平行四边形单元测试题试题

平行四边形单元测试题试题

一、选择题

1.如图，中，AB=8C=4,NA=60。，连接60,将BCD绕点、B旋转,当

BD（即6。'）与AD交于一点E，BC（即8C）与CO交于一点尸时，给出以下结

论：①AE=D/；②NB£E=60°；③ZDEB=ZDFB：④。石尸的周长的最小值是

4+2省.其中正确的是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

2.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD±,Z\AEF是等边三角形连接AC交EF

于G,下列结论：①BE=DF,②/DAF=15°,③AC_LEF,④BE+DF=EF,⑤EC=FG；其中

正确结论有（）个

3.已知在直角梯形ABCD中，AD〃BC,/BCD=90°,BC=CD=2AD,E、F分别是BC、CD

边的中点，连结BF、DE交于点P,连结CP并延长交AB于点Q,连结AF,则下列结论不

正确的是（）

A.CP平分NBCDB.四边形ABED为平行四边形

C.CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分D.Z\ABF为等腰三角形

4.如图，正方形ABCD的周长是16,P是对角线AC上的个动点，E是CD的中点，则

PE+PD的最小值为（）

5.如图，在菱形ABCD中，A/B=2，瓦/分别是AB,BC的中点，将CDF沿着DF

折叠得到ADFC,若C恰好落在EF上，则菱形的面积为()

6.如图，在aABC中，NABC和/ACB的角平分线相交于点0.过点。作EF〃BC交AB于

E.交AC于F.过点。作ODLAC于D.下列五个结论：其中正确的有()

(1)EF=BE+CF；(2)ZBOC=90°+—ZA；(3)点。到aABC各边的距离都相等；

2

(4)设。D=m.若AE十AF=n,则ScAEF=mn；(5)SAAEF=SAFOC.

BC

A.2个B.3个C.4个D.5个

7.如图，在aABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点，PE_LAB于E,PF_LAC于

F,M为EF中点，则AM的最小值为()

叠后，点C落在4。边上的G处，并且点6落在比边上的区处.则欧的长为()

ClD

C.2D.26

9.如图，在等腰中，NC=90°,AC=S,F是AB边上的中点，点。、E分别

在AC、BC边上运动，且保持AZ）=CE.连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，下

列结论：

①是等腰直角三角形：②四边形CDFE不可能为正方形，

③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；

⑤△CDE面积的最大值为8.其中正确的结论是（）

A.①②③B.①④⑤C.①③④D.③④⑤

10.如图所示，四边形A8C。是边长为1的正方形，£为8c边的中点，沿AP折叠使。点

落在AE上的点H处，连接PH并延长交8c于点F,则EF的长为（）

C.3A/5-3D.-

4

二、填空题

11.如图，正方形ABCD中，AB=4,E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则

PE+PB的最小值为.

12.如图，AABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E,KED//AB,

EFIIAC，得到四边形£ZM/，它的周长记作G；取BE中点片,作EQJ/FB,

E、F、IIEF,得到四边形巴。尸耳，它的周长记作照此规律作下去，则

13.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AB=0B,点E,F分别是

0A,0D的中点，连接EF,EMJ_BC于点M,EM交BD于点N,若/CEF=45°,FN=5,

则线段BC的长为.

3

14.已知在矩形A5C0中，AB=—,BC=3,点P在直线8C上，点。在直线CO上，且

2

AP，PQ,当AP=P。时，AP=.

15.如图，在矩形A8C。中，AD=^AB,NBA。的平分线交BC于点E,DHPE于点

H,连接并延长交8于点F,连接DE交BF于点。，下列结论：①/AED=/CED；

②OE=OD；（3）BH=HF；④BC-CF=2HE；⑤AB=NF,其中正确的有.

16.如图正方形ABCD中，E是BC边的中点，将AABE沿AE对折至4AFE,延长EF交CD于

G,接CF,AG.下列结论：①AE〃FC;②NE4G=45°,±LBE+DG=EG；③

S〉CEF~77S正方形ABCD；④AD=3DG，止确是-------（填序号）.

y

17.如图，在平行四边形ABCD中，AC1AB,AC与BD相交于点。，在同一平面内将4ABC

沿AC翻折，得到^ABe若四边形ABCD的面积为24cm2,则翻折后重叠部分（即SAACE）

的面积为cm2.

