人教版三年级数学上册单元易错真题汇编 专题10 数学广角-集合（知识讲练）教师版

人教版数学三年级上册易错题专题易错知识汇总+百分练知识点01：容斥原理1.解决重叠问题，可以从条件入手进行分析，画出示意图，借助示意图进行思考。为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分，也可以先用其中一部分减去重叠部分，再加上另一部分。2.在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．

一般方法：

在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．

容斥原理1：两量重叠问题

A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数

用符号可表示成：A∪B=A+B-A∩B（其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．

容斥原理2：三量重叠问题

A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．

用符号表示为：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C

解决重叠问题时，一定要减去重复的部分。一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）1．（2分）（2015春•红河县校级期末）学校开设两个兴趣小组，三（1）27人参加书画小组，24人参加棋艺小组，两个小组都参加的有3人，那么三（1）一共有（）人参加了书画和棋艺小组．A．51 B．54 C．48【思路点拨】三（1）27人参加书画小组，24人参加棋艺小组，则两个小组共有27+24人，又两个小组都参加的有3人，根据容斥原理可知，那么三（1）一共有27+24﹣3人人参加了书画和棋艺小组．【规范解答】解：27+24﹣3＝51﹣3，＝48（人）．答：那么三（1）一共有48人参加了书画和棋艺小组．故选：C．【考点评析】本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．2．（2分）（2010秋•临澧县期末）三（1）班有17人参加数学兴趣小组，13人参加英语兴趣小组，两个兴趣小组都参加了的有5人，三（1）班共有（）人参加了这两个兴趣小组．A．35 B．25 C．30【思路点拨】根据题意，两个兴趣小组都参加了的5人在17人和13人里面重复数了2次，所以将参加数学小组的人数加上参加英语小组的人数再减去5人，列式解答即可得到答案．【规范解答】解：17+13﹣5，＝30﹣5，＝25（人）．答：三（1）班共有25人人参加了这两个兴趣小组．故选：B．【考点评析】解决本题的关键是将两个兴趣小组都参加了的有5人重复相加了，再减去重复的5人即可．3．（2分）雅乐学校五年级一班有32人参加数学竞赛，有27人参加英语竞赛，有22人参加语文竞赛，其中参加了数学和英语两科的有12人，参加了语文和英语的有14人，参加了数学和语文两科的有10人，那么五年级一班至少有多少人（）A．45 B．47 C．55 D．57【思路点拨】22位学生参加语文，既参加英语又参加语文14人，既参加数学又参加语文的有10人，”由此可得三门课程都参加的有14+10﹣22＝2人，那么只参加英语和数学有12﹣2＝10人；只参加英语和语文14﹣2＝12人；只参加数学和语文的有10﹣2＝8人，由此可以画图分析，从参加数学32人，参加语文的22人，参加英语的27人的总人数中，减去重复部分的同时参加两门或三门的人数即可得出这个班的总人数．【规范解答】解：（32+22+27）﹣（10+8+12）﹣2×2，＝81﹣30﹣4，＝47（人），答：这个班至少有47人．故选：B．【考点评析】此题考查了利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，关键是根据“参加语文的人数”和“既参加英语又参加语文，既参加数学又参加语文的人数”得出同时参加3门课程的人数是2人，从而画图分析，使计算过程简洁明了．4．（2分）（2009春•湖里区校级期末）学校开设两个兴趣小组，三（1）班50人都报名参加了活动，其中27人参加书画小组，32人参加棋艺小组，两个小组都参加的有（）A．7人 B．8人 C．9人 D．10人【思路点拨】因为50人都报名参加了活动，包括三部分的人数：只参加书画小组的，只参加棋艺小组的，两个小组都参加的；又因为27人和32人都包含两个小组都参加的人数；所以根据容斥原理列式为：27+32﹣50＝9（人）；据此解答．【规范解答】解：27+32﹣50＝9（人）；答：两个小组都参加的有9人．故选：C．【考点评析】本题考查了容斥原理，关键是理解50人包括三部分的人数，知识点是：总人数＝（A+B）﹣既A又B；既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）．5．