上海市封浜高中2024届高一数学第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

上海市封浜高中2024届高一数学第二学期期末学业质量监测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数在区间上恒成立，则实数的最小值是（）A． B． C． D．2．已知等差数列中，,则（）A． B．C． D．3．抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件，则的对立事件是（）A．至多抽到2件次品 B．至多抽到2件正品C．至少抽到2件正品 D．至多抽到一件次品4．若实数x,y满足x2y2A．4，8 B．8，+5．已知向量，则与的夹角为（）A． B． C． D．6．过点且与圆相切的直线方程为（）A． B．或C．或 D．或7．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，按学段用分层抽样的方法抽取该地区的学生进行调查，则样本容量和抽取的初中生中近视人数分别为（）A．， B．， C．， D．，8．设是公比为的无穷等比数列，若的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列是（）A．公比为的等比数列B．公比为的等比数列C．公比为或的等比数列D．公比为或的等比数列9．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或 B．或 C．或 D．或10．已知函数，则（）A．2 B．-2 C．1 D．-1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数那么的值为．12．5人排成一行合影，甲和乙不相邻的排法有______种．（用数字回答）13．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是______14．若存在实数使得关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是____.15．已知一组数据、、、、、，那么这组数据的平均数为__________.16．化简sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列的前项和，函数对任意的都有，数列满足.（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足，是数列的前项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在请求出的取值范围；若不存在请说明理由．18．如图，在中，点在边上，为的平分线，．（1）求；（2）若,,求．19．已知圆与圆：关于直线对称．（1）求圆的标准方程；（2）已知点，若与直线垂直的直线与圆交于不同两点、，且是钝角，求直线在轴上的截距的取值范围．20．已知圆关于直线对称，半径为，且圆心在第一象限．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）若直线与圆相交于不同两点、，且，求实数的值．21．两地相距千米，汽车从地匀速行驶到地，速度不超过千米小时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分两部分组成：可变部分与速度的平方成正比，比例系数为，固定部分为元，(1)把全程运输成本(元)表示为速度(千米小时)的函效:并求出当时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小；(2)随着汽车的折旧，运输成本会发生一些变化，那么当，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小，

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形为正弦型函数，进一步利用恒成立问题的应用求出结果.【题目详解】函数,由因为，所以，即，当时，函数的最大值为，由于在区间上恒成立，故，实数的最小值是.故选：D【题目点拨】本题考查了两角和的余弦公式、辅助角公式以及三角函数的最值，需熟记公式与三角函数的性质，同时考查了不等式恒成立问题，属于基出题2、C【解题分析】

,.故选C.3、D【解题分析】

由对立事件的概念可知，直接写出其对立事件即可.【题目详解】“至少抽到2件次品”的对立事件为“至多抽到1件次品”，故选D【题目点拨】本题主要考查对立事件的概念，熟记对立事件的概念即可求解，属于基础题型.4、A【解题分析】

利用基本不等式得x2y2【题目详解】∵x2y2≤(x2+y2)24∴x2故选A．【题目点拨】本题考查基本不等式求最值问题，解题关键是掌握基本不等式的变形应用：ab≤(a+b)5、D【解题分析】

先求出的模长，然后由可求出答案.【题目详解】由题意，，，所以与的夹角为.故选D.【题目点拨】本题考查了两个向量的夹角的求法，考查了向量的模长的计算，属于基础题.6、C【解题分析】

分别考虑斜率存在和不存在两种情况得到答案.【题目详解】如图所示：当斜率不存在时：当斜率存在时：设故答案选C【题目点拨】本题考查了圆的切线问题，忽略掉斜率不存在是容易发生的错误.7、A【解题分析】

根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论。【题目详解】由图1得样本容量为，抽取的初中生人数为人，则初中生近视人数为人，故选．【题目点拨】本题主要考查分层抽样的应用。8、B【解题分析】

根据题意可得，带入等比数列前和即可解决。【题目详解】根据题意，若的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则，又由是公比为的无穷等比数列，则，变形可得，则，数列为的奇数项组成的数列，则数列为公比为的等比数列；故选：B．【题目点拨】本题主要考查了利用等比数列前项和计算公比，属于基础题。9、C【解题分析】

由题意可知：点在反射光线上．设反射光线所在的直线方程为：，利用直线与圆的相切的性质即可得出．【题目详解】由题意可知：点在反射光线上．设反射光线所在的直线方程为：，即．由相切的性质可得：，化为：，解得或．故选．【题目点拨】本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10、B【解题分析】