B'

D

18.如图，在ABC中，。是AB上任意一点，E是BC的中点，过C作CF7/AB,交DE的

延长线于F,连BF,CD,若03=30。，NABC=45°,BC=2夜，则

DF=.

19.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=10,点E在CD上，将△8CE沿8E折叠，点

C恰落在边AD上的点F处，点G在AF上，将AASG沿BG折叠，点A恰落在线段8F上的

3

点H处,有下列结论：①/EBG=45°；②SAABG=：SMGH;（3）ADEF^AABG;

④AG+DF=FG.其中正确的是.（把所有正确结论的序号都选上）

20.如图，在必8CD中，对角线AC、BD相交于点。，AB=0B,E为AC上一点，8E平分

ZABO,EFJ_BC于点F,NCAD=45。，EF交BD于点P,8P=石，则8c的长为.

D

E

B

三、解答题

21.如图，在mAABC中，NBAC=90°，。是BC的中点，E是AO的中点，过点A

作AFUBC交BE的延长线于点F

（1）求证：四边形ADCE是菱形

（2）若AC=4,AB=5,求菱形AOCF的面积

22.在矩形ABCD中，AE_LBD于点E,点P是边AD上一点，PF_LBD于点F,PA=PF.

（1）试判断四边形AGFP的形状，并说明理由.

（2）若AB=1,BC=2,求四边形AGFP的周长.

23.在矩形A8CD中，将矩形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E,这时折

痕与边8c或者边CO（含端点）交于点F（如图1和图2）,然后展开铺平，连接8E,

EF.

（1）操作发现：

①在矩形A8CD中，任意折叠所得的ABEF是一个三角形；

②当折痕经过点A时，BE与AE的数量关系为.

（2）深入探究：

在矩形A8CD中，AB=j3,8c=2百.

①当ABEF是等边三角形时，求出8F的长；

②ABEF的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF的长；若不存在，请说明理由.

图1图2

24.如图，在长方形ABCD中，AB=8,AD=6.动点尸、。分别从点。、A同时出发

向点C、B运动，点P的运动速度为每秒2个单位，点。的运动速度为每秒1个单位，当

点P运动到点C时，两个点都停止运动，设运动的时间为f(s).

(1)请用含f的式子表示线段PC、BQ的长，则PC=,BQ=.

(2)在运动过程中，若存在某时刻使得ABPQ是等腰三角形，求相应t的值.

25.感知：如图①，在正方形A6CO中，E是AB一点，F是AO延长线上一点，且

DF=BE，求证：CE=CF；

拓展：在图①中，若G在A£>，且NGCE=45°,则GE=3E+GO成立吗？为什么？

运用：如图②在四边形438中，AD//BC(BOAD),ZA=ZB=90°,

AB=BC=16,E是A3上一点，且NT>CE=45°,BE=4,求OE的长.

图①图②

26.如图1,在正方形A8CD(正方形四边相等，四个角均为直角)中，AB=8,P为线段

8c上一点，连接AP,过点B作BQL4P,交CD于点Q,将△BQC沿8Q所在的直线对折得

至iJZ^Qa,延长QU交AD于点M

(1)求证：BP=CQ-,

(2)若BP=LpC,求AN的长；

3

(3)如图2,延长QN交8A的延长线于点M,若BP=x(0<x<8),△8/WC，的面积为

S,求S与x之间的函数关系式.

27.定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫

做这个损矩形的直径。

(1)如图1,损矩形ABCD,NABC=NADC=90°,则该损矩形的直径是线段AC,同时我

们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点，在公共边的同侧的两个角是相等的。

如图1中：^ABC和4ABD有公共边AB,在AB同侧有NADB和NACB,此时/ADB=

ZACB；再比如△ABC和4BCD有公共边BC,在CB同侧有NBAC和NBDC,此时/BAC=

ZBDC»请再找一对这样的角来=

(2)如图2,aABC中，ZABC=90°,以AC为一边向形外作菱形ACEF,D为菱形ACEF

的中心，连结BD,当BD平分/ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明

理由。

(3)在第(2)题的条件下，若此时AB=3,BD=4及，求BC的长。

28.如图，在平行四边形ABCD中，AD=30,CD=10,F是BC的中点，P以每秒1个单位长

度的速度从A向D运动，到D点后停止运动；Q沿着AfCf。路径以每秒3个

单位长度的速度运动，到D点后停止运动.已知动点P,Q同时出发，当其中一点停止

后，另一点也停止运动.设运动时间为t秒，问：

(1)经过几秒，以A,Q,F,P为顶点的四边形是平行四边形

(2)经过几秒，以A,Q,F,P为顶点的四边形的面积是平行四边形ABCD面积的一

半？

29.如图①，在等腰RfABC中，ZBAC=90，点E在AC上(且不与点4C重合

),在A5C的外部作等腰RrCED,使NCE£>=90，连接A。，分别以AB,A。为邻

边作平行四边形A8FD,连接AF.

