2022-2023学年广东省肇庆市高一（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年广东省肇庆市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则（∁UA）∩B＝（）A．{4，5} B．{3，4，5，6} C．{3，4，5，6} D．{1，2，4，5，6}2．（5分）命题“∀x∈（﹣，），cosx＞1﹣”的否定是（）A．∀x∉（﹣，），cosx B．∀x∈（﹣，），cosx C．∃x∈（﹣，），cosx D．∃x∈（﹣，），cosx＜1﹣3．（5分）已知函数f（x）＝2sinωx（ω＞0）的最小正周期为2π，则下列说法错误的是（）A．ω＝1 B．函数f（x）充奇函数 C．当x∈[0，2π]时，函数f（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数 D．当x∈[﹣π，π]时，f（x）在上是增函数，在，上是减函数4．（5分）已知a，b是实数，且a+b≠0，则“a+b＞0”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知，，c＝log53，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c6．（5分）已知α是第二象限的角，3sin2α﹣sinαcosα＝2，则cosα的值是（）A． B． C． D．7．（5分）下列函数中，最小值为2的是（）A． B．f（x）＝sin2x+（x≠kπ，k∈Z） C．f（x）＝ex+e﹣x D．8．（5分）已知函数f（x）的定义域是R，函数f（x+1）的图象的对称中心是（﹣1，0），若对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有成立，f（1）＝1，则不等式f（x）﹣x＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数的是（）A．y＝cosx B．y＝﹣x2 C．y＝|x| D．（多选）10．（5分）设实数a，b满足0＜b＜a＜1，则下列不等式中正确的是（）A． B． C．lna＞lnb D．ab＜bb（多选）11．（5分）给出下列四个命题，其中是真命题的为（）A．如果θ是第一或第四象限角，那么cosθ＞0 B．如果cosθ＞0，那么θ是第一或第四象限角 C．终边在x轴上的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z} D．已知扇形OAB的面积为1，周长为4，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为2（多选）12．（5分）已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．a＝1 B．a＝﹣1 C．函数y＝f（x+1）是偶函数 D．关于x的不等式的解集为（0，2）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数的定义域为．14．（5分）已知，，则sinα﹣cosα＝．15．（5分）已知函数y＝f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，，则当x＜0时，f（x）的解析式是．16．（5分）对于函数f（x）和g（x），设α∈{x|f（x）＝0}，β∈{x|g（x）＝0}，若存在α，β，使得|α﹣β|≤1，则称函数f（x）和g（x）互为“零点相邻函数”，若函数f（x）＝ln（x﹣2）+x﹣3与log2x+3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围为．四、解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）计算：（1）；（2）．18．（12分）已知集合A＝{x|0≤log2x≤3}，B＝{x|0＜x＜8}．（1）求A∪B：（2）若集合C＝{x|a≤x≤a+9}，且A⊆C，求实数a的取值范围19．（12分）如图，在平面直角坐标系中，角α和角β的始边与x轴的非负半轴重合，角α的终边与单位圆交于点A，将射线OA绕坐标原点沿顺时针方向旋转后，所得射线与单位圆交于点B，且射线OB是角β的终边．（1）求的值；（2）若点A位于第一象限，且纵坐标为，求tan（π﹣β）的值．20．（12分）某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据如表：时间t79101113种植成本Q1911101119为了描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系，现有以下四种函数模型供选择：①Q（t）＝a•t+b，②Q（t）＝a•t2+b•t+c，③Q（t）＝a•bt，④Q（t）＝a•logbt．（1）选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；（2）在第（1）问的条件下，若函数Q（t）在区间[0，m]上的最大值为110，最小值为10，求实数m的最大值．21．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：xωx+φ0π2πf（x）1﹣1（1）求函数f（x）的解析式；（2）当时，求函数f（x）的最大值及相应的x值；（3）求关于x的不等式f（x）＞2的解集．22．（12分）已知函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x（a为常数，a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当f（x）为偶函数时，若对任意的x∈[﹣2，0），不等式f（2x）﹣mf（x）﹣2≥0恒成立，求实数m的取值范围．

