江西省抚州2022年高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数Z=—上,则Z的虚部为（）

Z-1

A.-1B.-iC.1D.i

2.如图，在平行四边形ABC。中，。为对角线的交点，点P为平行四边形外一点，且AP||08,3尸〃。4,则历=

()

一一3一一

A.DA+2DCB.-DA+DC

3——1——

c.2DA+DCD.-DA+-DC

3.已知集合5/={》|-14》<5}”={》|可<2},则Mp|N=()

A.{x|-l<%<2}B.{x|-2<x<5}C.{x|-l<x<5}D.{X|0<X<2}

4.一个正三棱柱的正(主)视图如图，则该正三棱柱的侧面积是()

A.16B.12C.8D.6

5.已知集合A={x[-l<x<2},B={x|x>l},贝!jAU8=

A.(-1,1)B.(1,2)C.(-L+oo)D.(1,+oo)

6.一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40。的方向直线航行，30分钟后到达笈处，在C处有一座

灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70。，在8处观察灯塔，其方向是北偏东65。，那么5,C两点间的距离

是（）

北

东

A.6夜海里B.66海里C.8近海里D.86海里

7.已知直线/：丘一'-3左+1=0与椭圆q：二+二=1(。>/,>0)交于A、B两点,与圆G：(x-3)2+(y-l)2=1

ab

交于。、。两点.若存在使得而=丽，则椭圆G的离心率的取值范围为()

A.悍用B.卓1)C.(0,^]D.停,1)

8.已知直线尸A(x+l)(A>0)与抛物线C：y2=4x相交于A,8两点，尸为C的焦点，若照|=2|f5|,则照|=()

A.1B.2C.3D.4

9.设加，〃是两条不同的直线，。，夕是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若加//〃，mlp,则〃，£；

②若m/1a,m///3,则a〃/?；③若nila,贝！④若加〃a,mL/3,则a_L耳；其中真命题的个

数为()

A.1B.2C.3D.4

10.设｛4｝是等差数列，且公差不为零，其前〃项和为S,,.贝！J“V〃eN*,5.>5“”是“｛4｝为递增数列”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

22

11.设6,工分别为双曲线「-与=1(4>0,6>0)的左、右焦点，过点片作圆/+>2=/的切线，与双曲线的左、

a"

右两支分别交于点P,Q,若|Q6|=|PQI，则双曲线渐近线的斜率为()

A.±1B.±(V3-1)C.±(G+1)D.±45

12.在AA3C中，内角A的平分线交BC边于点。，AB=4,AC=S,BD=2,则的面积是()

A.160B.V15C.3D.8G

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(1+«)"展开式中的系数的和大于8而小于32,则〃=.

14.在平面直角坐标系中，已知圆C:f+(y_l)2=l,圆C:(x+26)2+y2=6.直线/：y=履+3与圆C相切,

且与圆C相交于A，8两点，则弦AB的长为

x-y+2..0,

15.已知实数苍丁满约束条件＜2x+y—5,,0,,则z=-x+3y的最大值为.

y..i,

16.在直角坐标系中，某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为(1,1),(2,2),函数

“X)=Asin(5+同(A＞0,0＜/＜1，时＜的图象经过该三角形的三个顶点，则/(x)的解析式为

/W=------------

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=知-In吧r.

a

(1)若.f(x)在［1,2］上是减函数，求实数”的最大值：

(2)若0＜。＜1,求证：吧.

a

18.(12分)已知三点P,Q,A在抛物线「：丫2=”上.

(I)当点A的坐标为(2,1)时，若直线P。过点T(-2,4),求此时直线AP与直线AQ的斜率之积；

(II)当APLAQ,且IAPRAQI时，求AAPQ面积的最小值.

19.(12分)已知双曲线C:x2-V=i及直线/：),=依+1.

(1)若/与C有两个不同的交点，求实数衣的取值范围；

(2)若/与C交于A,B两点，。是原点，且,.=0,求实数A的值.

20.(12分)秉持“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，为推动新能源汽车产业迅速发展，有必要调查研究

新能源汽车市场的生产与销售.下图是我国某地区2016年至2019年新能源汽车的销量(单位：万台)按季度(一年四

个季度）统计制成的频率分布直方图.

（1）求直方图中“的值，并估计销量的中位数；

（2）请根据频率分布直方图估计新能源汽车平均每个季度的销售量（同一组数据用该组中间值代表），并以此预计

2020年的销售量.