(1)请直接写出线段AF,AE的数量关系；

(2)①将CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段8c上时，如图②，连接AE,请判断

线段AF,AE的数量关系，并证明你的结论；

②若AB=2逐，CE=2,在图②的基础上将CE。绕点C继续逆时针旋转一周的过

程中，当平行四边形A8F。为菱形时，直接写出线段AE的长度.

F图③

30.如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG如图放置，连接AG,AE.

(1)求证：AG=AE

(2)过点F作"》_LAE1于P，交AB、AD于/W、N,交AE、AG于P、Q,交8c于

H,.求证：NH=FM

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.B

解析：B

【解析】

【分析】

根据题意可证△△BDF,可判断①②③，由△DEF的周长=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF,

则当EF最小时AOEF的周长最小，根据垂线段最短，可得BE_LA。时，8E最小，即EF最

小，即可求此时A8DE周长最小值.

【详解】

解：'：AB=BC=CD=AD=4,ZA=ZC=60°

:.△ABD,△BCD为等边三角形，

，ZA=ZBDC^60°,

•.•将△BCD绕点8旋转到△BCD,位置，

AZABD'=ZDBC,且A8=8D,ZA=ZDBC,

：./XABEm/XBFD,

：.AE=DF,BE=BF,NAEB=/BFD,

：.ZBED+ZBFD=180°,

故①正确，③错误；

VZABD=60°,NABE=NDBF,

：.NEBF=60°,

故②正确

ADEF的周长=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF,

.,.当EF最小时，•.,△£»£下的周长最小.

VZEBF=60°,BE=BF,

.••△8EF是等边三角形，

：.EF=BE,

.•.当BE_LAD时,BE长度最小，即EF长度最小,

\'AB=4,NA=60°,BEYAD,

：.EB=2y/3>

：./\DEF的周长最小值为4+2百，

故④正确，

综上所述：①②④说法正确，

故选：B.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，最短路径问题，关键是

灵活运用这些性质解决问题.

2.B

解析：B

【分析】

根据已知条件易证△ABE^^ADF,根据全等三角形的性质即可判定①②；由正方形的性质

就可以得出EC=FC,就可以得出AC垂直平分EF,即可判定③；设EC=FC=x,由勾股定理和

三角函数计算后即可判定④⑤.

【详解】

•••四边形ABCD是正方形，

AB=BC=CD=AD,ZB=ZBCD=ZD=ZBAD=90°.

•••△AEF等边三角形，

AE=EF=AF,ZEAF=60°.

ZBAE+ZDAF=30°.

在RtAABE和RtAADF中，

AE=AF

AB=AD'

RtAABE\RtAADF（HL）,

BE=DF（故①正确）.

ZBAE=ZDAF,

ZDAF+ZDAF=30°,

即NDAF=15"（故②正确）,

1.'BC=CD,

BC-BE=CD-DF,即CE=CF,

•••AE=AF,

・•.AC垂直平分EF.（故③正确）.

设EC=FC=x,由勾股定理，得：

EF=瓜,CG=FG=-x,

2

.♦.ECWFG（⑤错误）

在RtAAEG中，

AG=AEsin60°=EFsin60°=2xCGsin600=—x,

2

“岳x+0x

2

.D6x+x

AB=-------,

2

八„x/3x+x4?>x-x

：.BE=---------x=--------,

22

:.BE+DF=Cx-x手瓜,(故④错误)，

综上所述，正确的结论为①②③，共3个，

故选B.

【点睛】

本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等

边三角形的性质的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题的关键.

3.C

解析：c

【解析】

【分析】

A.根据边角边"证明△8CF四△DCE,然后利用"角边角"证明△8EP四△DFP,再利用"边角边"

证明△BCPgADCP全等,根据全等三角形对应角相等可得NBCP"DCP-

B.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABED为平行四边形；

C.连接QD,利用“边角边"证明△8CQ和△DCQ全等，根据全等三角形的面积相等判断出

SA8ra=SiDCQ,判断出CQ将直角梯形ABCD分成的两部分面积不相等.

