2024届江苏省淮安市田家炳中学高一数学第二学期期末统考试题含解析

2024届江苏省淮安市田家炳中学高一数学第二学期期末统考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，在矩形中，，,点为的中点，点在边上，点在边上，且，则的最大值是()A． B． C． D．2．将函数y=sin2x的图象向右平移A．在区间[-πB．在区间[5πC．在区间[-πD．在区间[π3．己知ΔABC中，角A,B,C所对的边分別是a,b,c.若A=45°,B=30°,a=2，则bA．3-1 B．1 C．2 D．4．已知一个几何体是由半径为2的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）.若该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为（）A． B． C． D．5．“是第二象限角”是“是钝角”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要6．已知平面向量，满足，，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．7．在中，角、、所对的边分别为、、，若，则是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形8．已知向量，且，则().A． B．C． D．9．某同学用收集到的6组数据对（xi，yi）（i＝1，2，3，4，5，6）制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并由最小二乘法计算得到回归直线l的方程：x，相关指数为r．现给出以下3个结论：①r>0；②直线l恰好过点D；③1；其中正确的结论是A．①② B．①③C．②③ D．①②③10．已知向量，，，且，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．方程组的增广矩阵是________.12．已知向量，，且，点在圆上，则等于．13．设，向量，，若，则__________．14．在边长为2的正△ABC所在平面内，以A为圆心，为半径画弧，分别交AB，AC于D，E.若在△ABC内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE内的概率是________．15．在等比数列中，，，则________.16．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表所示（单位：人）.参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230若从该班随机选l名同学，则该同学至少参加上述一个社团的概率为__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，它的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的值域.18．在等差数列{an}中，2a9＝a12+13，a3＝7，其前n项和为Sn．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和Tn，并证明Tn＜．19．如图，三棱柱中，，D为AB上一点，且平面.（1）求证：；（2）若四边形是矩形，且平面平面ABC，直线与平面ABC所成角的正切值等于2，，，求三楼柱的体积.20．已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）若函数在的最大值为2，求实数的值.21．研究正弦函数的性质（1）写出其单调增区间的表达式（2）利用五点法，画出的大致图像（3）用反证法证明的最小正周期是

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

把线段最值问题转化为函数问题，建立函数表达式，从而求得最值.【题目详解】设，，，，，，，，，，的最大值是.故选A.【题目点拨】本题主要考查函数的实际应用，建立合适的函数关系式是解决此题的关键，意在考查学生的分析能力及数学建模能力.2、A【解题分析】

函数y=sin2x的图象向右平移y=sin2kπ-π单调递减区间：2kπ+π2≤2x-π3【题目详解】本题考查了正弦型函数图象的平移变换以及求正弦型函数的单调区间.3、B【解题分析】

由正弦定理可得．【题目详解】∵asinA=故选B．【题目点拨】本题考查正弦定理，解题时直接应用正弦定理可解题，本题属于基础题．4、C【解题分析】由三视图可知，三棱锥的体积为5、B【解题分析】

由α是钝角可得α是第二象限角，反之不成立，则答案可求．【题目详解】若α是钝角，则α是第二象限角；反之，若α是第二象限角，α不一定是钝角，如α＝﹣210°．∴“α是第二象限角”是“α是钝角”的必要非充分条件．故选B．【题目点拨】本题考查钝角、象限角的概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题．6、C【解题分析】

根据列方程，结合向量数量积的运算以及特殊角的三角函数值，求得与的夹角.【题目详解】由于，故，所以，所以，故选C.【题目点拨】本小题主要考查两个向量垂直的表示，考查向量数量积运算，考查特殊角的三角函数值，考查两个向量夹角的求法，属于基础题.7、B【解题分析】

利用正弦定理得到答案.【题目详解】故答案为B【题目点拨】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.8、D【解题分析】

运用平面向量的加法的几何意义，结合等式，把其中的向量都转化为以为起点的向量的形式，即可求出的表示.【题目详解】,,故本题选D.【题目点拨】本题考查了平面向量加法的几何意义，属于基础题.9、A【解题分析】由图可知这些点分布在一条斜率大于零的直线附近，所以为正相关，即相关系数因为所以回归直线的方程必过点，即直线恰好过点；因为直线斜率接近于AD斜率，而，所以③错误，综上正确结论是①②，选A.10、C【解题分析】