21.（12分）定义:若数列｛《,｝满足所有的项均由构成且其中-1有，〃个，1有P个（加+〃之3）,则称｛叫为“（机〃）

-数列”.

（1）4吗，4（£/〈人）为“（3,4）-数列”｛4｝中的任意三项，则使得％。外=1的取法有多少种？

（2）%%,4为“（机p）-数列”（«„｝中的任意三项，则存在多少正整数（m,p）对使得1Vm〃V100,且

的概率为;.

22.（10分）已知函数/（x）=（x+D（e"-l）.

（I）求/W在点（―1J（一1））处的切线方程；

（II）已知/（x）26在R上恒成立，求。的值.

eh

（HD若方程〃有两个实数根与了2,且王＜/，证明：/一+1+—•

e-1

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

分子分母同乘分母的共物复数即可.

【详解】

2i2i(i+l)_-2+2i

i^T-(i-l)(i+l)--2故z的虚部为-1.

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.

2.D

【解析】

连接0P,根据题目，证明出四边形APOO为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案

【详解】

连接0P,由AP||O6,BPHOA知,四边形AP8O为平行四边形，可得四边形”0。为平行四边形，所以

____1131

DP=DA+DO^DA+-DA+-DC=-DA+-DC.

2222

【点睛】

本题考查向量的线性运算问题，属于基础题

3.A

【解析】

考虑既属于M又属于N的集合，即得.

【详解】

•.-N={x|-2<x<2},.-.MnAT={x|-l<x<2}.

故选：A

【点睛】

本题考查集合的交运算，属于基础题.

4.B

【解析】

根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果.

【详解】

由题可知：该几何体的底面正三角形的边长为2

所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形，

所以该正三棱柱的侧面积为3x2x2=12

故选：B

【点睛】

本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识，关键在于求得底面正三角形的边长，掌握一些常见的几何体的三

视图，比如：三棱锥，圆锥，圆柱等，属基础题.

5.C

【解析】

根据并集的求法直接求出结果.

【详解】

•••A={x|-l<x<2},B={x|>l},

•••AUB=（-1收），

故选C.

【点睛】

考查并集的求法，属于基础题.

6.A

【解析】

先根据给的条件求出三角形ABC的三个内角，再结合A8可求，应用正弦定理即可求解.

【详解】

由题意可知：/34。=70。-40。=30。./4。=110。，.".ZACB=110°-65°=45°,

/.ZABC=180°-30°-45°=105°.又AB=24xO.5=12.

D

ABBC

在AABC中，由正弦定理得

sm45°sin30°

12BC

即近一J,，，BC=6万

22

故选：A.

【点睛】

本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中

档题.

7.A

【解析】

由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到A,8坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率左与A,5坐标的关系，由

此化简并求解出离心率的取值范围.

【详解】

设4（石,凶）,3（马，％），且线/：丘一y-34+1=0过定点（3,1）即为G的圆心，

__[x+/+x力=2x3=6

因为AC=06,所以《'°।

[凹+%=汽+%=2、1=2

又因为杼,+?「柒所以加（才-以=-储国-到

所以上及=一耳.小邃，所以％=_弊«-2,-1],

J

石一工2a-y1+y2a'

所以1e,所以^―二-eH,所以（l—e2）e1,

a|_33」a[_33」|_33J

所以“字乎•

故选：A.

【点睛】

本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而

不求”的目的，大大简化运算.

8.C

【解析】

方法一：设尸（-1,0）,利用抛物线的定义判断出8是AP的中点，结合等腰三角形的性质求得B点的横坐标，根据抛

物线的定义求得I进而求得|E4|.

方法二：设出两点的横坐标5,与，由抛物线的定义，结合|所|=2|尸5|求得的关系式，联立直线

>=攵（》+1）的方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得苫八，进而求得|FA|.

【详解】

方法一：由题意得抛物线y2=4.r的准线方程为/:x=—1,直线y=后。+1）恒过定点尸（-1,0）,过A,3分别作AM±I

于M，BN于N,连接由|E4|=2|必贝！||AM|=2|8N],所以点B为AP的中点，又点。是P尸的

中点，

则J|OB|='|A用，所以|。8|=|6或，XIOF|=1

2

所以由等腰三角形三线合一得点B的横坐标为!，

2

由题意设A6两点横坐标分别为4,/（乙,4>0）,

则由抛物线定义得IFA|=xA+l,\FB\=XB+1

又|E4|=2|FB|,+1=2(XBXA=2XB+1①

"=>k2x2+(2k,2-4)x+k2=0=>-x=1②

y=Z(x+1)fi

由①②得x；-x.-2=0,r.x.=2,|FA|=%+1=3.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.