D.根据平行四边形的对边相等可得A8=DE,再求出AB=8F,从而得到△ABF为等腰三角

形；

【详解】

解：：BC=C。，E、F分别是BC、CD边的中点，

：.BE=CE=CF=DF,

在^SCFDCE中，

|BC=DC

ICE=CF，

：./\BCF^/\DCE(SAS),

:.DE=BF,ZCBF=ZCDE,/BFC=/DEC,

：.1800-ZBFC=180°-ZDEC,

&PZBEP=ZDFP,

在^BEPDFP中，

乙CBF=^CDE

BE=DF

、乙BEP=4DFP

:.△BEPmdDFP(ASA),

BP=DP,

在^BCP^11ADCP中，

IBP=DP

\ACBF=Z.CDE

IBC=CD'

.♦.△BCP忠ADCP(SAS),

:./BCP=NDCP,

；.CP平分N8CD,故4选项结论正确；

•：BC=2AD,E是BC的中点，

：.BE^AD,

又,：ADHBC,

，四边形ABED为平行四边形，故8选项结论正确;

：.AB=DE,

又＜DE=BF(已证)，

：.AE=BF,

•••△ABF为等腰三角形，故。选项结论正确；

在4BCQ和4DCQ中,

IBC=CD

\ABCP=Z.DCP

ICQ=CQ，

.,.△BCQ^ADCQ(SAS),

••S^BCQ=S^DCQr

：.CQ将直角梯形ABC。分成的两部分面积不相等，故C选项结论不正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查了直角梯形，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形

的判定，熟记各图形的判定方法和性质并准确识图是解题的关键，难点在于多次证明三角

形全等.

4.A

解析：A

【解析】

【分析】

由于点B与D关于AC对称，所以连接BE,与AC的交点即为P点.此时PE+PD=BE最

小，而BE是直角4CBE的斜边，利用勾股定理即可得出结果.

【详解】

解：如图，连接BE,设BE与AC交于点P,

•••四边形ABCD是正方形，

.•.点B与D关于AC对称，

P'D=P'B,

P'D+P'E=P,B+P,E=BE最小.

即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，即为BE的长度.

，直角4CBE中，ZBCE=90°,BC=4,CE=-CD=2,

2

BE=yj42+22=2A/5-

故选：A.

【点睛】

本题题考查了轴对称中的最短路线问题，要灵活运用正方形的性质、对称性是解决此类问

题的重要方法，找出P点位置是解题的关键

5.B

解析：B

【分析】

连接AC、BD,设交于点。，延长DA、FE,设交于点G,如图所示，先根据菱形的性质和

平行线的性质得出/G=NBF£,ZGAB=ZABF,进而可根据AAS证明△AEG丝△BEF,可得

GE=EF,AG=BF,由此可求出。G的长，然后根据折叠的性质和平行线的性质可得

NADF心FE,于是可得GF=GD,则GF可得，再根据三角形的中位线定理和等量代换可得

AC的长，进而可得A。的长，然后根据勾股定理可求出。。的长，即得BD的长，再根据菱

形的面积求解即可.

【详解】

解：连接AC、BD,设交于点。，延长任，设交于点G,如图所示，

•.•四边形ABCO是菱形，

：.AD//BC,ACLBD,BO=DO,AO=C。，

；.NG=NBFE,ZGAB=ZABF,

分别是AB,BC的中点，菱形的边长为2,

AE=BE,BF=CF=1,EF=-AC,

2

.二△AEG四△BEF(AAS),

；.GE=EF,AG=BF=1,

'：AD=2,：.DG=3,

•••将CD/沿着DF折叠得到若C'恰好落在EF上,

ZCFD=ZDFE,

'：AD//BC,：.ZADF=ZDFC,

：.NADF=/DFE,

：.GF=GD=3,

VEF=-AC,EF=-GF,

22

：.AC=FG=3,

1/3

.,A0=—AC=—,

22

在RtAAO。中，由勾股定理得：DO=ylAD2-AO2=^22-[

;.BD=V7，

菱形A5CD的面积=

222

故选：B.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的面积、三角形的

中位线定理以及勾股定理等知识，属于常考题型，具有一定的难度，正确作出辅助线、熟

练掌握上述知识是解题的关键.