根据分段函数的表达式，直接代入即可得到结论．【题目详解】由分段函数的表达式可知，则，故选：．【题目点拨】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式求解是解决本题的关键，属于容易题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】试题分析：因为函数所以==．考点：本题主要考查分段函数的概念，计算三角函数值．点评：基础题，理解分段函数的概念，代入计算．12、72【解题分析】

先对其中3个人进行全排列有种，再对甲和乙进行插空有种，利用乘法原理得到排法总数为.【题目详解】先对其中3个人进行全排列有种，再对甲和乙进行插空有种，利用乘法原理得到排法总数为种，故答案为72【题目点拨】本题考查排列、组合计数原理的应用，考查基本运算能力.13、【解题分析】试题分析：∵从7人中选2人共有C72=21种选法，从4个男生中选2人共有C42=6种选法∴没有女生的概率是=，∴至少有1名女生当选的概率1-=．考点：本题主要考查古典概型及其概率计算公式．点评：在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．14、【解题分析】

先求得的取值范围，将题目所给不等式转化为含的绝对值不等式，对分成三种情况，结合绝对值不等式的解法和不等式恒成立的思想，求得的取值范围.【题目详解】由于，故可化简得恒成立.当时，显然成立.当时，可得，，可得且，可得，即，解得.当时，可得，可得且，可得，即，解得.综上所述，的取值范围是.【题目点拨】本小题主要考查三角函数的值域，考查含有绝对值不等式恒成立问题，考查存在性问题的求解策略，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.15、【解题分析】

利用平均数公式可求得结果.【题目详解】由题意可知，数据、、、、、的平均数为.故答案为：.【题目点拨】本题考查平均数的计算，考查平均数公式的应用，考查计算能力，属于基础题.16、1【解题分析】原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝cos2β(sin2α＋cos2α)＋sin2β＝1.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)，;(2).【解题分析】分析：（1）利用的关系，求解；倒序相加求。（2）先用错位相减求，分离参数，使得对于一切的恒成立，转化为求的最值。详解：（1）时满足上式，故∵=1∴∵①∴②∴①+②，得.（2）∵，∴∴①，②①－②得即要使得不等式恒成立，恒成立对于一切的恒成立，即，令，则当且仅当时等号成立，故所以为所求.点睛：1、，一定要注意，当时要验证是否满足数列。2、等比乘等差结构的数列用错位相减。3、数列中的恒成立问题与函数中的恒成立问题解法一致。18、(1)(2)【解题分析】

（1）令，正弦定理，得，代入面积公式计算得到答案.（2）由题意得到，化简得到，，再利用面积公式得到答案.【题目详解】(1)因为的平分线，令在中，，由正弦定理，得所以.(2)因为，所以，又由,得，，因为，所以所以.【题目点拨】本题考查了面积的计算，意在考查学生灵活利用正余弦定理和面积公式解决问题的能力.19、（1）；（2）【解题分析】

（1）根据两圆对称，直径一样，只需圆心对称即可得圆C的标准方程；（2）设直线l的方程为y＝﹣x+m与圆C联立方程组，利用韦达定理，设而不求的思想即可求解b范围，即截距的取值范围．【题目详解】（1）圆的圆心坐标为，半径为2设圆的圆心坐标为，由题意可知解得：由对称性质可得，圆的半径为2，所以圆的标准方程为：（2）设直线的方程为，联立得：，设直线与圆的交点，，由，得，（1）因为为钝角，所以，且直线不过点即满足，且又，，所以（2）由（1）式（2）式可得，满足，即，因为，所以直线在轴上的截距的取值范围是【题目点拨】本题考查直线与圆的位置关系，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）由题得和，解方程即得圆的方程；（Ⅱ）取的中点，则，化简得，即得m的值.【题目详解】（Ⅰ）由，得圆的圆心为，圆关于直线对称，①．圆的半径为，②又圆心在第一象限，，，由①②解得，，故圆的方程为．（Ⅱ）取的中点，则，，，即，又，解得．【题目点拨】本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系和向量的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21、（1），当汽车以的速度行驶，能使得全称运输成本最小；（2）.【解题分析】

（1）计算出汽车的行驶时间为小时，可得出全程运输成本为，其中，代入，