由可得,代入求解可得,则,进而利用诱导公式求解即可【题目详解】由可得,即,所以,因为,所以,则,故选:C【题目点拨】本题考查垂直向量的应用,考查里利用诱导公式求三角函数值二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵.【题目详解】由题意，方程组的增广矩阵为其系数以及常数项构成的矩阵，故方程组的增广矩阵是.故答案为：【题目点拨】本题考查了二元一次方程组与增广矩阵的关系，需理解增广矩阵的涵义，属于基础题.12、【解题分析】试题分析：因为且在圆上，所以，解得，所以．考点：向量运算．【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．13、【解题分析】从题设可得，即，应填答案．14、【解题分析】

由三角形ABC的边长为2不难求出三角形ABC的面积，又由扇形的半径为，也可以求出扇形的面积，代入几何概型的计算公式即可求出答案．【题目详解】由题意知，在△ABC中，BC边上的高AO正好为，∴圆与边CB相切，如图．S扇形＝×××＝，S△ABC＝×2×2×＝，∴P＝＝.【题目点拨】本题考查面积型几何概型概率的求法，属基础题.15、【解题分析】

根据等比数列中，，得到公比，再写出和，从而得到.【题目详解】因为为等比数列，，，所以，所以，，所以.故答案为：.【题目点拨】本题考查等比数列通项公式中的基本量计算，属于简单题.16、【解题分析】

直接利用公式得到答案.【题目详解】至少参加上述一个社团的人数为15故答案为【题目点拨】本题考查了概率的计算，属于简单题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解题分析】试题分析：（1）依题意，则，将点的坐标代入函数的解析式可得，故，函数解析式为.（2）由题意可得，结合三角函数的性质可得函数的值域为.试题解析：（1）依题意，，故.将点的坐标代入函数的解析式可得，则，，故，故函数解析式为.（2）当时，，则，，所以函数的值域为.点睛：求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间[a，b]上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式．第二步：由x的取值范围确定ωx＋φ的取值范围，再确定sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的取值范围．第三步：求出所求函数的值域(或最值)．18、（1）（2）见解析【解题分析】

（1）等差数列{an}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）运用等差数列的求和公式，求得（），再由数列的裂项相消求和可得Tn，再由不等式的性质即可得证．【题目详解】（1）等差数列{an}的公差设为d，2a9＝a12+13，a3＝7，可得2（a1+8d）＝a1+11d+13，a1+2d＝7，解得a1＝3，d＝2，则an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（2）Snn（3+2n+1）＝n（n+2），（），前n项和Tn（1）（1）（）．【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19、（1）见详解；（2）【解题分析】

（1）连接交于点，连接，利用线面平行的性质定理可得，从而可得为的中点，进而可证出（2）利用面面垂直的性质定理可得平面，从而可得三棱柱为直三棱柱，在中，根据等腰三角形的性质可得，进而可得棱柱的高为，利用柱体的体积公式即可求解.【题目详解】（1）连接交于点，连接，如图：由平面，且平面平面,所以，由为的中点，所以为的中点，又，（2）由四边形是矩形，且平面平面ABC，所以平面，即三棱柱为直三棱柱，在中，，，，所以，因为直线与平面ABC所成角的正切值等于2，在中，，所以..【题目点拨】本题考查了线面平行的性质定理、面面垂直的性质定理，同时考查了线面角以及柱体的体积公式，属于基础题.20、(1)；(2)或【解题分析】

（1）根据二倍角公式进行整理化简可得，从而可得最小正周期；（2）将通过换元的方式变为，；讨论对称轴的具体位置，分别求解最大值，从而建立方程求得的值.【题目详解】（1）最小正周期（2）令，则由得①当，即时当时，由，解得（舍去)②当，即时当时，由得，解得或（舍去）③当，即时当时，，由，解得综上，或【题目点拨】本题考查正弦型函数最小正周期的求解、利用二次函数性质求解与三角函数有关的值域问题，解题关键是通过换元的方式将所求函数转化为二次函数的形式，再利用对称轴的位置进行讨论；易错点是忽略了换元后自变量的取值范围.21、（1）