6.B

解析：B

【分析】

由在AA8C中，NA8C和NAC3的平分线相交于点0,根据角平分线的定义与三角形内

角和定理，即可求得②/8。。=90°+,/4正确；由平行线的性质和角平分线的定义得

2

出ABEO和△CEO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线定理与三角

形面积的求解方法，即可求得③设0。=〃?，AE+AF^n,则加〃，故③错

误；E、尸不可能是三角形48c的中点，则族不能为中位线故④正确.

【详解】

解：在A48c中，NA8C和44CB的平分线相交于点。，

ZOBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB,zS4+ZABC+ZACB=180°,

22

NOBC+NOCB=90°--ZA,

2

ZBOC=180°-（ZOBC+ZOCB）=90°+-ZA；故（2）正确；

2

在418c中，NABC和NACB的平分线相交于点O,

:.ZOBC=ZOBE,/OCB=/OCF,

EFIIBC，

:"OBC=NEOB,ZOCB=ZFOC,

ZEOB=Z.OBE,ZFOC=ZOCF,

：.BE=OE,CFOF,

EF=OE+OF=BE+CF,

故（1）正确；

过点。作于M，作ONJ.BC于N,连接。4,

在AABC中，NABC和NACB的平分线相交于点O,

:.ON=OD=OM=m,

=S^OE+S^OF=1AEfOM+^AFOD=^OmAE+AF）=^nm.故（3）正确,

（4）错误；

S/iEOB=_BEOM,SA0CF=—FCOD,

OM=OD,破不一定等于CF,

•\SAEOB不一定等于Sf”.故（5）错误，

综上可知其中正确的结论是（1）（2）（3）,

故选：B.

【点睛】

此题考查了三角形中位线定理的运用，以及平行线的性质、等腰三角形的判定与性质.此

题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用.

7.C

解析：C

【分析】

首先证明四边形AEPF为矩形，可得AM=^AP,最后利用垂线段最短确定AP的位置，利

2

用面积相等求出AP的长，即可得AM.

【详解】

在AABC中，因为AB2+AC2=BC2,

所以AABC为直角三角形，NA=90。，

又因为PE_LAB,PF_LAC,

故四边形AEPF为矩形，

因为M为EF中点，

所以M也是AP中点，即AM=^AP,

2

故当AP_LBC时，AP有最小值，此时AM最小，

由SMe=gxA5xAC=gx5CxAP,可得AP=U,

16,,

AM=—AP=-=1.2

25

故本题正确答案为C.

【点睛】

本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP1BC时AM最小是解题关键.

8.B

解析：B

【解析】

试题分析：由三角函数易得BE,AE长，根据翻折和对边平行可得AAEG和ACEG为等边三

角形，那么就得到EC长，相加即可.

解：连接CCi.

在Rt^ABE中,NBAE=3(T,AB=G，

，BE=ABxtan30°=l,AE=2,/AEBi=/AE8=60°,

•.•四边形ABC。是矩形

：.AD//BC,

/C3E=N4EB=60°,

△AEQ为等边二角形，

同理△CCiE也为等边三角形，

：.EC=ECi=AE=2,

BC=BE+EC=3,

故选B.

9.B

解析：B

【分析】

①连接CF,证明△ADFgZXCEF,得到^EDF是等腰直角三角形；

②根据中点的性质和直角三角形的性质得到四边形CDFE是菱形，利用正方形的判定定理

进行判断；

③当DE最小时，DF也最小，利用垂线段的性质求出DF的最小值，进行计算即可；

④根据AADF丝ACEF,得到S四好CEFD=SAAFC;

⑤由③的结论进行计算即可.

【详解】

①连接CF,

•••△ABC是等腰直角三角形，且F是AB边上的中点,

.,.ZFCB=ZA=ZB=45",CF=AF=FB,

VAD=CE,

.".△ADF^ACEF,

；.EF=DF,ZAFD=ZCFE,

VZAFD+ZCFD=90°,

ZCFE+ZCFD=ZEFD=90°,

.••△EDF是等腰直角三角形，①正确；

②当D、E分别为AC、BC中点，即DF、EF分别为RtZ^AFC和RtZ\BFC斜边上的中线,

11

，CD=DF=-AC,FE=EC=—BC,

22

；.CD=DF=FE=EC,

四边形CDFE是菱形，又/C=90。，

.♦•四边形CDFE是正方形，②错误；

③由于4DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小，

当DF±AC时，DE最小，此时EF=DF=-BC=4.

