山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第18章-圆中的极点、极线

第18章圆中的极点、极线在平面解析几何中，介绍了如下直线方程的几何意义：对于一点和一圆：，直线的方程 〔*〕的几何意义有如下3种情形：当点在圆上时，方程(*)表示为经过点的圆的切线，切点为．当点在圆的外部时，方程(*)表示为过点的两条切线的切点弦直线．点在切点弦的中垂线上．当点在圆的内部，且不为圆心时，方程(*)表示为过点的对应点〔即以点为中点的弦端点的两条切线的交点〕，且与以为中点的弦平行的直线．为了讨论问题的方便，对于上述三种情况，统称点与对应的直线为关于圆的极点与极线〔可推广到圆锥曲线〕．事实上，如图18-1，点、为一双对应点，且满足条件：．注：满足条件〔为圆心，为圆的半径〕的点的变换，称为反演变换．因此，一般地，有定义1设是平面上一个定圆〔半径为〕，点、为满足条件的对应点〔或反点〕，那么过点且垂直于的直线称为点关于的极线，点称为直线关于的极点．显然，对于平面上不过圆心的直线关于的极点是圆心在直线上的射影关于的对应点〔反点〕．由定义1可以看出，给定了平面上的一个圆，除圆心外，平面上每一点都有唯一确定的极线；除过圆心的直线外，平面上每一条直线都有唯一确定的极点．因而极点与极线是平面上除圆心以外的点与平面上除过圆心的直线以外的直线间的一个一一对应关系．在普通平面上，圆心没有极线，过圆心的直线没有极点．由此亦可知，当点在上时，点的极线就是在的切线，切线的极点就是切点；当点在外时，点的极线就是过点所引的两条切线的切点弦直线；与相交的直线的极点就是在交点处的两条切线的交点；当点在内且不为圆心时，点的极线在圆外，是过点的对应点〔反点〕，且与以为中点的弦平行的直线；外的直线的极点可以这样得到：过作于，过作的两条切线得切点、，切点弦的中点即为直线的极点．于是，我们有性质1设、两点关于的极线分别为，，假设点在直线上，那么点在直线上．证明如图18-2，假设、是的两个互反点，那么结论显然成立．假设、不是的两个互反点，由于点在点的极线上，因而、、三点不共线．设、关于的反点分别为、，那么由，知、、、四点共圆．由于点在直线上，所以，从而，这说明直线即为点的极线，故点在点的极线上．由性质1知，假设点在点的极线上，那么点在点的极线上，或者说，如果直线通过直线的极点，那么直线通过直线的极点．于是，即知对于给定的一个圆，圆心以外的任意一点的极线是过点但不过圆心的任意两条直线的极点的连线；不过圆心的任意一条直线的极点是直线上的不同两点的极线的交点，从而，亦有推论1如果假设干个点共线，那么这些点的极线共点；如果假设干条直线共点，那么这些直线的极点共线．定义2如果点关于的极线通过点，而点关于的极线通过点，那么称、两点关于共轭．性质2、两点关于共轭的充分必要条件是以为直径的圆与正交．证明必要性．如图18-3所示，设、两点关于共轭，那么点在点的极线上，设直线与交于点，那么点为点的反点．因为，所以，点在以为直径的圆上．设的半径为，与的一个交点为，因通过的一对反点、，那么由一对反点的几何意义，有，由此即知，为的切线〔切割定理的逆定理〕，即．故与正交．充分性．如图18-3所示，设以为直径的圆与正交，即假设与的一个交点为时，为的切线．设的半径为，直线与交于另一点，那么由切割线定理，有，由此，即知为点关于的反点．由于是的直径，所以，从而直线是点的线段，再由性质1知点必在点的极线上．因此，、两点关于共轭．性质3设、调和分割线段，圆是过、两点的任意一个圆，那么、两点关于共轭．证明如图18-4，设是以为直径的圆，由、调和分割线段，有，即．〔*〕注意：，，，．于是，由(*)式，有．将上式展开，注意，得．从而，知、两点关于为反点．假设设为与的一个交点，那么，即．由切割线定理的逆定理知为的切线．于是，知与正交，由性质2即知、两点关于共轭．性质4从不在圆上的一点〔异于圆心〕引一条直线与圆交于、两点，且与关于圆的极线交于点，那么、调和分割弦．证明当点在圆外时，如图18-5(1)．过点作的两条切线、，、分别为切点，从而直线为点关于的极线，那么点在直线上．