（2分）吃饭前，两只手放在桌上的小朋友有5个，只把左手放在桌上的小朋友有6个，只把一只手放在桌上的小朋友有7个，每个人至少有一只手放在桌上，你说吃饭的小朋友有几个？（）A．18 B．12【思路点拨】只把左手放在桌上的小朋友有6个和只把一只手放在桌上的7个小朋友是重复条件，因此只考虑一只手的有7个小朋友，两只手放在桌上的小朋友有5个，即：7+5＝12个．【规范解答】解：7+5＝12；答：你说吃饭的小朋友有12个．故选：B．【考点评析】此题考查了容斥原理．只把左手放在桌上的小朋友和只把一只手放在桌上的小朋友是重复条件，选其中较大的数．二．填空题（共9小题，满分19分）6．（2分）（2023春•庆云县期末）学校组织50个学生到敬老院义务劳动，其中擦玻璃的有23人，收拾房间的有25人，这两样活都干的有8人，剩下的人扫院子，扫院子的有10人。【思路点拨】当两部分有重复时，从和中减去重复的部分，就是原来的总数。因此，擦玻璃的人数+收拾房间的人数﹣这两样活都干的人数＝擦玻璃、收拾房间的总人数，到敬老院的人数﹣擦玻璃、收拾房间的总人数＝扫院子的人数，依此列式并计算。【规范解答】解：23+25﹣8＝48﹣8＝40（人）50﹣40＝10（人）答：扫院子的有10人。故答案为：10。【考点评析】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。7．（2分）（2023春•揭东区期末）三（1）班有35人订了《语文报》，有18人订了《数学报》，其中9人既订了《语文报》又订了《数学报》。三（1）班一共有44人订了报纸。【思路点拨】三（1）班订报纸的总人数＝订《语文报》的人数+订《数学报》的人数﹣既订了《语文报》又订了《数学报》的人数。【规范解答】解：35+18﹣9＝53﹣9＝44（人）答：三（1）班一共有44人订了报纸。故答案为：44。【考点评析】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。8．（3分）（2023春•上虞区期末）如图，参加体育小组的有6人，参加科技小组的有5人，两个小组一共有9人．【思路点拨】数一数可知参加体育小组的有6人，参加科技小组的有5人，求两个小组一共的人数，把三部分的人数相加即可。【规范解答】解：参加体育小组的有6人，参加科技小组的有5人，两个小组一共有：4+2+3＝9（人）答：参加体育小组的有6人，参加科技小组的有5人，两个小组一共有9人。故答案为：6、5、9。【考点评析】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。9．（2分）（2023春•德州期末）四年级1班学生一共45人，订阅《数学报》的有28人，订阅《英语报》的有26人，每人至少订阅其中一种，两种报纸都订的有9人。【思路点拨】根据容斥原理可知，订阅《数学报》的人数+订阅《英语报》的人数﹣总人数＝两种报纸都订的人数。【规范解答】解：28+26﹣45＝54﹣45＝9（人）答：两种报纸都订的有9人。故答案为：9。【考点评析】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。10．（2分）（2020•桑珠孜区）某班有46人参加考试，其中语文有42人及格，数学有41人及格，都不及格的有2人，都及格的有39人。【思路点拨】两科都不及格的有2人，所以语文和数学至少有一科及格的人数为：46﹣2＝44（人），“语文有42人及格，数学有41人及格”，一共有42+41＝83（人），比44人多出的人数就是语文数学都及格的人数。【规范解答】解：42+41﹣（46﹣2）＝83﹣44＝39（人）答：都及格的有39人。故答案为：39。【考点评析】此题考查了利用容斥原理解答问题的灵活应用，利用画图分析可使解题思路更明确。11．（2分）（2023春•港北区期末）五（3）班学生参加学校三月三活动，30人参加歌舞表演，20人参加花样跳绳比赛，其中有5人既参加歌舞表演又参加花样跳绳。五（3）班学生共有45人，列算式是：30+20﹣5＝45（人）。【思路点拨】参加歌舞表演的人数+参加花样跳绳比赛的人数﹣既参加歌舞表演又参加花样跳绳的人数＝总人数。【规范解答】解：30+20﹣5＝50﹣5＝45（人）五（3）班学生共有45人，列算式是：30+20﹣5＝45（人）。故答案为：45，30+20﹣5＝45（人）。【考点评析】此题主要考查了两集合容斥原理的应用，要熟练掌握。12．（2分）（2023春•怀安县期末）五（3）班共有60人，在这些人中参加科技小组和书法小组的人数情况是：有51人参加科技小组，有45人参加书法小组，还有6人既不参加科技小组也不参加书法小组。那么既参加科技小组又参加书法小组的有42人。【思路点拨】参加科技小组的人数+参加书法小组的人数﹣既参加科技小组又参加书法小组的人数＝总人数﹣既不参加种技小组也不参加书法小组的人数，也就是51+45﹣未知数＝60﹣6，那么未知数＝51+45﹣60+6，据此计算。【规范解答】解：51+45﹣60+6＝96﹣60+6＝42（人）答：既参加科技小组又参加书法小组的有42人。故答案为：42。