2

•*-DE=^DF2+EF2=V42+42=4x/2,③错误;

©,/△ADF^ACEF,

•'•SACEF=S/iADF>

S叫四彩CEFD=S/、AFC,

•••四边形CDFE的面积保持不变，④正确；

⑤由③可知当DE最小时，DF也最小，

DF的最小值是4,则DE的最小值为4加，

当4CEF面积最大时，此时4DEF的面积最小.

此时SACEF=Sina®CEFD-SADEF=SAAFC-SADEF=16-8=8,⑤正确；

综上，正确的是：①④⑤，

故选:B.

【点睛】

本题考查了正方形的判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方

形的判定定理、全等三角形的判定定理和性质定理、理解点到直线的距离的概念是解题的

关键.

10.A

解析：A

【分析】

首先证明RtZ\AFB丝RtZ\AFH,推出BF=FH,设EF=x,则BF=FH='—X,在Rtz^FEH中，根

2

据后/2=E”2+"2,构建方程即可解决问题；

【详解】

解:连接AF.

•.,四边形ABCD是正方形，；.AD=BC=1,NB=9O。,

1

.BE=EC=—,

2

AE=dAB、BE”=—,

2

由翻折不变性可知：AD=AH=AB=1,

.\EH=—-1,

2

VZB=ZAHF=90°,AF=AF,AH=AB,

RtAAFB^RtAAFH,

/.BF=FH,设EF=x,则BF=FH=1-X,

2

在Rt^FEH中，VEF2=EH2+FH2,

•3=（；'+（乎一1>,

.5-275

••x=---------.

2

故选：A.

【点睛】

本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的

关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，

二、填空题

11.2亚

【详解】

由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DE,交AC于点P,那PE+PB的值最小.在

RtACDE中，由勾股定理先计算出DE的长度，即为PE+PB的最小值.连接DE,交AC于点

P,连接BD.

•・,点B与点D关于AC对称，

DE的长即为PE+PB的最小值，

AB=4,E是BC的中点，

CE=2,

在RtZiCDE中，DE=275.

考点：⑴、轴对称-最短路线问题；（3）、正方形的性质.

12,,2018

【分析】

根据几何图形特征，先求出G、。2、G，根据求出的结果，找出规律，从而得出

【详解】

•.•点E是BC的中点，ED〃AB,EF〃AC

；.DE、EF是△ABC的中位线

•.•等边4ABC的边长为1

1

；.AD=DE=EF=AF=-

2

则G=Lx4=2

2

同理可求得：=；

C2=l,

发现规律：规律为依次缩小为原来的,

2

。2020=声T

故答案为：-

【点睛】

本题考查找规律和中位线的性质，解题关键是求解出几组数据，根据求解的数据寻找规

律.

13.4百

【分析】

设EF=x,根据三角形的中位线定理表示AD=2x,AD〃EF,可得/CAD=/CEF=45°,证

明△EMC是等腰直角三角形，则NCEM=45°,证明△ENFg/XMNB,则EN=MN='X,

2

BN=FN=5,最后利用勾股定理计算x的值，可得BC的长.

【详解】

解：设EF=x,

••,点E、点F分别是OA、0D的中点,

AEF是AOAD的中位线，

；.AD=2x,AD〃EF,

...NCAD=NCEF=45°,

•.•四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC,AD=BC=2x,

NACB=/CAD=45°,

VEM1BC,

.♦.NEMC=90°,

/.△EMC是等腰直角三角形，

，NCEM=45°,

连接BE,

；AB=OB,AE=OE

ABElAO

AZBEM=45°,

；.BM=EM=MC=X,

；.BM=FE,

易得^ENF彩Z\MNB,

1

，EN=MN=-X,BN=FN=5,

2

RtZ\BNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2,

即52=x2+(1x)2

解得，x=2后,

BC=2x=4V5.

故答案为：475.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性

质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题.

14.3夜或3版

22

【分析】

根据点P在直线上，点。在直线CO上，分两种情况：LP、Q点位于线段上；2.P、Q

点位于线段的延长上，再通过三角形全等得出相应的边长，最后根据勾股即可求解.