联结、、、，那么由，有，即有①同理，．于是，有．②又，，有，．于是，由上式及②式，有．③由①、③得，或，即有、调和分割弦．当点在圆〔异于圆心〕内时，如图18-5(2)．作以点为中点的弦，分别作点、处的切线交于，过点作与垂直的直线，那么为点关于的极线，且点在直线上．此时，由性质1，知点关于的极线过点，于是，、关于互为反点，问题转化为前述情形〔即点在外情形〕，即有．亦即有．性质5从不在圆上的一点(异于圆心)引二条直线与相交得两条弦、，那么直线与直线的交点在点关于的极线上．证明当点在圆外时，如图18-6(1)、(2)．同性质4中图18-5(1)得点关于的极线．联结、、、、、、、．设直线与直线交于点，那么．①设直线与直线交于点，同理，有．②由，，有，即．③同理，．④由①、②、③、④得，即．从而与重合于点．故点在点关于圆的极线上．当点在圆内(异于圆心)时，如图18-6(3)、(4)．同性质4中图18-5(2)，得点关于的极线．此时，由图18-6(1)、(2)中情形的证明知，点关于的极线为，且点在弦上．由性质1，知在点关于的极线上．推论2同性质5的条件，那么直线与直线的交点在点关于圆的极线上．推论3过不在圆上的一点(异于圆心)引两条割线、．假设直线与交于点，直线与交于点，那么直线是点关于的极线．事实上，也可这样证明：如图18-7，设直线与、分别交于点、．对及截线、对及点分别应用梅涅劳斯定理和塞瓦定理，有，，由此两式得．即知、调和分割，由性质3知、关于共轭，所以，点在点的极线上．同理，点也在点的极线上．故直线是点关于的极线．定义3如果一个三角形的顶点都是另一个三角形的边所在直线的极点〔关于同一圆〕，那么称这两个三角形共轭．如果一个三角形的每一个顶点都是对边所在直线的极点，那么称这个三角形是自共轭三角形〔或极点三角形〕．性质6设、、、是一圆上的四点，假设直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点，那么是一个自共轭三角形〔或极点三角形〕．证明由推论3知是点的极线，是点的极线．从而，由性质1，知是点的极线．故是一个自共轭三角形〔或极点三角形〕．性质7〔极点公式〕凸四边形内接于，延长、交于点，延长、交于点，与交于点，设的半径为，那么，，．证明如图18-8，延长至，使得，那么知、、、四点共圆，从而，即知、、、四点共圆．即有．此式与相减得．即点对的幂一点对的幂．同理，．设交于点，那么，知、、、四点共圆，从而，．此两式相加得．推论4如图18-8，是自共轭三角形〔或极点三角形〕的垂心．事实上，由极点公式，有，两式相减得．由定差幂线定理，知．由，两式相减得，由定差幂线定理，知．故知为的垂心．性质8从不在圆上的一点〔异于圆心〕引三条直线依次交圆于、、、、、．直线与点关于圆的板线交于点，直线与直线、分别交于点、，那么、调和分割线段．证明如图18-9，按性质4中的图作出点关于圆的极线．设直线交直线于点〔或交直线于点〕，那么由性质4，知，〔或〕，即知、，、〔或、、、〕为调和点列．当时，即有，亦即、，、为调和点列．当时，可设直线与交于点，那么由推论3，知、、三点共线．注意到、、、(或、、、)为调和点列，此时、，、为调和线束〔或、，、为调和线束〕，由调和线束的性质知、，、为调和点列．推论5同性质8的条件，那么．事实上，由性质4，有．由性质8，即知．由．同理．例1〔1997年CMO试题〕四边形内接于圆，其边与的延长线交于点，与的延长线交于点，过作圆的两条切线，切点分别为、．求证：、、三点共线．证明如图18-10，显然，直线为点关于的极线．又由推论3知，点的极线通过点．故、、三点共线．例2〔2004年罗马尼亚国家队选拔赛题〕设的内切圆与边、、分别切于点、、，直线与交于点，直线与交于点，为的内心，与交于点．求证：．证明如图18-11，考虑的内切圆，因点的极线是，点在直线上，所以，点的极线过点．又点的极线过点，所以，直线即为点的极线．同理，点的极线是直线．从而，与的交点的极线是．即知为极点三角形，故．例3〔1994年IMO35试题〕是一个等腰三角形，．