9.C

【解析】

利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决.

【详解】

如果两条平行线中一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于这个平面知①正确；当直线加

平行于平面a与平面夕的交线时也有相〃2,，〃〃夕，故②错误；若相，。，则加垂直平面

a内以及与平面a平行的所有直线，故③正确；若mHa,则存在直线/ua且m/〃，因

为〃U0,所以/_L£,从而故④正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理，是一道基础题.

10.A

【解析】

根据等差数列的前〃项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

••・｛凡｝是等差数列，且公差△不为零，其前〃项和为S,,

充分性：•••5„+|>S„,则>0对任意的〃eN*恒成立，则«2>0,

•.々。0,若d<0,则数列也,｝为单调递减数列，则必存在keN*,使得当〃*时，4M<0,则5用<£,不合

乎题意；

若d>0,由出>0且数列｛4｝为单调递增数列，则对任意的〃eN*，«„+1>0,合乎题意.

所以，"V〃eN*,5用>5""=>"｛4｝为递增数列”;

必要性：设勺=〃-10,当〃W8时，an+l=n-9<0,此时，Sll+l<Sn,但数列｛a,,｝是递增数列.

所以，"V〃eN*，S“+|>S"”位"{q}为递增数列”.

因此，“V〃eN*，S“+i>S〃”是"{%}为递增数列''的充分而不必要条件.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前〃项和公式是解决本题的关键，属于中等题.

11.C

【解析】

如图所示：切点为连接作轴于N,计算归制=2”，俨用=4即俨时=肛，|£时=网

cc

根据勾股定理计算得到答案.

【详解】

如图所示：切点为M，连接作PNLx轴于N,

\QF\-\QF^=\QF\+\PF\-\QF^=\PF\=2a,故|PR|=4a,

在心中，sinAMFXO=-,故COS/MF；O=2,故已叫=生■，恒叫=翌，

根据勾股定理：+[2c-*],解得2=百+1.

L(c)a

本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

12.B

【解析】

利用正弦定理求出CO,可得出8C,然后利用余弦定理求出cos8,进而求出sin8,然后利用三角形的面积公式可

计算出的面积.

【详解】

•.•AZ）为的角平分线，则NB4O=NC4T>.

\-ZADB+ZADC^7V,则NADC=»—NADB,

sinZADC=sin（不一ZADB）=sinZADB,

,,,_,Ze,ABBD42

在△ABD中，由正弦定理得----------=-----------,即-----------=-----------,①

sinZADBsin/BADsin/ADBsin/BAD

Arrr\2O

在AACD中，由正弦定理得-----------=--——,即-----------=-----------,②

sinZADCsinZADCsinZADCsinZCAD

21

①+②得一=一，解得CD=4,..BC=BD+CD=6,

CD2

r41A共士Im4Hr»+BC^—AC-1,r2Jl5

由余弦定理得cosB=----------------=—,sinB=j—COS~B=----，

2ABBC44

因此，AARD的面积为5AABO=gA8-8DsinB=JB'.

故选：B.

【点睛】

本题考查三角形面积的计算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.4

【解析】

由题意可得项的系数与二项式系数是相等的，利用题意，得出不等式组，求得结果.

【详解】

观察式子可知

•.•8<C：+C：+…&=2"<32,."=4，

故答案为：4.

【点睛】

该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中项的系数和，属于基础题目.

14.V15

【解析】

利用直线与圆相切求出斜率Z,得到直线的方程，几何法求出IA3|

【详解】

解：直线/：y="+3与圆C相切，C圆心为(0,1)

由=1，得攵=6或-石，

当y=-6x+3时，C'到直线的距离*=|>不成立，

当>=氐+3时，/与圆C'相交于A，B两点,C'到直线的距离d=£詈=|,|AB|=2^|=V15

故答案为厉.

【点睛】

考查直线与圆的位置关系，相切和相交问题，属于中档题.

15.8

【解析】

画出可行域和目标函数，根据平移计算得到答案.

【详解】

x—y+2..0,

根据约束条件2x+y-5,,0,,画出可行域，图中阴影部分为可行域.

y--i,

7

又目标函数z=—x+3y,§表示直线X—3y+z=0在)，轴上的截距，

由图可知当x—3y+z=0经过点P(l,3)时截距最大，故2的最大值为8.

故答案为：8.

【点睛】

本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.