【考点评析】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。13．（2分）（2023春•顺义区期末）课后服务时间，四（3）班有34人参加绘画社团，31人参加篮球社团，25人既参加绘画社团又参加篮球社团。四（3）班一共有40人参加绘画、篮球这两个社团。【思路点拨】将参加两个社团的人数相加，再减去既参加绘画社团又参加篮球社团的人数，即可求出四（3）班一共有多少人参加绘画、篮球这两个社团。【规范解答】解：34+31﹣25＝65﹣25＝40（人）答：四（3）班一共有40人参加绘画、篮球这两个社团。故答案为：40。【考点评析】本题考查容斥原理的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。14．（2分）（2023春•嘉禾县期末）三（1）班有40人参加了两种兴趣班，其中科技班有24人参加，绘画班有22人参加，两种兴趣班都参加的有6人。【思路点拨】参加科技班的人数+参加绘画班的人数﹣总人数＝两种兴趣班都参加的人数。【规范解答】解：24+22﹣40＝46﹣40＝6（人）答：两种兴趣班都参加的有6人。【考点评析】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。三．判断题（共4小题，满分8分，每小题2分）15．（2分）（2017秋•江岸区期末）同学们到动物园游玩，参观熊猫馆的有10人，参观大象馆的有8人，两个馆都参观的有3人，参观动物园的同学一共有15人。√（判断对错）【思路点拨】用参观熊猫馆的人数加上参观大象馆的人数，再减去两个馆都参观的人数，求参观动物园的总人数，与15人比较即可得出结论。【规范解答】解：10+8﹣3＝15（人）所以原题说法正确。故答案为：√。【考点评析】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，也可借助图形解决问题。16．（2分）参加语文课外小组的有8人，参加数学课外小组的有9人，其中有3人两样都参加，参加课外小组的一共有14人．√（判断对错）【思路点拨】根据容斥原理公式，参加课外小组人数＝参加语文小组的人数+参加数学小组的人数﹣两个小组都参加的人数，据此判断。【规范解答】解：8+9﹣3＝17﹣3＝1414＝14所以，原题说法正确。故答案为：√。【考点评析】本题主要考查了容斥原理，需要学生熟练掌握容斥原理公式。17．（2分）（2017秋•巴东县期末）同学们到动物园游玩，参观熊猫馆的10人，参观大象馆的8人，两个馆都参观的是3人，去动物园的一共有18人．×（判断对错）【思路点拨】由题意，用10+8就是只参观熊猫馆、只参观大象馆以及两个馆都参观的人数和，再减去重复计算的两个馆都参观的人数，即得去动物园的总人数．【规范解答】解：10+8﹣3＝18﹣3＝15（人）即去动物园的一共有15人，所以原题说法错误．故答案为：×．【考点评析】解答此题注意10+8把两个馆都参观的人数多算了一次，所以要减去．18．（2分）（2018春•卢龙县期末）三年级一共有31人参加了舞蹈组或美术组，其中参加舞蹈组的有19人，参加美术组的有24人，两个小组都参加的有12人．√（判断对错）【思路点拨】根据“参加舞蹈组的有19人，参加美术组的有24人．”可得两者的总人数：19+24＝43人，这其中把两种兴趣小组都参加的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得两种兴趣小组都参加的人数是：43﹣31＝12（人），据此解答即可．【规范解答】解：19+24﹣31＝43﹣31＝12（人）即两个小组都参加的有12人，所以原题说法正确．故答案为：√．【考点评析】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）．四．应用题（共5小题，满分25分，每小题5分）19．（5分）（2023春•昌乐县期末）六一汇演时，在舞蹈和合唱两个项目中四一班共有35人参加。其中有7人只参加了舞蹈演出，有8人只参加了合唱演出。参加舞蹈演出的一共有多少人？【思路点拨】根据题意，用参加两项演出的人数减去只参加合唱演出的人数，计算参加舞蹈演出人数即可。【规范解答】解：35﹣8＝27（人）答：参加舞蹈演出27人。【考点评析】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用。20．（5分）（2023春•邹平市期末）四（1）班参加文艺小组的有16人，参加科技小组的有25人，两项都参加的有8人，这个班参加课外小组的学生一共有多少人？【思路点拨】根据题意可知，参加文艺小组的人数+参加科技小组的人数﹣两项都参加的人数＝参加课外小组的总人数，依此列式并计算即可。【规范解答】解：16+25﹣8＝41﹣8＝33（人）答：这个班参加课外小组的学生一共有33人。【考点评析】当两部分有重复时，从和中减去重复的部分，就是原来的总数。21．（5分）（2022春•定州市期末）五（1）班组织“垃圾分类宣讲”活动，要求每个同学必须带饮料或适量水果。活动时发现，38人带了饮料，35人带了水果，15人饮料和水果都带了。