假设(i)是的中点，是直线上的点，使得垂直于；(ii)是线段上不同于和的一个任意点；(iii)在直线上，在直线上，使得、相是不同的三个共线点．求证：垂直于，当且仅当．证明如图18-12，以为圆心，为半径作圆，那么由知切于．又，为中垂线上的点，那么知切于点．设交于点、，参见图18-9(8)，对于内的点，应用推论5，那么有．于是，．例4〔2023年印度国家队选拔赛题〕设的内切圆与切于点，是圆上的点，且为圆的直径，过作圆的切线与交于点，过作圆厂的不同于的切线，切点为．证明：的外接圆与圆切于点．证明由于与不重合，知．不妨设，如图18-13，设圆与、分别切于点、，且设直线与直线交于点，那么是点关于圆的极线上的点，由性质1，知也是点关于圆的极线上的点．又点在点关于圆的极线上，所以，点关于圆的极线为．同理，设直线与交于点，那么关于圆的极线为．由于与为同一条直线，因此，重合于．注意到、、、为调和点列，且，由调和点列的性质，知平分．设、分别与圆交于点，，那么为弧的中点，于是．由，知与的外接圆切于点．从而，的外接圆与圆切于点．例5〔1989年IMO30预选题〕证明：双心四边形〔既有外接圆，又有内切圆的四边形〕的两个圆心与其对角线的交点共线．证明如图18-14，设四边形内接于，外切于，对角线与交于点，且分别与、、、切于点、、、，由牛顿定理，知与也交于点．假设四边形为梯形，那么结论显然成立，三点共线于两底中点的连线．假设四边形不为梯形，那么可设直线与交于点．直线与交于点．于是，直线是点关于的极线．对于来说，直线的极点为，直线的极点为，直线是点关于的极线．因此，由推论4，知，．故、、三点共线．例6〔2023年中国国家队选拔赛题〕设是的边上一点，满足．经过、，并分别与线段、交于点、，与交于点，是的中点．求证：．证法1如图18-15，联结并延长交于点，设直线分别交、直线于点，，那么由推论4知．①又是点关于的极线，那么由性质4，知．注意到、、、共圆，有，从而知直线直线，即有对及截线应用梅涅劳斯定理，有．④将②、③代入④式得．注意到，即知是的中位线．于是．注意到①，故知．证法2如图18-15，同证法1有．①及有．⑤由性质8，知、调和分割，即．⑥由⑤、⑥有，从而有．再注意到①，故知．例7〔《数学通报》2023(2)数学问题1892〕如图18-16，过外一点，作的两条切线、，、为切点，再任意引的两条割线、，与相交于点，与相交于点，与相交于点，交、分别于、两点，交、分别于、两点，交、分别于、两点，交、分别于、两点．求证：(1)、、三点共线；(2)、、三点共线，、、三点共线；(3)、、三点共线，、、三点共线；(4)、、、四点共线．证明(1)参见图18-6(1)，由性质5，即知、、三点共线．(2)设直线与直线交于点，由性质5，知点在点关于的极线上．设直线交点关于的极线于点，交直线于点，那么对过点的三条直线、、应用性质8，知、、、成调和点列；又设直线与直线交于点，那么对过点的三条直线、、应用性质8，知、；、成调和点列．于是，知点、重合于点．故、、三点共线．同理，、、三点共线．(3)设直线交点关于的极线于点，交于点，交于，分别对过点的三条直线、、及、、应用性质8，那么知、、、及、、、均为调和点列．于是，知点、重合于点．故、、三点共线．同理，、、三点共线．(4)设直线交点关于的极线于点，交于点，交于点，对过点的三条直线、、应用性质8，知、、、及、、、分别为调和点列．于是，知、重合于点，即知、、三点共线．同理，、、三点共线．故、、、四点共线．练习十八1．设、、、是一圆上的四点．证明：如果圆在、两点的两条切线的交点在直线上，那么圆在、两点的两条切线的交点在直线上．2．过内一点任作非直径的两弦、．设、两点的两条切线交于点，在、两点处的两条切线交于点．求证：．3．设、是外两点，分别过、作的切线、、、，其中、、、为切点．直线与交于点，直线与交于点，圆心在直线上的射影为．求证：平分．4．设圆分别与四边形的边、、、切于点、、、．直线与圆的另一交点为，且．求证：．5．设四边形内接于，直线与交于点，直线与直线交于点．过点作的平行线交直线于，的中点为．求证：．6．〔2023年中国国家队选