD的一条边长为18，两条高分别为8和10，那么平行四边形ABCD的周长是多少？3、将半