16.2sin-x--l

【解析】

结合题意先画出直角坐标系，点出所有可能组成等腰直角三角形的点，采用排除法最终可确定为F点，再由函数性质

进一步求解参数即可

【详解】

等腰直角三角形的第三个顶点可能的位置如下图中的点AB,C,D,E,F,其中点AB,C,。与己有的两个

顶点横坐标重复，舍去；若为点E则点E与点(2,2)的中间位置的点的纵坐标必然大于2或小于-2,不可能为。，1),

因此点E也舍去，只有点F满足题意.此时点(2,2)为最大值点，所以〃x)=2sin(azx+0),又0＜。＜、，贝U

；=会＞1,所以点(覃)，(2,2)之间的图像单调，将(1』,)，(2,2)代入“X)的表达式有

71

Z\]69+0=——\-2K71

sm®+°)=5n6=>

-TC..

sin(2ty+e)=12G+夕=万+22乃(P-...F2&万，k£Z,

71兀

由同〈乙知Q=一三，因此f(x)=2sin—X------

2636

故答案为：2sin^yx-^

【点睛】

本题考查由三角函数图像求解解析式，数形结合思想，属于中档题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)击(2)详见解析

【解析】

(1)/，w=et-—(x＞0),

ax

在［1,2］上，因为是减函数，所以((x)=e'--l4O恒成立，

ax

即恒成立，只需工2(祀,)11m.

aa

令«x)=xe*,xe[l,2],贝!J/'(x)=e*+xe*,因为xe[l,2],所以，(x)〉0.

所以"x)=xe'在［1,2］上是增函数，所以(疣、)皿=2e),

所以*2e2,解得..

所以实数。的最大值为人.

2e

(2)/(x)=ev--(x>0),r(x)=e'--.

aax

令g(尤)=e*---(x>0),则g'(x)=e'+」y,

axax

根据题意知g'(x)>0,所以g(x)在(0,+s)上是增函数.

又因为gdxe^-l〉。，

a

当X从正方向趋近于0时，-1■趋近于+℃,e*趋近于1，所以g(x)=e*-<0,

axax

所以存在x°e(0」)，使g(x(>)=e&-」-=0,

a"

而1

即e"=--,%)=-ln(a¥0)=-lna-lnA；),

这0

所以对任意xe(0,x0),g(x)<0,即/(x)<0,所以〃任在(0,x°)上是减函数;

对任意XG(Xo，+8),g(x)>0,即/'(x)>0,所以/(X)在(x°,+8)上是增函数,

所以当X=X0时，/(幻取得最小值，最小值为/(%).

m1

由于e。=---,-lnx=x+Ina,

ax。()0

则/(*=*_g=J_+A±l^=-L+E+

aaxQaax0a

出吧，当且仅当一，即用=1时取等号,

a以()a

所以当0<。<1时，/(x)2出吧.

a

3

18.(I)——；(D)16.

4

【解析】

(I)设出直线PQ的方程并代入抛物线方程，利用韦达定理以及斜率公式，变形可得;

(H)利用AP_LAQ,IAPR4QI,AP的斜率Z/>0),求得A的坐标，|AP|,再用基本不等式求得IAP|的

最小值，从而可得三角形AP。的面积的最小值.

【详解】

解：(I)设直线PQ的方程为y=%(x+2)+4.

y=左(x+2)+4

联立方程组《得f-4日一8左—16=0,

Y=4y

△=16左？+32后+64>0,故石+4=4左，玉%2=-8%—16.

22

X\___|“2_|

所以上.k=X—1%T=44___=X]+2々+2

AP

wXj-2x2-2%一2X2-244

xlx2+2(xl+X2)+4_3

16~~4

(D)不妨设AAPQ的三个顶点中的两个顶点AQ在)’轴右侧(包括丁轴),

设P(Xi，yJ,Q(X2,y2),A(X3,y3),AP的斜率为左(%>0),

又AP_LAQ,则工32_%2=4%(工3_玉)，x2-x2=――(x-x)①

32k32

因为|AP|=|AQ|,所以X3-9=及(玉一刍)②

2(ki-1)

由①②得，与=八------»(且。1)

%(女+1)

从阿AP|=护71(玉/)=4•一•雪“2k&k+D；@

kk+1

当且仅当k=1时取“=”号，从而=gI"陛16,

所以AAPQ面积的最小值为16.

【点睛】

本题考查了直线与抛物线的综合，属于中档题.

19.(1)(-V2,-l)u(-l.l)u(l,V2)；(2)k=0^k=+—.