【详解】

解：当P点位于线段BC上，Q点位于线段CD上时：

•••四边形ABCD是矩形

APYPQ,

：.ZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC

AP=PQ

ABP=PCQ

333

PC=AB=-,BP=BC-PC=3--=-

222

••.AP^J(-)2+(-)2=-V2

V222

当P点位于线段BC的延长线上，Q点位于线段CD的延长线上时:

•••四边形ABCD是矩形

APLPQ,

ZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC

-1•AP=PQ

ABP=PCQ

339

pc=AB=-,BP=BC+PC=3+-=-

222

••.AP=/(-)2+(-)2=-V10

\222

故答案为：二或二Jid

22

【点睛】

此题主要考查三角形全等的判定及性质、勾股定理，熟练运用判定定理和性质定理是解题

的关键.

15.①②®④

【分析】

①根据角平分线的定义可得/BAE=/DAE=45°,可得出aABE是等腰直角三角形，根据等

腰直角三角形的性质可得从而得到AE=AD,然后利用“角角边”证明

和△AMD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH,再根据等腰三角形两底角相等求

出/ADE=NAED=67.5°,根据平角等于180°求出NCED=67.5°,从而判断出①正确；

②求出NAHB=67.5°,NDHO=NODH=22.5°,然后根据等角对等边可得。E=OD=OH,判断

出②正确；

③求出NE8”=NCWD=22.5°,ZAEB=ZHDF=45°,然后利用“角边角”证明△8E”和

△HDF全等,根据全等三角形对应边相等可得8H=HF,判断出③正确；

④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE,然后根据HE=AE-AH=BC-CD,BC-CF=BC-

(CD-DF)=2HE,判断出④正确；

⑤判断出△△8H不是等边三角形，从而得到A8W8”，即得到⑤错误.

【详解】

:在矩形ABC。中，AE平分N8AD,：.ZBAE=ZDAE^45°,，/VIBE是等腰直角三角形，

：.AE=y/2AB.

,:AD=6AB,：.AE^AD.

ZBAE=NDAE

在△ABE和△AHO中，:JNABE=ZAHD=90°，二△ABE丝/XAHD(AAS),

AE=AD

：.BE=DH,：.AB=BE=AH=HD,：.ZADE=ZAED=-(180°-45°)=67.5°,

2

AZC£D=180°-45°-67.5°=67.5°,/.ZAED=ZCED,故①正确；

VZAHB=-(180°-45°)=67.5°,ZOHE=ZAHB(对顶角相等)，

2

:.NOHE=NAED,：.OE=OH.

VZDOH=90°-67.50=22.5°,NODH=67.5°-45°=22.5°,：./DOH=NODH,

：.OH=OD,：.OE=OD=OH,故②正确;

•：NEBH=90°-67.5°=22.5°,：.ZEBH=ZOHD.

NEBH=NOHD

在△BEH和△"£(下中，＜BE=DH,：./\BEH^/^HDF(ASA),；.BH=HF,

NAEB=NHDF

HE=DF,故③正确；

由上述①、②、③可得CD=8E、DF=EH=CE,CF=CD-DF,：.BC-CF=(CD+HF)-(CD-

HE)=2HE,所以④正确；

"：AB=AH,ZBAE=4S°,；.△ABH不是等边三角形，：.AB^BH,二即ABWHF,故⑤错

误；

综上所述：结论正确的是①②③④.

故答案为①②③④.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定

与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角

形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点.

16.①②④

【分析】

①根据折叠得△ABEgZkAFE,证明aEFC是等腰三角形，得到NEFC=NECF,根据

ZBEF=ZEFC+ZFEC,得出NBEA=/AEF=NEFC=NECF,即可证明AE〃FC,故①正确；②根

据四边形ABCD是正方形，且4ABE丝Z^AFE,证明RtaAFG丝RtZ\ADG,得出

ZFAG=ZGAD,根据NBAF+/FAD=90。，推出/EAF+/FAG=45°,可得NEAG=45。，根据

全等得：BE=FE,DG=FG,即可得BE+DG=EF+GF=EG,故②正确；③先求出SAECG,根据EF：

FG=­：—=3：2>得出SAEFC：SAFCG=3：2,即SAEFC=­a：再根据SABCD=a?,得出SACEF：

2310

S/、ABCD='"：CT，即SACEF=\JSABCD,故③错误；④设正方形的边长为a,根据勾股定理

得AE=JA8"炉=与G，设DG=X,则CG=a-x,FG=x,EG=|+x,再根据勾股定理求出

X,即可得出结论，故④正确.