2022-2023学年广东省肇庆市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则（∁UA）∩B＝（）A．{4，5} B．{3，4，5，6} C．{3，4，5，6} D．{1，2，4，5，6}【分析】根据集合的基本运算即可求解．【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，∴∁UA＝{4，5，6}，∵B＝{3，4，5}，∴（∁UA）∩B＝{4，5}．故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）命题“∀x∈（﹣，），cosx＞1﹣”的否定是（）A．∀x∉（﹣，），cosx B．∀x∈（﹣，），cosx C．∃x∈（﹣，），cosx D．∃x∈（﹣，），cosx＜1﹣【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题可得答案．【解答】解：“∀x∈（﹣，），cosx＞1﹣”的否定是：∃x∈（﹣，），cosx．故选：C．【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．3．（5分）已知函数f（x）＝2sinωx（ω＞0）的最小正周期为2π，则下列说法错误的是（）A．ω＝1 B．函数f（x）充奇函数 C．当x∈[0，2π]时，函数f（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数 D．当x∈[﹣π，π]时，f（x）在上是增函数，在，上是减函数【分析】由周期公式判断A；根据定义判断B；根据正弦函数的单调性判断CD．【解答】解：由题意，可得＝2π，故ω＝1，故A正确．f（x）＝2sinx，定义域为R，f（﹣x）＝2sin（﹣x）＝﹣2sinx＝﹣f（x），即函数f（x）是奇函数，故B正确．当x∈[0，2π]时，由正弦函数的单调性可知，函数f（x）＝2sinx在[0，]和[，2π]上单调递增，在[，上单调递减，故C错误．当x∈[﹣π，π]时，由正弦函数的单调性可知，函数f（x）＝2sinx在[﹣π，﹣]和[，π]上单调递减，在[﹣，]上单调递增，故D正确．故选：C．【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于基础题．4．（5分）已知a，b是实数，且a+b≠0，则“a+b＞0”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，利用充分条件和必要条件的定义进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：当a＝2，b＝﹣1时，满足a+b＞0，但不满足，故充分性不成立；而等价于，可得a≥0，b≥0，因为a+b≠0，所以a，b不同时为0，所以能得到a+b＞0，故必要性成立．所以“a+b＞0”是“”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的定义与判断，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．5．（5分）已知，，c＝log53，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c【分析】利用对数函数的单调性来比较大小即可．【解答】解：函数y＝logax（a＞1）在（0，+∞）上单调递增，，，，∴a＜c＜b．故选：B．【点评】本题主要考查了对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．6．（5分）已知α是第二象限的角，3sin2α﹣sinαcosα＝2，则cosα的值是（）A． B． C． D．【分析】先将条件等式变形为分子分母为关于sinα，cosα的二次齐次式，然后同除cos2α即可得关于tanα的方程，求出tanα，进而可得α，则cosα可求．【解答】解：∵α是第二象限的角，∴tanα＜0，cosα≠0，∴，∴解得tanα＝﹣1，∴，∴．故选：A．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．7．（5分）下列函数中，最小值为2的是（）A． B．f（x）＝sin2x+（x≠kπ，k∈Z） C．f（x）＝ex+e﹣x D．【分析】利用基本不等式以及等号的成立条件逐一判断即可．【解答】解：对于A：当x＝﹣1时，f（﹣1）＝﹣2，A错误；对于B：，当且仅当，即sin2x＝2时等号成立，故等号不能成立，故B错误；对于C：，当且仅当ex＝e﹣x，即x＝0时等号成立，C正确；对于D：当x＞1时，，当且仅当，即x＝2时等号成立，D错误．故选：C．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）的定义域是R，函数f（x+1）的图象的对称中心是（﹣1，0），若对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有成立，f（1）＝1，则不等式f（x）﹣x＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）【分析】利用函数f（x+1）的图象的对称中心是（﹣1，0）可得f（x）是R上的奇函数，由可得，故可得在（0，+∞）上单调递增，然后分x＝0，x＞0和x＜0三种情况进行求范围即可．【解答】解：因为f（x+1）是f（x）向左平移1个单位长度得到，且函数f（x+1）的图象的对称中心是（﹣1，0），所以f（x）的图象的对称中心是（0，0），故f（x）是R上的奇函数，所以f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有成立，所以，令，所以根据单调性的定义可得g（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（x）是R上的奇函数可得g（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数所以g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，当x＝0时，不等式f（x）﹣x＞0得到0﹣0＞0，矛盾；当x＞0时，f（x）﹣x＞0转化成即g（x）＞g（1），所以x＞1；当x＜0时，f（x）﹣x＞0转化成，g（x）＜g（﹣1），所以﹣1＜x＜0，综上所述，不等式f（x）﹣x＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）．