2

【解析】

(1)联立直线方程与双曲线方程，消去y,得到关于工的一元二次方程，根据根的判别式，即可求出结论；

4花一引=血，进而建

(2)设A(x，x),8(孙％)，由⑴可得.当关系，再由直线/过点(0,1),可得色以8=

立关于攵的方程，求解即可.

【详解】

(I)双曲线c与直线/有两个不同的交点,

y=辰+1

则方程组22有两个不同的实数根,

x_y_=1

整理得(1—K—2kX—2—0,

-2声0

-A=4公+8(1-炉)〉(/

解得一起＜上＜五且人。士L

双曲线C与直线/有两个不同交点时，

k的取值范围是(一行Ll)u(l,后).

(2)设交点A(%,y),8(w，%)，直线/与y轴交于点。(0/),

-2k

%+欠2=---------2

—Z2

2=匚记

，(X|-/J=(20)一，即1]_+]_记=8，

a

整理得2/-3产=0,解得k=()或二=：

2

.•/=0或左=±停.又：—逝＜左＜也，

.•・左=0或％=±乎时，AAOB的面积为

【点睛】

本题考查直线与双曲线的位置关系、三角形面积计算，要熟练掌握根与系数关系解决相交弦问题，考查计算求解能力,

属于中档题.

20.(1)4=0.1125,中位数为16；(2)新能源汽车平均每个季度的销售量为17万台，以此预计2020年的销售量约

为17万台.

【解析】

(1)根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为1可计算出。的值，利用中位数左边的矩形面积之和为0.5可求得销

量的中位数的值；

(2)利用每个矩形底边的中点值乘以相应矩形的面积，相加可得出销量的平均数，由此可预计2020年的销售量.

【详解】

(1)由于频率分布直方图的所有矩形面积之和为1,

贝U(0.0125+a+0.075+0.025x2)x4=l,解得a=()」125,

由于(0.0125+0.1125)x4=0.5,因此，销量的中位数为16；

(2)由频率分布直方图可知，新能源汽车平均每个季度的销售量为

10x0.05+14x0.45+18x0.3+22x0.1+26x0.1=17(万台)，

由此预测2020年的销售量为17万台.

【点睛】

本题考查利用频率分布直方图求参数、中位数以及平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.

21.(1)16；(2)115.

【解析】

(1)易得使得的情况只有”两种，再根据组合的方法求解两种情况分别的情况数再求和即可.

=g,利用组合数的计算公式

(2)易得“T,T,1”共有C：C，种,“1,1,1”共有C；种.再根据古典概型的方法可知c；C+C

%

可得(p-+>-3疗2)=0,当。="时根据题意有左,Z),左€{2,3,4,…,100}洪99个;

当什3〃-2中+疗-3疗2=°时求得尸包若匹I

，再根据1V加V〃V100,换元根据整除的方法求解满

足的正整数对即可.

【详解】

解：(1)三个数乘积为1有两种情况：”,“1,1,1”,

其中T,-1,1”共有:C；C：=12种，

“1,1,1”共有：优=4种，

利用分类计数原理得：

4吗,%(K/V左)为“(3,4)-数列”{%}中的任意三项,

则使得的取法有：12+4=16种.

(2)与⑴同理,“T,T,1”共有种，

“1,1,1，，共有&种，

而在“(〃p)-数列”中任取三项共有G，种，

c2cl+C3]

根据古典概型有：一L=-,

%+p，

再根据组合数的计算公式能得到：

(p-m)(p2-3p-2mp+苏-3m~2)=0,

\<m<p<100

@p=m时,应满足p>3,

p=m

・・.(mp)=(左㈤/e{2,3,4,…,100},共99个,

②p、3p-2mp+m2-3//r2=0时，

1<m<p<100

应满足,机+〃N3,

p?_3p—2mp+m2-3m-2=0

视为常数，可解得p=(2〃?+3)±J24*,

2

m>1,

/.V2m+1>5,

q*,、(2m+3)+124m+1

根据pN根可知,p=\-----!—L------------,

2

•/m>1,

/.V2m+1>5,

根据〃2m可知,p=(2m+3)；」24m+l,(否贝1J〃4〃河)，

下设左=j2/〃+l,

则由于。为正整数知k必为正整数，

.-.5<A:<49,

化简上式关系式可以知道：■=JU(AT)'+I),

2424

.•M-1M+1均为偶数，

二设女=2f+l,(feN*),

贝!|24f