【详解】

解：①由折叠可得4ABE丝AAFE,

，/BEA=NAEF,BE=EF,

；E是BC中点，

；.BE=CE=EF,

•••△EFC是等腰三角形，

AZEFC=ZECF,

VZBEF=ZEFC+ZFEC,

ZBEA=ZAEF=ZEFC=ZECF,

，AE〃FC,故①正确；

②•••四边形ABCD是正方形，且4ABE且AAFE,

，AB=AF=AD,NB=ND=NAFG,

AAAFG和4ADG是直角三角形，

，在RtAAFG和RtAADG中\,

[AG^AG

：.RtAAFG^RtAADG(HL),

.••ZFAG=ZGAD.

又：NBAF+/FAD=90°,

；.2/EAF+2NFAG=90°,

即/EAF+NFAG=45°,

AZEAG=45°,

由全等得：BE=FE,DG=FG,

，BE+DG=EF+GF=EG,故②正确；

③对于RtAECG,

11212

SAECG=-XECXCG=—X—X—ci-—Cl>

22236

aa

VEF：FG=-：-=3：2,

23

19

则SAEFC：SAFCG=3：2,即S^EFC=->

又,:SABCD=32,

则SZSCEF：SAABCD=—CT：a2»即SMEF二—SABCD,故③错误；

④设正方形的边长为a,

a

AAB=AD=AF=a,BE=EF=-=EC,

2

由勾股定理得AE=7AB2+BE2=孚〃，

设DG=x,贝!]CG=a-x,FG=x,

a

EG=—+x,

2

aa

：.EG2=EC2+CG2,即(—+x)2=(-)2+(a-x)2,

22

o

解得x=—,CG=-Cl>

33

即AD=3DG成立，故④正确.

【点睛】

本题考查了正方形的折叠问题，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，全等三角形的

判定和性质，勾股定理，掌握这些知识点灵活运用是解题关键.

17.6

【分析】

2

由折叠的性质可得NBAC=NB，AC=90。，AB=AB',SiABc=SAAB'c=12cm,可证点B,点A,点

B'三点共线，通过证明四边形ACDB，是平行四边形，可得B，E=CE,即可求解.

【详解】

解：；四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃CD,SABC=-x24=12cm2,

A2

•.•在同一平面内将aABC沿AC翻折，得到aAB'C,

2

AZBAC=ZB'AC=90°,AB=AB',SAABC=SAA8'c=12cm,

AZBAB'=180",

...点B,点A,点『三点共线，

：AB〃CD,AB'〃CD,

四边形ACDB，是平行四边形，

，B'E=CE,

.1,

••SACE=—SAB'c=6cm2,

A2A

故答案为：6.

【点睛】

本题考查了翻折变换，平行四边形的判定和性质，证明点B,点A,点&三点共线是本题

的关键.

18.4

【分析】

证明CF〃DB,CF=DB,可得四边形CDBF是平行四边形，作EM_LDB于点M,解直角三角

形即可.

【详解】

解：：CF〃AB,

AZECF=ZEBD.

：E是BC中点，

/.CE=BE.

VZCEF=ZBED,

/.△CEF^ABED(ASA).

，CF=BD.

四边形CDBF是平行四边形.

作EM±DB于点M,

•；四边形CDBF是平行四边形，BC=2O,

.\BE=-5C=V2,DF=2DE,

2

在RtAEMB中，EM2+BM2=BE2且EM=BM

，EM=1,

在RtAEMD中,

VZEDM=30°，

；.DE=2EM=2,

，DF=2DE=4.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30

度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，

19.①②④.

【分析】

利用折叠性质得/CBE=/FBE,NABG=NFBG,BF=BC=10,BH=BA=6,AG=GH,则可得到

/EBG=J/ABC,于是可对①进行判断；在RtaABF中利用勾股定理计算出AF=8,则

DF=AD-AF=2,设AG=x,则GH=x,GF=8-x,HF=BF-BH=4,利用勾股定理得到x?+42=(8-x)

2,解得x=3,所以AG=3,GF=5,于是可对②④进行判断；接着证明△ABFs/^FE,利用

DEAF4=6.ABDE0一2A.A丁5

相似比得到方？=