故选：D．【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查转化能力，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数的是（）A．y＝cosx B．y＝﹣x2 C．y＝|x| D．【分析】直接根据函数的性质，逐一分析答案，即可得出答案．【解答】解：对于A：y＝cosx是偶函数，但在（0，+∞）上不是单调函数，故A错误；对于B：y＝﹣x2是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，故B正确；对于C：y＝|x|是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，故C错误；对于D：是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，故D正确．故选：BD．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．（多选）10．（5分）设实数a，b满足0＜b＜a＜1，则下列不等式中正确的是（）A． B． C．lna＞lnb D．ab＜bb【分析】由题意，利用指数函数、对数函数的单调性，不等式的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：对于A：，∵0＜b＜a＜1，∴b﹣a＜0，1﹣ab＞0，ab＞0，，即，故A错误．对于B：函数在R上的单调递减，又0＜b＜a＜1，∴，故B正确．对于C：函数y＝lnx在（0，+∞）上的单调递增，又0＜b＜a＜1，故lnb＜lna，故C正确．对于D：函数y＝xb，b＞0在（0，+∞）上的单调递增，又0＜b＜a＜1，∴ab＞bb，故D错误．故选：BC．【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性，不等式的性质，属于基础题．（多选）11．（5分）给出下列四个命题，其中是真命题的为（）A．如果θ是第一或第四象限角，那么cosθ＞0 B．如果cosθ＞0，那么θ是第一或第四象限角 C．终边在x轴上的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z} D．已知扇形OAB的面积为1，周长为4，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为2【分析】对于A，利用三角函数的定义即可判断；对于B，举反例即可；对于C，直接写出对应角的集合；对于D，利用扇形的面积和弧长公式即可．【解答】解：对于A，若θ是第一或第四象限角，根据三角函数的定义可得cosθ＞0，故正确；对于B，若θ＝0，则cosθ＝1＞0，但此时θ不是第一或第四象限角，故错误；对于C，终边在x轴上的角的集合为{α|α＝kπ，k∈Z}，故错误；对于D，设扇形的圆心角的弧度数为β，半径为r，则，解得，故正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了任意角三角函数的定义，考查了扇形的面积和弧长公式，属于基础题．（多选）12．（5分）已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．a＝1 B．a＝﹣1 C．函数y＝f（x+1）是偶函数 D．关于x的不等式的解集为（0，2）【分析】根据函数图象可得函数图象的对称轴，进而求得参数a的值，判断A，B；根据图象的平移结合偶函数的性质可判断C；分段解不等式可得不等式的解集，判断D．【解答】解：由函数图像可知x＝1为函数f（x）的对称轴，即函数满足f（2﹣x）＝f（x），则当x＞1时，则2﹣x＜1，故22﹣x﹣a＝2a﹣x，∴2﹣x﹣a＝a﹣x，则a＝1，同理当x＜1时，则2﹣x＞1，故2a﹣2+x＝2x﹣a，∴a﹣2+x＝x﹣a，则a＝1，综合可知a＝1，A正确；B错误．将的图象向左平移1个单位，即得函数y＝f（x+1），x∈R的图象，则y＝f（x+1）的图象关于y轴对称，故y＝f（x+1）为偶函数，C正确；当x≥1时，f（x）＝21﹣x，令，解得x＜2，故1≤x＜2；当x＜1时，f（x）＝2x﹣1，令，解得x＞0，故0＜x＜1，综合可得0＜x＜2，即不等式的解集为（0，2），D正确．故选：ACD．【点评】本题考查函数的图象与图象的变换，着重考查数形结合的思想方法，结合函数图像的特征，利用相应的定义去分析是解答的关键，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数的定义域为[﹣3，2）．【分析】直接根据对数的真数大于零及被开方数不小于零列不等式求解．【解答】解：由已知得，解得﹣3≤x＜2，即函数的定义域为[﹣3，2）．故答案为：[﹣3，2）．【点评】本题主要考查了求函数的定义域，属于基础题．14．（5分）已知，，则sinα﹣cosα＝．【分析】先通过角的范围确定sinα﹣cosα的符号，然后通过计算（sinα﹣cosα）2可得答案．【解答】解：∵，∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα﹣cosα＞0，又，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．15．（5分）已知函数y＝f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，，则当x＜0时，f（x）的解析式是．【分析】利用奇函数的定义计算即可得答案．