五（1）班参加“垃圾分类宣讲活动”的一共有多少人？【思路点拨】由题意可知，总人数＝带了饮料的人数+带了水果的人数﹣饮料和水果都带的人数，即可求出五（1）班参加“垃圾分类宣讲活动”的一共有多少人。【规范解答】解：38+35﹣15＝73﹣15＝58（人）答：五（1）班参加“垃圾分类宣讲活动”的一共有58人。【考点评析】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用。22．（5分）（2020秋•相城区期末）有50个同学参加文化节演出，每人至少参加大合唱和集体舞中的一项。其中有32人表演大合唱，26人表演集体舞，两项都参加的有几人？（画图表示题目意思）【思路点拨】根据“其中有32人表演大合唱，26人表演集体舞，”可得：只参加大合唱的人数是：50﹣26＝24（人），只参加集体舞的人数是：50﹣32＝18（人），两项都参加的有：32﹣24＝8（人），据此解答即可。【规范解答】解：50﹣26＝24（人）50﹣32＝18（人）32﹣24＝8（人）答：两项都参加的有8人。【考点评析】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）.23．（5分）（2018秋•长阳县期末）三（5）班45名同学参加数学活动，答对第一题的有23人，答对第二题的有18人，两道题都答对的有17人，两道题都没答对的有几人？【思路点拨】根据题干可知至少答对一题的总人数是18+23﹣17＝24人，由此利用总人数﹣至少答对一题的人数＝两题都不对的人数．【规范解答】解：45﹣（18+23﹣17）＝45﹣24＝21（人）答：两道题都没答对的有21人．【考点评析】两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．五．解答题（共7小题，满分39分）24．（5分）（2020秋•卢龙县期末）三（1）班同学每人至少订一种刊物，订《学语文》的有37人，订《红树林》的有29人，两种刊物都订的有15人。（1）把上面的图填写完整。（2）三（1）班一共有多少人？【思路点拨】（1）用订《学语文》的人数减去两种刊物都订的人数就是只订《学语文》的人数；同理，订《红树林》的人数减去两种刊物都订的人数就是只订《红树林》的人数。（2）把图中三部分的人数相加，就是三（1）班一共有多少人。【规范解答】解：（1）37﹣15＝22（人）29﹣15＝14（人）（2）22+15+14＝37+14＝51（人）答：三（1）班一共有51人。【考点评析】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。25．（6分）（2018秋•太谷县期末）在一次课外图书阅读调查中：三（5）班学生喜欢读故事书的35人，喜欢读科技书的18人，其中9人两类书都喜欢读，（1）在图中括号内填上适当的数．（2）三（5）班共有多少人？【思路点拨】其中9人两类书都喜欢读，那么用35减去9就是只喜欢读故事书的人数；同理，用18减去9就是只喜欢读科技书的人，据此再把这三部分相加就是三（5）班的总人数．【规范解答】解：（1）35﹣9＝26（人）18﹣9＝9（人）（2）26+9+9＝44（人）答：三（5）班共有44人．【考点评析】本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．26．（6分）（2021秋•川汇区期末）三年级兴趣小组报名啦！三（1）班合唱：小立、小田、小冬、小华绘画：小方、小于、小文三（2）班合唱：小王、小丁、小平、小米绘画：小同，小平、小林（1）填一填。（2）算一算：三（3）班参加合唱小组的有5人，参加绘画小组的有6人，两个小组都参加的有3人，只参加一个兴趣小组的有几人？【思路点拨】（1）参加合唱小组的，有三（1）、三（2）两个班的，参加绘画小组的三（1）、三（2）班两个班的。两个兴趣小组都参加的只有小平。（2）要求只参加一个兴趣小组的人数，两个兴趣小组的总人数减去重复参加的。【规范解答】（1）（2）5+6﹣3＝11﹣3＝8（人）答：只参加一个兴趣小组的有8人。【考点评析】明确几个量中的重复数量是解决本题的关键。27．（5分）（2023•石家庄）四、五年级参加植树的共有多少人？​【思路点拨】先求出五年级的人数，五年级人数相当于（1+）的四年级人数。再加四年级人数就等于四五年级的总人数。【规范解答】解：80×（1+）+80＝80×+80＝180（人）答：四、五年级参加植树的共有180人。【考点评析】准确找到单位“1”的量是解决本题的关键。28．（6分）（2021春•合山市期末）六一儿童节，学校举行游园活动，五（1）班有25人参加遮眼摸鼻活动，还有30人参加投圈活动，其中有15人是两项都参加。观察下图，完成填空。（1）图中字母C表示的是两项都参加的人数。（2）五（1）班参加两项活动共40人。【思路点拨】（1）根据图示可得：图中字母C表示的是两项都参加的人数。（2）参加遮眼摸鼻活动的人数加参加投圈活动的人数，再减两项都参加的人数即可求解。【规范解答】解：（1）图中字母C表示的是两项都参加的人数。（2）25+30﹣15＝55﹣15＝40（人）答：五（1