【解答】解：函数y＝f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，，当x＜0时，﹣x＞0，所以．故答案为：．【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查运算求解能力，属于基础题．16．（5分）对于函数f（x）和g（x），设α∈{x|f（x）＝0}，β∈{x|g（x）＝0}，若存在α，β，使得|α﹣β|≤1，则称函数f（x）和g（x）互为“零点相邻函数”，若函数f（x）＝ln（x﹣2）+x﹣3与log2x+3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围为．【分析】首先求出函数f（x）的零点，从而得α＝3，结合新定义可得|3﹣β|≤1，则2≤β≤4，从而可知方程log2x+3＝0在区间[2，4]上存在实数根，通过分离参数并化简整理得，结合函数的单调性求出值域，从而确定实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）＝ln（x﹣2）+x﹣3是（2，+∞）上的单调递增函数，且f（3）＝0，据此可知α＝3，结合“零点相邻函数”的定义可得|3﹣β|≤1，则2≤β≤4，据此可知函数log2x+3在区间[2，4]上存在零点，即方程log2x+3＝0在区间[2，4]上存在实数根，整理可得：，令t＝log2x，1≤x≤2，则，根据对勾函数的性质，函数在区间上单调递减，在上单调递增，又，，则，据此可知实数a的取值范围是．故答案为：．【点评】本题主要考查函数与方程的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）计算：（1）；（2）．【分析】（1）直接计算指数幂即可；（2）利用对数的运算性质计算即可．【解答】解：（1）；（2）．【点评】本题主要考查了指数幂及对数的运算性质，属于基础题．18．（12分）已知集合A＝{x|0≤log2x≤3}，B＝{x|0＜x＜8}．（1）求A∪B：（2）若集合C＝{x|a≤x≤a+9}，且A⊆C，求实数a的取值范围【分析】（1）先求出集合A中元素范围，然后直接求A∪B即可；（2）直接根据集合间的包含关系列不等式计算即可．【解答】解：（1）∵A＝{x|0≤log2x≤3}＝{x|1≤x≤8}，又B＝{x|0＜x＜8}，∴A∪B＝{x|0＜x≤8}；（2）∵A＝{x|1≤x≤8}，C＝{x|a≤x≤a+9}，A⊆C，∴，解得﹣1≤a≤1，即实数a的取值范围是[﹣1，1]．【点评】本题主要考查集合的并集，集合的包含关系，考查运算求解能力，属于基础题．19．（12分）如图，在平面直角坐标系中，角α和角β的始边与x轴的非负半轴重合，角α的终边与单位圆交于点A，将射线OA绕坐标原点沿顺时针方向旋转后，所得射线与单位圆交于点B，且射线OB是角β的终边．（1）求的值；（2）若点A位于第一象限，且纵坐标为，求tan（π﹣β）的值．【分析】（1）利用α，β的关系及诱导公式计算即可；（2）先通过三角函数的定义得sinα，cosα的值，然后利用α，β的关系及诱导公式计算即可．【解答】解：（1）由题意知，，∴．（2）若点A位于第一象限，且纵坐标为，则，∴．【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握诱导公式，同角三角函数的基本关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20．（12分）某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据如表：时间t79101113种植成本Q1911101119为了描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系，现有以下四种函数模型供选择：①Q（t）＝a•t+b，②Q（t）＝a•t2+b•t+c，③Q（t）＝a•bt，④Q（t）＝a•logbt．（1）选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；（2）在第（1）问的条件下，若函数Q（t）在区间[0，m]上的最大值为110，最小值为10，求实数m的最大值．【分析】（1）由表中数据可知，Q（t）先单调递减后单调递增，故选择满足题意的二次函数，然后利用待定系数法即可求解；（2）通过二次函数的性质即可求出实数m的最大值【解答】解：（1）由表中数据可知，Q（t）先单调递减后单调递增，因为Q（t）＝a•t+b，Q（t）＝a•bt，Q（t）＝a•logbt都是单调函数，所以不符合题意，因为Q（t）＝a•t2+b•t+c可先单调递减后单调递增，故符合题意，由表格数据可得，解得，所以Q（t）＝t2﹣20t+110，经检验其他几组数据也满足表达式；（2）由（1）知Q（t）＝（t﹣10）2+10，故其对称轴为t＝10，且开口向上，Q（0）＝（0﹣10）2+10＝110，Q（20）＝（20﹣10）2+10＝110，Q（10）＝（10﹣10）2+10＝10，所以10≤m≤20，所以实数m的最大值为20．【点评】本题考查函数的实际应用，函数建模，属中档题．21．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：xωx+φ0π2πf（x）1﹣1（1）求函数f（x）的解析式；（2）当时，求函数f（x）的最大值及相应的x值；（3）求关于x的不等式f（x）＞2的解集．【分析】（1）根据表中数据列方程组求解即可；（2）通过x的范围求出的范围，然后利用正弦函数的性质求最值；（3）利用正弦函数的图像和性质来解不等式即可．【解答】解：（1）由表可得，解得，∴；（2）当时，，∴，∴当或，即或时，函数f（x）取最大值3；（3）关于x的不等式f（x）＞2，即，∴，∴，∴，∴关于x的不等式f（x）＞2的解集为．【点评】本题主要考查三角函数解析式的确定，正弦函数的图象与性质，不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档